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习题新教材高考数学模拟题精编详解试题(第4套)

2005 新教材高考数学模拟题精编详解第四套试题
题号 分数 说明:本套试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间: 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选 项是符合题目要求的. 1. (理)全集设为 U,P、S、T 均为 U 的子集,若 P ? ( ( ) A.P ? T ? S ? S T (文)设集合 M ? {x | x ? m ? 0} , N ? {x | x ? 2 x ? 8 ? 0} ,若 U=R,且
2 U U



二 14

三 15 16 17 18 19 20 21 22

总分

1~12 13

T )=(

U

T )?S 则

B. P=T=S

C. T=U

D.P ?

U

S=

M ? N ? ? ,则实数 m 的取值范围是( )
B.m≥2 C.m≤2 D.m≤2 或 m

A.m<2 ≤-4 2. (理)复数

( 5 ? 5i )3 (3 ? 4i ) ?( ) 4 ? 3i
B. 10 5 ? 10 5i C. 10 5 ? 10 5i

A. ? 10 5i ? 10 5 D. ? 10 5 ? 10 5i

(文)点 M(8,-10) ,按 a 平移后的对应点 M ? 的坐标是(-7,4) ,则 a=( ) A. (1,-6) B. (-15,14) C. (-15,-14) D. (15,-14) 3.已知数列 {a n } 前 n 项和为 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? 21 ? ? ? (?1)
n ?1

(4n ? 3) ,则

S15 ? S 22 ? S31 的值是( )
A.13 B.-76
3

C.46

D.76

4.若函数 f ( x) ? ?a( x ? x ) 的递减区间为( ?

3 3 , ) ,则 a 的取值范围是( ) 3 3
D.0<a<1

A.a>0 B.-1<a<0 C.a>1 5.与命题“若 a ? M 则 b? M ”的等价的命题是( ) A.若 a ? M ,则 b? M B.若 b? M ,则 a ? M C.若 a ? M ,则 b? M D.若 b? M ,则 a ? M

6. 理) ( 在正方体 ABCD? A1 B1C1D1 中, N 分别为棱 AA1 和 BB1 之中点, sin CM , M, 则 (

D1 N )的值为( )
A.

1 9

B.

4 5 5

C.

2 5 9

D.

2 3

(文)已知三棱锥 S-ABC 中,SA,SB,SC 两两互相垂直,底面 ABC 上一点 P 到三个 面 SAB,SAC,SBC 的距离分别为 2 ,1, 6 ,则 PS 的长度为( ) A.9 B. 5 C. 7 D.3 )

7. 在含有 30 个个体的总体中, 抽取一个容量为 5 的样本, 则个体 a 被抽到的概率为 (

1 A. 30

1 B. 6
2

1 C. 5

5 D. 6

8. (理)已知抛物线 C: y ? x ? mx ? 2 与经过 A(0,1) ,B(2,3)两点的线段 AB 有公共点,则 m 的取值范围是( ) A. ( ?? , ? 1] ? [3, ? ?) C. ( ?? , ? 1] B.[3, ? ?) D.[-1,3]

(文)设 x ? R ,则函数 f ( x) ? (1? | x |)(1 ? x) 的图像在 x 轴上方的充要条件是( ) A.-1<x<1 B.x<-1 或 x>1
2 2

C.x<1

D.-1<x<1 或 x<-1

9.若直线 y=kx+2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是 ( ) A. (?

15 15 ) , 3 3

B. (0 ,

15 ) 3

C. (?

15 , 0) 3

D. (?

15 , 3

? 1)
10.a,b,c ?(0,+∞)且表示线段长度,则 a,b,c 能构成锐角三角形的充要条件 是( ) A. a ? b ? c
2 2 2

B. | a ? b |? c
2 2 2 2

2

C. | a ? b |? c ?| a ? b |

D. | a ? b |? c ? a ? b
2 2

2

11.今有命题 p、q,若命题 S 为“p 且 q”则“ A.充分而不必要条件 C.充要条件 12. (理)函数 y ? A.[1,2]



”是“

”的( )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x ? 4 ? 15 ? 3x 的值域是( )
B.[0,2] C. (0, 3 ] D. [1 , 3 ]

2 (文)函数 f (x) 与 g ( x) ? ( 7 ? 6 ) 图像关于直线 x-y=0 对称,则 f (4 ? x ) 的单调增
x

区间是( ) A. (0,2) 题号 答案 1 2 3

B. (-2,0) 4 5 6 7

C. (0,+∞) 8 9 10

D. (-∞,0) 11 12 得分

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本题共 4 小题,共 16 分,把答案填在题中的横线上 13.等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且某连续三项正好为等差数列 {bn } 中的第 1,5, 6 项,则 lim

n ??

