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由递推式求通项公式方法总结


由递推式求通项公式、数列求和方法总结
一、叠加法 1.适用于: an +1

= an + f ( n )

----------这是广义的等差数列

累加法是最基本

a2 ? a1 ? f (1)
的两个方法之一。若 an ?1

? an ? f (n) (n ? 2) ,则

a3 ? a2 ? f (2) ? ? an ?1 ? an ? f (n)

相加得

an ?1 ? a1 ? ? f (k )
k ?1

n

例1

已知数列 {an } 满足 an ?1

? an ? 2n ? 1,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:由 an ?1

? an ? 2n ? 1 得 an ?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[( n ? 1) ? ( n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? ( n ? 1) ? 1 (n ? 1) n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)( n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an 二、叠乘法 1.○。 -----------适用于:

? n2 。

an ?1 ? f (n)an



an ?1 a a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), ,n ?1 ? f (n) ?? an a1 a2 an
1

两边分别相乘得,

n an ?1 ? a1 ? ? f (k ) a1 k ?1

例 2. 已知数列

?a n ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ?
3

n a n ,求 a n 。 n ?1

解:由条件知

a n ?1 n ? ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式 an n ?1
个 等 式 累 乘 之 , 即



(n ? 1)

a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? ? ? ??????? a1 a2 a3 an?1 2 3 4 n
? an 1 ? a1 n
又? a1

?

2 2 ,? a n ? 3 3n
? qan ? f (n)
,其中

三、待定系数法

适用于 an ?1

1.形如

a n ?1 ? can ? d , (c ? 0
an

a1 ? a )型
an
}为等比数列;

(1)若 c=1 时,数列{ (3)若 c ? 1且d 造辅助数列来求.

}为等差数列;(2)若 d=0 时,数列{

? 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构

待定系数法:设 得

a n ?1 ? ? ? c(a n ? ? )
,与题设

, 比较系数得

a n ?1 ? can ? (c ? 1)?

a n ?1 ? can ? d ,

(c ? 1)? ? d ,所以

??

d d d , (c ? 0) an ? ? c(a n ?1 ? ) c ?1 c ?1 c ?1 所以有:

d ? ? d ?a n ? ? a1 ? c ? 1? 构成以 c ? 1 为首项,以 c 为公比的等比数列, 因此数列 ?

2

所以

an ?

d d ? (a1 ? ) ? c n ?1 c ?1 c ?1
a n ?1 ? can ? d

即:

a n ? (a1 ?

d d ) ? c n ?1 ? c ?1 c ?1.

规律:将递推关系

化为

a n ?1 ?

d d ? c( a n ? ) c ?1 c ? 1 ,构造成公

比为 c 的等比数列

{a n ?

d } c ? 1 从而求得通项公式

a n ?1 ?

d d ? c n ?1 (a1 ? ) 1? c c ?1
? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。

例 3.已知数列 {an } 中, a1 解:? an

? 2an ?1 ? 1(n ? 2), ? an ? 1 ? 2(an ?1 ? 1)

又? a1 ? 1 ? 2,?

?an ? 1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列

? an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ? 1
2.形如:

a n ?1 ? p ? a n ? q n a n ?1 ? a n ? q n

(其中 q 是常数,且 n ? 0,1) ,累加即可.

①若 p=1 时,即: ②若

n p ? 1 时,即: a n ?1 ? p ? a n ? q ,

求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以

p n ?1 .即: a n ?1 ? a n ? 1 ? ( p ) n , p n ?1 p n p q

bn ?


an p
n

bn ?1 ? bn ?
,则

1 p n ?( ) p q ,然后类型 1,累加求通项.

ii.两边同除以

q n ?1

. 目的是把所求数列构造成等差数列。

a n ?1
即:

q

n ?1

?

p an 1 ? ? q qn q ,

3

bn ?


an q
n

bn ?1 ?
,则可化为

p 1 ? bn ? q q .然后转化为线性递推来解,

iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等比数列



a n ?1 ?? ? q n ?1 ? p(a n ? ? ? p n )

.通过比较系数,求出 ? ,转化为等比数列求

通项. 注意:应用待定系数法时,要求 p ? q,否则待定系数法会失效。

例 4 已知数列

{an }

满足

an?1 ? 2an ? 4 ? 3n ?1,a1 ? 1

,求数列

?an ? 的通项公式。

解法一(待定系数法) :设

an ?1 ? ?1 3n ? ?2 (an ? ? ? 3n?1 )

,比较系数得

?1 ? ?4, ?2 ? 2 ,
则数列 所以

?a

n

? 4 ? 3n ?1?

