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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1 正弦定理(第2课时)教案 苏教版必修5


第 2 课时 正弦定理(2)

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 (1)学会利用正弦定理解决有关平面几何问题以及判断三角形的形状,掌握化归与转化 的数学思想; (2)能熟练运用正弦定理解斜三角形. 2.过程与方法 通过解斜三角形进一步巩固正弦定理,让学生总结本节课的内容. 3.情感、态度与价值观 (1)培养学生在方程思想指导下处理解斜三角形问题的运算能力; (2)培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力. ●重点、难点 重点:利用正弦定理判断三角形形状. 难点:灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式. 教学时要抓住知识的切入点, 从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手, 引导学生 结合三角形中的边角关系,不断地观察、比较、分析,总结判断三角形形状的方法,揭示其 中的规律.

(教师用书独具)

●教学建议 本节内容安排在学生学习了正弦定理之后,是对正弦定理的应用和深化.因此,建议本 节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主和
1

合作交流为前提, 以“正弦定理的应用”为基本探究内容, 以周围世界和生活实际为参照对 象,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集 体等多种解难释疑的尝试活动,将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨. 让学生在“活动”中学习, 在“主动”中发展, 在“合作”中增知, 在“探究”中创新. ●教学流程 结合所提问题,引导学生在复习正弦定理内容的基础上探究正弦定理的各种变形形式. ? 引导学生结合已学三角形面积公式探究已知两边夹角时三角形的面积公式. ?

错误!? 错误!? 错误!? 错误!? 错误!

(对应学生用书第 4 页)

1.理解正弦定理,能用正弦定理解三角形.(重点) 课标解读 2. 能运用正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算 有关的实际问题.(难点)

正弦定理的深化与变形 【问题导思】 在正弦定理的表达式中, 证明你的结论. 【提示】 比值是△ABC 外接圆的直径, 可先对直角三角形探索, 并推广到一般三角形, 其证明过程如下: = = ,其中比值的几何意义是什么?探索并 sin A sin B sin C

a

b

c

若△ABC 为锐角三角形,如图所示,连结 BD.

∵A 与 D 对应 ∴

,∴A=D,

= = = . sin A sin∠ABC sin∠ACB sin D
2

a

b

c

a

a 2R 又∵ = ,∠DBC=90°, sin D sin∠DBC


a 2R a b c = ,∴ = = =2R. sin D 1 sin A sin∠ABC sin∠ACB

若△ABC 为钝角三角形,不妨设 B>90°,如图所示,连结 BD.

∵A 与 D 对应 ∴

,∴A=D,

= = = . sin A sin∠ABC sin∠ACB sin D

a

b

c

a

a 2R a 2R a b c 又∵ = ,∠DBC=90°,∴ = ,∴ = = = sin D sin∠DBC sin D 1 sin A sin∠ABC sin∠ACB
2R. 正弦定理经常变形如下,以便于边角互化. (1) = = =2R; sin A sin B sin C (2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (3) =

a

b

c

a sin A a sin A b sin B , = , = ; b sin B c sin C c sin C

(4)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;

a b c a+b+c (5) = = = . sin A sin B sin C sin A+sin B+sin C

三角形的面积公式 【问题导思】 1.在△ABC 中,已知 BC=a,高 AD=h,如何计算△ABC 的面积 S? 1 【提示】 S= ah. 2

3

2.在△ABC 中,已知 BC=a,AC=b,角 C 已知,你能否求出△ABC 的面积? 【提示】 ∵h=AD=bsin C, 1 1 ∴S△ABC= ah= absin C. 2 2

S△ABC= absin C= bcsin A= casin B.

1 2

1 2

1 2

4

(对应学生用书第 4 页)

求三角形的面积 在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,求△ABC 的面积.

【思路探究】 画图,由图形可知,不能直接利用面积公式,应由正弦定理求出 sin C, 从而求出 sin B. 7 5 【自主解答】 由正弦定理,得 = , sin 120° sin C 5 3 ∴sin C= ,且 C 为锐角, 14 11 ∴cos C= , 14 ∴sin B=sin (180°-120°-C)=sin (60°-C) 3 3 =sin 60°·cos C-cos 60°·sin C= . 14 1 ∴S△ABC= AB·BC·sin B 2 1 3 3 15 3 = ×5×7× = . 2 14 4 15 即△ABC 的面积为 3. 4

1.由于 A>90°,所以 B,C 均为锐角,应避免对角 C 分类讨论. 2.利用两边一夹角公式求△ABC 的面积,应注意已知条件是否符合公式要求,即两边 及它们的夹角,否则不能乱用.
5