S n?2 ? ________. na1

14.若 lim ( x 2 ? x ? 1 ? x ? k ) ? 1 ,则 k=________.
n???

15.有 30 个顶点的凸多面体,它的各面多边形内角总和是________. 16. 长为 l ( 0<l<1 ) 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y ? x 上滑动, 则线段 AB 中点 M
2

到 x 轴距离的最小值是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)从一批含有 13 只正品,2 只次品的产品中不放回地抽取 3 次,每次抽取一 只,设抽得次品数为 ? . (1)求 ? 的分布列;

(2)求 E(5 ? -1) .

18. (12 分)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,M,N 分别为

A1 B1 ,BC 之中点.
(1)试求

A1 A ,使 A1 B ? B1C ? 0 . AB

(2)在(1)条件下,求二面角 N ? AC1 ? M 的大小.

19. (12 分)某森林出现火灾,火势正以每分钟 100 m 的速度顺风蔓延,消防站接到警 报立即派消防队员前去, 在火灾发生后五分钟到达救火现场, 已知消防队员在现场平均每人 每分钟灭火 50 m ,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元,另附加每次 救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元,而烧毁一平方米森林损失费为 60 元.问应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少?
2

2

20.12 分) ( 线段 | BC |? 4 , 中点为 M, A 与 B, 两点的距离之和为 6, | AM |? y , BC 点 C 设

| AB |? x .
(1)求 y ? f (x) 的函数表达式及函数的定义域;

(2) (理)设 d ? y ? x ? 1 ,试求 d 的取值范围;

(文)求 y 的取值范围.

21. (12 分)定义在(-1,1)上的函数 f (x) , (i)对任意 x, y ?(-1,1)都有:

x? y (ii)当 x ? (-1,0)时, f ( x) ? 0 ,回答下列问题. f ( x) ? f ( y ) ? f ( ); 1 ? xy
(1)判断 f (x) 在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由.

(2)判断函数 f (x) 在(0,1)上的单调性,并说明理由.

(3) (理)若 f ( ) ?

1 5

1 1 1 1 ,试求 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 的值. 2 2 11 19

22. (14 分) (理)已知O为△ABC 所在平面外一点,且 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OA,OB,OC 两两互相垂直,H 为△ABC 的垂心,试用 a,b,c 表示 OH . (文)直线 l∶y=ax+1 与双曲线 C∶ 3x ? y ? 1 相交于 A,B 两点.
2 2

(1)a 为何值时,以 AB 为直径的圆过原点;

(2)是否存在这样的实数 a,使 A,B 关于直线 x-2y=0 对称,若存在,求 a 的值,若 不存在,说明理由.

参考答案 1. (理)A (文)B 2. (理)B (文)B 3.B 4.A 5.D 6. (理)B (文)D 7.B 8. (理)C (文)D 9.D 10.D 11.C

1 12. (理)A (文)A 13.1 或 0 14. 2
17.解析: (1) ? 的分布如下

l2 15.10080° 16. 4

?
P

0

1

2

22 12 1 35 35 35 22 12 1 14 2 (2)由(1)知 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? ? . 35 35 35 35 5 2 ∴ E (5? ? 1) ? 5E? ? 1 ? 5 ? ? 1 ? 1 . 5
18.解析: (1)以 C1 点为坐标原点, C1 A1 所在直线为 x 轴, C1C 所在直线为 z 轴,建 立空间直角坐标系,设 A1 B1 ? b , AA1 ? a (a, b ?(0,+∞) . ∵ 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱,则 A1 ,B, B1 ,C 的坐标分别为: (b,0,0) ,

3 3 1 1 b , a) , ( b , b , 0) , (0,0,a) ∴ . ( b, 2 2 2 2

3 1 A1 B ? (? b , b , a) , 2 2

1 ? A1 B ? B1C ? a 2 ? b 2, 3 1 2 ? ? b ? 2a ? A1 A ? a ? 2 . B1C ? (? b , ? b , a) ? ? 2 AB b 2 2 ? 又 A1B ? B1C ? 0. ?
(2)在(1)条件下,不妨设 b=2,则 a ? 2 ,

又 A,M,N 坐标分别为(b,0,a)( , ∴ 同理

3 3 3 1 , . b ,0)( b , b ,a) b, 4 4 4 4


| AN |?

b 3 ? 3 , | C1 N |? 3 . 2

| AN |?| C1 N |? 3

| AM |?| C1M | .