是首项为

a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5

,公比为 2 的等比数列,

an ? 4 ? 3n ?1 ? ?5 ? 2n ?1
n ?1

,即

an ? 4 ? 3n ?1 ? 5 ? 2n ?1

解法二(两边同除以

q

) :两边同时除以 3

n?1

an ?1 2 an 4 ? ? n? 2 n ?1 3 3 3 得: 3

,解法略

a n ?1 a n 4 3 n ? ? ?( ) p n ?1 )两边同时除以 2 n ?1 得: 2 n ?1 2 n 3 2 ,解法略 解法三(同除以
练习. 已知数列 解:在 a n ?1

?a n ?中, a1 ? 5 , an?1 ? 1 an ? ( 1 ) n?1 ,求 a n 。
6

3

2

1 1 2 ? a n ? ( ) n?1 两边乘以 2 n ?1 得: 2 n?1 ? an?1 ? (2 n ? an ) ? 1 3 2 3 2 2 n n 令 bn ? 2 ? a n ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,应用例 7 解法得: bn ? 3 ? 2( ) 3 3 bn 1 n 1 n 所以 an ? n ? 3( ) ? 2( ) 2 3 2
3.形如

a n ?1 ? pan ? kn ? b

(其中 k,b 是常数,且 k

? 0)
;

通过凑配可转化为

(an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ? 1) ? y)
4

解题基本步骤:1、确定

f (n) =kn+b
,公比为 p ,即

2、设等比数列 3、列出关系式

bn ? (a n ? xn ? y )

(an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ? 1) ? y)
5、解得数列

bn ? pbn ?1

4、比较系数求 x,y

(a n ? xn ? y )

的通项公式

6、解得数列 例5

?an ? 的通项公式
{a n }
中,

在数列

a1 ? 1, a n ?1 ? 3a n ? 2n,


求通项

an

.(逐项相减法)

解:? ,

a n ?1 ? 3a n ? 2n,

? n ? 2 时, a n ? 3a n ?1 ? 2(n ? 1) ,
两式相减得

a n ?1 ? a n ? 3(a n ? a n ?1 ) ? 2

.令

bn ? a n ?1 ? a n

,则

bn ? 3bn ?1 ? 2
bn ? 5 ? 3 n ?1 ? 2


a n ?1 ? a n ? 5 ? 3 n ?1 ? 1



再由累加法可得

an ?

5 n ?1 1 ?3 ? n ? 2 2.

亦可联立



②解出

an ?

5 n ?1 1 ?3 ? n ? 2 2.
适用于分式关系的递推公式,分子只有一项

四、倒数变换法

例 6 已知数列 {an } 满足 an ?1

?

2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

解:求倒数得

1 1 1 1 1 1 ? 1 1? ? ? ,? ? ? ,? ? ? ? 为等差数列,首 an ?1 2 an an ?1 an 2 ? an ?1 an ?

5



1 1 ? 1 ,公差为 a1 2

,?

1 1 2 ? (n ? 1),? an ? an 2 n ?1
(其中 p,r 为常数)型 p>0,

五、对数变换法 例 7. 式.

适用于

r a n ?1 ? pan

an ? 0

设正项数列

2 ?a n ? 满足 a1 ? 1 ,a n ? 2a n?1 (n≥2).求数列 ?a n ? 的通项公

解:两边取对数得:

log an ? 1 ? 2 log an ?1 , log an ? 1 ? 2(log an ?1 ? 1) ,设 2 2 2 2

bn ? log an ? 1 2

,则

b n ? 2b n ? 1

?bn ?是以 2 为公比的等比数列,


b1 ? log 1 ? 1 ? 1 2

bn ? 1 ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1
n?1

log an ? 1 ? 2 n?1 , 2

2 log an ? 2 n ?1 ? 1 ,∴ a n ? 2 2

?1

六、逐差法 2(逐项相减法) 1、递推公式中既有 S n ,又有 an

分析:把已知关系通过 an

? S1 , n ? 1 ?? 转化为数列 ? an ? 或 S n 的递推关系。 ? S n ? S n ?1 , n ? 2

例8

已知数列 {an } 的各项均为正数, 且前 n 项和 S n 满足 Sn

1 ? (an ? 1)(an ? 2) , 6

且 a2 , a4 , a9 成等比数列,求数列 {an } 的通项公式。 解:∵对任意 n ? N 有 Sn ∴当 n=1 时, S1
?