△ABC 中,B=30°,AB=2 3,AC=2,则△ABC 的面积是________. 【解析】 由正弦定理,得 sin C= ∴C=60°或 C=120°. 当 C=60°时,A=90°, 1 ∴S△ABC= AB·AC·sin A=2 3; 2 当 C=120°时,A=30°, 1 ∴S△ABC= AB·AC·sin A= 3. 2 故△ABC 的面积是 2 3或 3. 【答案】 2 3或 3

ABsin B 3 = . AC 2

判断三角形的形状 在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 b=acos C,试判定 △ABC 的形状. 【思路探究】 利用正弦定理的变形,将边化为角,再利用三角形内角和定理及三角恒 等变换进行转化. 【自主解答】 ∵b=acos C, 由正弦定理得 sin B=sin A·cos C. ∵B=π -(A+C), ∴sin(A+C)=sin A·cos C. 即 sin Acos C+cos Asin C=sin A·cos C, ∴cos Asin C=0. ∵A、C∈(0,π ), π ∴cos A=0,A= , 2 ∴△ABC 为直角三角形.

1.确定三角形的形状主要有两条途径: (1)化边为角;
6

(2)化角为边. 2.确定三角形形状的思想方法:先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边 关系,再由三角变形或代数变形分解因式,判定形状.在变形过程中要注意等式两端的公因 式不要约掉,应移项提取公因式,否则会有漏掉一种解的可能.

若将条件“b=acos C”换为“bcos A=acos B”,试判断△ABC 的形状. 【解】 ∵bcos A=acos B,∴sin Bcos A=sin Acos B, ∴sin(A-B)=0,∴A-B=0,∴A=B, ∴△ABC 为等腰三角形.

正弦定理的实际应用

台风中心位于某城市正东方向 300 km 处,并以 40 km/h 的速度向西北 方向移动,距离台风中心 250 km 的范围内将会受其影响.如果台风风速不变,那么该城市 在多长时间后开始受到台风的影响?这种影响将持续多长时间?(精确到 0.1 h) 【思路探究】 本题实质上是三角形中已知两边和其中一边所对的角,解三角形问题. 【自主解答】 如图所示,该城市位于点 A,台风中心点 B 在点

A 的正东方向 300 km 处,以 40 km/h 的速度向西北方向移动.
设经过 t1 小时,该城市受到影响,经过 t2 小时,台风刚好离开,城市受影响的时间为 t 小时. 则在△ABC1 中,AB=300 km,AC1=250 km,AC2=250 km,BC1=40t2 km,B=45°, 由正弦定理得 = = , sin B sin∠AC1B sin∠C1AB 即 sin∠AC1B=

AC1

AB

BC1

ABsin B 3 = 2≈0.8485, AC1 5
7

∴∠AC1B≈58.05°,∠AC2B≈121.95°. 当∠ AC1B≈58.05°时,∠ C1AB =180°- (B +∠ AC1B)≈76.95°, BC1 = ≈344.42(km), 此时 t2=

AC1sin∠C1AB sin B

BC1
40

≈8.6(h).

同理,当∠AC2B≈121.95°时,BC2≈79.83(km),t1≈2.0(h).t=t2-t1≈8.6-2.0= 6.6(h). 答:约 2 小时后该城市开始受到台风影响,持续时间约为 6.6 h.

1.解决正弦定理的实际应用问题的关键是根据题意将已知量置于可解的三角形中,通 过正弦定理与其他知识解三角形后,根据实际问题得出结论. 2.以三角形为数学模型求解实际问题时,要正确使用仰角,俯角,方位角,方向角等 概念,依此得出相应的三角形内角的大小.

甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60°的 B 点处,测得乙船以每小时 a 海里的速度向正北 行驶.已知甲船的速度是每小时 3a 海里,则甲船应如何航行才能最快地与乙船相遇? 【解】 如图所示,设这两船最快在 C 点相遇,在△ABC 中,B=120°,AB 为定值,AC,

BC 分别是甲船与乙船在相同时间内的行程,

由已知条件有 AC∶BC= 3a∶a= 3∶1, 由正弦定理得 sin ∠CAB=

BC 1 1 sin B= sin 120°= , AC 2 3

又 0°<∠CAB<60°,∴∠CAB=30°. 故甲船的航向是北偏东 60°-∠CAB=60°-30°=30°.

8

故甲船向北偏东 30°的方向航行,才能最快地与乙船相遇.