∴ △ AC1 N 与△ AC1M 均为以 AC1 为底边的等腰三角形,取 AC1 中点为 P,则

NP ? AC1 , MP ? AC1 ? ?NPM 为二面角 N ? AC1 ? M 的平面角,而点 P 坐标为(1,
0,

2 ) , 2


3 2 1 PN ? (? , ) . 同理 , 2 2 2

3 2 1 ). ,? PM ? ( , 2 2 2



1 3 1 PM ? PN ? ? ? ? ? 0 ? PM ? PN . 4 4 2

∴ ∠NPM=90° ? 二面角 N ? AC1 ? M 的大小等于 90°. 19.解析:设派 x 名消防员前去救火,用 t 分钟将火扑灭,总损失为 y,则

t?

5 ? 100 10 ? 50 x ? 100 x ? 2
y=灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费=125tx+100x+60(500+100t) = 125 ? x ?

10 60000 ? 100 x ? 30000 ? x?2 x?2 x?2?2 6000 = 1250 ? ? 100 ( x ? 2 ? 2) ? 30000 ? x?2 x?2 62500 = 31450 ? 100 ( x ? 2) ? x?2
? 31450 ? 2 100 ? 62500 ? 36450
当且仅当 100 ( x ? 2) ?

62500 ,即 x=27 时,y 有最小值 36450. x?2
2 2

故应该派 27 名消防员前去救火,才能使总损失最少,最少损失为 36450 元. 20.解析: (1)当 A、B、C 三点不共线时,由三角形中线性质知 2(| BM | ? | AM | )

?| AB | 2 ? | AC | 2 ? 2(2 2 ? y 2 ) ? x 2 ? (6 ? x) 2 ?
y ? ( x ? 3) 2 ? 5 ;

y 2 ? 5 ? ( x ? 3) 2 ? ?? 又 y?0 ?

当 A,B,C 三点共线时,由 | AB | ? | AC |? 6 ?| BC |? 4 ? A 在线段 BC 外侧,由

| 6 ? x ? x |? 4 ? x ? 1 或 x=5,因此,当 x=1 或 x=5 时,有 | AB | ? | AC |? 6 ,
同时也满足: 2(| BM | ? | AM | ) ?| AB | ? | AC | .当 A、B、C 不共线时,
2 2 2 2

|| AB | ? | AC ||?| BC |? 4 ? 1 ? x ? 5 ? y ? f ( x) ? ( x ? 3) 2 ? 5 定义域为[1,5].
(2) (理)∵

y ? ( x ? 3) 2 ? 5 . ∴ d=y+x-1= ( x ? 3) 2 ? 5 ? x ? 1 .
2

令 t=x-3,由 1 ? x ? 5 ? t ?[?2 , 2] ? d ? t ? 5 ? t ? 2 , 两边对 t 求导得: d t ? 1 ?

1 t2 ? 5

? 1?

?2 9

? 0 ? d 关于 t 在[-2,2]上单调增.

∴ 当 t=2 时, d min =3,此时 x=1. 当 t=2 时, d max =7.此时 x=5.故 d 的取值范 围为[3,7]. (文)由 y ?

( x ? 3) 2 ? 5 且 x ? [1, 5] , 22 ? 5 ? 3 .

∴ 当 x=3 时, ymin ? 5 .当 x=1 或 5 时, ymax ? ∴ y 的取值范围为[ 5 ,3].