1 ? (an ? 1)(an ? 2) 6



1 ? a1 ? (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 6 1 当 n≥2 时, Sn ?1 ? (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 2) ⑵ 6
⑴-⑵整理得: (an

? an ?1 )(an ? an ?1 ? 3) ? 0 ∵ {an } 各项均为正数,∴

2 an ? an ?1 ? 3 当 a1 ? 1 时, an ? 3n ? 2 ,此时 a4 ? a2 a9 成立

6

当 a1

2 ? 2 时, an ? 3n ? 1 ,此时 a4 ? a2 a9 不成立,故 a1 ? 2 舍去

数列求和
1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式: S n

?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

?na1 (q ? 1) ? n (2)等比数列的求和公式 S n ? ? a1 (1 ? q ) (q ? 1) ? 1? q ?
2.公式法: 1+2+3 …+n =

n?n ? 1? 2

?k
k ?1

n

2

? 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ?

n(n ? 1)(2n ? 1) 6

如:

s n ? 1 ? 1 ? 2)( ? 2 ? 3) ? ... ? (1 ? 2 ? 3 ? ... ? n) ( ? 1

3.错位相减法:比如 ?a n ?等差, ?bn ?等比, 求a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn的和. 例 1.已知

an ? n ? 2n ?1 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn.
2

例 2.已知数列 1,3a,5a

,?, (2n ? 1)a n?1 (a ? 0) ,求前 n 项和。
0

思路分析:已知数列各项是等差数列 1,3,5,…2n-1 与等比数列 a 对应项积, 可用错位相减法求和。 解:S n

, a, a 2 ,?, a n?1

? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1)a n ?1 ?1?

aSn ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 1)a n

?2?


?1? ? ?2? : (1 ? a)S n

? 1 ? 2a ? 2a 2 ? 2a 3 ? ? ? 2a n ?1 ? (2n ? 1)a n

7

a ? 1时, (1 ? a) S n ? 1 ?

2a(1 ? a n ?1 ) ? (2n ? 1) n (1 ? a ) 2
当a

Sn ?

1 ? a ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n ?1 (1 ? a) 2

? 1时, S n ? n 2

4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

1 1?1 1 ? ? ? ? ? n ?n ? k ? k ? n n ? k ?

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

an ?

1 n ? n ?1
? 22 42 ( 2n) 2 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1)
:

例 3.求和 S n

思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解

ak ?

( 2k ) 2 ( 2k ) 2 ? 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? 1? ( ? ) (2k ? 1)( 2k ? 1) (2k ? 1)( 2k ? 1) (2k ? 1)( 2k ? 1) 2 2k ? 1 2k ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? an ? n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? n ? (1 ? 2 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1 2 2n ? 1
5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 例 4
?1






?n



Sn ? ? 2 ? ?
解: S n

???

3 ? ?

?

???

?5 ? 2 ? ? ? ? ? ? n ? ? 4

?

3

3

5

? ? 2 ? 3 ? 5?1 ? ? ? 4 ? 3 ? 5?2 ? ? ? 6 ? 3 ? 5?3 ? ? ? ? ? 2n ? 3 ? 5? n ?

? ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? ? 3 ? 5?1 ? 5?2 ? 5?3 ? ? ? 5? n ?

1? ?1? ?1 ? ? ? 5? ?5? ? n ? n ? 1? ? 3 ? ? 1 1? 5

n

? ? n ? ? ? n 2 ? n ? 3 ?1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 4 ? ?5? ? ? ?

8

6.合并求和法:例 5.求 100 7.倒序相加法:例 6.求 sin

2

? 99 2 ? 98 2 ? 97 2 ? ? ? 2 2 ? 12 的和。

2 ?

1 ? sin2 2? ? sin2 3? ? ?? ? sin2 89? 的和。

9


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