(对应学生用书第 5 页)

判断三角形形状时忽略隐含条件而致误 在△ABC 中,(a +b )sin(A-B)=(a -b )·sin(A+B),试判断△ABC 的形状. 【错解】 由已知得 a [sin(A-B)-sin(A+B)]=b [-sin(A+B)-sin(A-B)], 所以 2a cos Asin B=2b cos Bsin A. 由正弦定理,得 sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, 所以 sin 2A=sin 2B.所以 2A=2B,即 A=B. 所以△ABC 为等腰三角形. 【错因分析】 解题过程中忽略角的范围这一限制条件,约分时应指出 sin A≠0,sin
2 2 2 2 2 2 2 2

B≠0.同时由 sin 2A=sin 2B 及角 2A,2B 的范围应得出两种情况:2A=2B 或 2A+2B=π .
出现上述错误的主要原因就是三角函数的知识掌握得不扎实. 【防范措施】 在进行有关三角形内角的三角恒等变换时,先讨论角的范围,然后在所 求范围内,由三角恒等式讨论角的关系. 【正解】 由(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A+B), 得 a [sin(A+B)-sin(A-B)]=b [sin(A+B)+sin(A-B)], 所以 2a sin Bcos A=2b sin Acos B. 由正弦定理得 sin Acos Asin B=sin Bsin Acos B. 因为 A,B∈(0,π ),所以 sin A>0,sin B>0, 所以 sin Acos A=sin Bcos B,即 sin 2A=sin 2B. 因为 0<2A<2π ,0<2B<2π , π 所以 2A=2B 或 2A+2B=π ,所以 A=B 或 A+B= , 2 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

9

1.基础知识: (1)三角形面积公式; (2)正弦定理的深化及变化. 2.基本技能: (1)求三角形的面积; (2)判断三角形形状; (3)正弦定理的综合应用与实际应用. 3.思想方法: (1)转化与化归思想; (2)数学建模; (3)公式法求面积.

10

(对应学生用书第 6 页)

1.△ABC 中,a=5,b=3,C=120°,则 sin A∶sin B=________. 【解析】 sin A∶sin B= 【答案】 5∶3 2.已知△ABC 中,AB=6,A=30°,B=120°,则△ABC 的面积为________. 【解析】 由 = ,得 BC=6, sin A sin C 1 ∴S△ABC= AB·BC·sin B=9 3. 2 【答案】 9 3 3.在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 A,C 两点之间的距离是________千米. 【解析】 如图所示,∠C=180°-60°-75°=45°. ∶ =a∶b=5∶3. 2R 2R

a

b

BC

AB

由正弦定理 = 得 sin B sin C sin B =2× = 6. sin C 2 2 6 3 2

AC

AB

AC=AB·

【答案】

a cos B 4.在△ABC 中,已知 a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,若 = ,试判断△ABC b cos A
的形状. 【解】 由正弦定理得 =

a sin A , b sin B

11

a cos B sin A cos B 所以, = ? = ? sin Acos A b cos A sin B cos A
=sin Bcos B? sin 2A=sin 2B? 2A=2B π 或 2A=π -2B? A=B 或 A+B= , 2

∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

(对应学生用书第 80 页)

一、填空题 1.(2013·岳阳高二检测)在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,则 A、B、C 分别所对边 a∶b∶c=________. 【解析】 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4. 【答案】 3∶2∶4 2.(2013·无锡检测)△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,∠A=60°,AC 9 =2 3,S△ABC= ,则 AB=________. 2 1 1 3 3 【解析】 ∵S△ABC= AB·ACsin A= AB×2 3× = AB, 2 2 2 2 3 9 ∴ AB= ,∴AB=3. 2 2 【答案】 3 3.(2013·南通检测)在三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2sin Acos

a C=sin B,则 =________. c
【解析】 ∵2sin Acos C=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C ∴sin Acos C-cos Asin C=0,∴sin(A-C)=0. ∴A=C,∴ =1. 【答案】 1

a c

12

4.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 一定是________三角形. A B C cos cos cos 2 2 2 【解析】 ∵ = = , A B C cos cos cos 2 2 2 ∴ sin A sin B sin C = = , A B C cos cos cos 2 2 2

a

b

c

a

b

c

∴sin =sin =sin .∵0°< , , <90°, 2 2 2 2 2 2 ∴ = = ,∴A=B=C,∴△ABC 为等边三角形. 2 2 2 【答案】 等边 5.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B=________. 【解析】 ∵ = ,∴sin B= sin A sin B

A

B

C

A B C

A B C

a

b

bsin A 3 = . a 3
6 . 3

∵b<a,∴B<A,∴B 为锐角,∴cos B= 【答案】 6 3

6.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,m=(a ,b ),n=(tan A,tan B), 且 m∥n,那么△ABC 一定是________三角形. 【解析】 ∵m∥n,∴a tan B=b tan A, ∴sin Atan B=sin B tan A, ∴ sin A sin B = ,∴sin 2A=sin 2B cos B cos A
2 2 2 2

2

2

π ∴A=B 或 A+B= ,∴△ABC 是等腰或直角三角形. 2 【答案】 等腰或直角 7.(2013·德州高二检测)△ABC 中,B=60°,最大边与最小边之比为( 3+1)∶2,则 最大角为________. 【解析】 设最小角为 α ,则最大角为 120°-α , ∴ sin?120°-α ? 3+1 = , sin α 2