21.解析: (1)令 x ? y ? 0 ? f (0) ? 0 ,令 y=-x,则 f ( x) ? f (? x) ? 0 ? f (? x)

? ? f ( x) ? f ( x) 在(-1,1)上是奇函数.
(2)设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f (

x1 ? x2 ) ,而 1 ? x1 x2

x1 ? x2 ? 0 , 0 ? x1 x2 ? 1 ?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

x1 ? x2 x ?x ? 0 ? f ( 1 2 ) ? 0 .即 当 x1 ? x2 时, 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2

∴ f(x)在(0,1)上单调递减.

1 1 ? 1 1 1 1 1 (3) (理)由于 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (? ) ? f ( 2 5 ) ? f ( ) , 1 2 5 2 5 3 1? 2?5 1 1 1 1 1 1 f ( )? f ( ) ? f ( ), f ( )? f ( ) ? f ( ), 3 11 4 4 19 5 1 1 1 1 1 ∴ f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 f ( ) ? 2? ? 1. 2 11 19 5 2
22.解析: (理)由

OA ? OB, ? ? ? OA ? 平面 OBC ? OA ? BC ,连 AH 并延长并 BC OA ? OC ?

于 M. 则 由 H 为△ABC 的垂心. ∴ AM⊥BC. 于是 BC⊥平面 OAH ? OH⊥BC. 同理可证:

OH ? AC

? ? ? OH ? 平面 ABC. 又AC ? BC ? C ?



OA , OB , OC 是空间中三个不共面的向量,由向量基本定理知,存在三个实数 k1 ,

k 2 , k 3 使得 OH = k1 a+ k 2 b+ k 3 c.
由 ∴

OH ? BC ? 0 且 a ? b = a ? c =0 ? k 2 b 2 = k 3 c 2 , 同理 k1a 2 ? k 2 b 2 .
k1a 2 ? k 2 b 2 ? k3c 2 ? m ? 0 .


又 AH⊥OH, ∴

AH ? OH ? 0 ? (k1 ? 1)a ? k 2 b ? k 3 c ? (k1a ? k 2 b ? k 3 c ) =0
2 ? k1 (k1 ? 1)a 2 ? k 2 b 2 ? k 32 c 2 ? 0



联立①及②,得

m(k1 ? 1) ? mk 2 ? mk 3 ? 0, ? ? ? k1 ? k 2 ? k 3 ? 1 m?0 ?



又由①,得

k1 ?

m m m , k 2 ? 2 , k3 ? 2 ,代入③得: 2 a b c

m?

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 c2 ?a2 a 2 ? b2 ? k1 ? , k2 ? , k3 ? , a 2 ? b2 ? b2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ? ? ?
2

其中 ? ? a

? b2 ? b2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ,于是 OH
2 2

?

1 2 2 (b ? c ? a ? c 2 ? a 2 ? b ? a 2 ? b 2 ? c ) . ?
2 2

( (文) 1) ( 联立方程 ax+1=y 与 3x ? y ? 1 , 消去 y 得: 3 ? a ) x ? 2ax ? 2 ? 0
又直线与双曲线相交于 A,B 两点, ∴ ? ? 0 ? ? 6 ? a ?

(*)

6.

又依题 OA⊥OB, A, 两点坐标分别为 x1 , y1 ) x2 , y 2 ) 则 令 B ( , ( , 且

y1 y2 ? ? x1 x2 .

y1 y2 ? (ax1 ? 1)( ax2 ? 1) ? a 2 x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? x1 x2 ? x1 x2 (1 ? a 2 ) ? a( x1

? x 2 ) ? 1 ? 0 ,而由方程(*)知: x1 ? x2 ?

2a 2 , x1 x2 ? 2 代入上式得 2 3? a a ?3

?

2(a1 ? 1) 2a 2 ? ? 1 ? 0 ? a 2 ? 1 ? a ? ?1 .满足条件. 3 ? a2 3 ? a2
(2) 假设这样的点 A, 存在, l: B 则 y=ax+1 斜率 a=-2. AB 中点 ( 又

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

在y? 又

1 1 x 上,则 y1 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) , 2 2
y1 ? y2 ? a( x1 ? x2 ) ? 2 ,

2a( x1 ? x 2 ) ? 4 ? x1 ? x 2 ? ? 代入上式知 2a ? ? a ? 6 这与 a ? ?2 矛盾. 又 x1 ? x 2 ? ? 2 3?a ?
故这样的实数 a 不存在. 更多资料请访问 http://www.maths.name


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