∴2sin(120°-α )=( 3+1)sin α , ∴sin α =cos α ,∴α =45°,

13

∴最大角为 120°-45°=75°. 【答案】 75° π 8.在△ABC 中,A= ,BC=3,则 AC+AB 的取值范围是________. 3 【解析】 根据正弦定理,得

BCsin B AC= =2 3sin B, sin A BCsin C AB= =2 3sin C, sin A
∴AC+AB=2 3(sin B+sin C) 2π =2 3[sin B+sin( -B)] 3 =2 3(sin B+ 3 1 cos B+ sin B) 2 2

π =6sin(B+ ). 6 2π ∵0<B< , 3 ∴ π π 5π <B+ < , 6 6 6

1 π ∴ <sin(B+ )≤1, 2 6 π ∴3<6sin(B+ )≤6. 6 ∴AC+AB 的取值范围是(3,6]. 【答案】 (3,6] 二、解答题 π 9.(2013·如皋检测)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B= ,cos A 3 4 = ,b= 3. 5 (1)求 sin C 的值; (2)求△ABC 的面积. 4 3 【解】 (1)∵cos A= ,∴sin A= , 5 5 3 1 4 3 1 ∴sin C=sin(A+B)= × + × = (3+4 3). 5 2 5 2 10

14

(2)由正弦定理 = , sin A sin B

a

b

bsin A ∴a= = sin B

3 3× 5 6 = , 5 3 2

1 1 6 3+4 3 9 3+36 ∴S= absin C= × × 3× = . 2 2 5 10 50 10.在△ABC 中,若 sin A=2sin Bcos C,且 sin A=sin B+sin C,试判断三角形的形 状. 【解】 ∵A、B、C 是三角形的内角, ∴A=π -(B+C), ∴sin A=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C =2sin Bcos C. ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, ∴sin(B-C)=0. 又∵0<B<π ,0<C<π , ∴-π <B-C<π ,∴B=C. 又∵sin A=sin B+sin C, 且 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, (R 为△ABC 外接圆的半径) 可得 a =b +c ,∴A 是直角, ∴△ABC 是等腰直角三角形. 11.在△ABC 中,若 C=3B,求 的取值范围. 【解】 由正弦定理可知
2 2 2 2 2 2 2 2 2

c b

c sin C sin 3B sin Bcos 2B+cos Bsin 2B = = = b sin B sin B sin B
=cos 2B+2cos B=4cos B-1. 又因为 A+B+C=180°,C=3B, 故 0°<B<45°, 1 2 所以 <cos B<1, 2 所以 1<4cos B-1<3,
2 2 2

2 <cos B<1, 2

15

故 1< <3. 即 的取值范围是(1,3).

c b

c b

16

(教师用书独具)

在△ABC 中,求证

a-ccosB sin B = . b-ccos A sin A

【思路探究】 由正弦定理把等式左边统一为角的三角函数,通过三角变换证明. 【证明】 由正弦定理 = = =2R, sin A sin B sin C 得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 2Rsin A-2Rsin C·cos B 左边= 2Rsin B-2Rsin C·cos A = = = = sin A-sin C·cos B sin B-sin C·cos A sin?B+C?-sin C·cos B sin?A+C?-sin C·cos A sin B·cos C+cos B·sin C-sin C·cos B sin A·cos C+cos A·sin C-sin C·cos A sin B·cos C sin B = =右边. sin A·cos C sin A

a

b

c

所以

a-ccos B sin B = . b-ccos A sin A

如图所示,

D 是直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的一点,且 AB=AD,记∠CAD=α ,∠ABC=β .
(1)求证 sin α +cos 2β =0; (2)若 AC= 3DC,求 β 的值. 【解】 (1)证明:因为 AB=AD,所以∠ADB=∠ABD=β . π π π 又因为 α = -∠BAD= -(π -2β )=2β - , 2 2 2
17

π 所以 sin α =sin(2β - )=-cos 2β , 2 即 sin α +cos 2β =0. (2)在△ADC 中,由正弦定理得 = , sin α sin∠ADC 即

DC

AC

DC
sin α



, sin?π -β ? 3DC ,所以 sin β = 3sin α . sin β

AC



DC
sin α



由(1)知 sin α =-cos 2β , 所以 sin β =- 3cos 2β =- 3(1-2sin β ), 即 2 3sin β -sin β - 3=0. 解得 sin β = 3 3 或 sin β =- . 2 3
2 2

π 3 因为 0<β < ,所以 sin β = , 2 2 π 所以 β = . 3 拓展 三角形中的几个隐含条件 1.A+B+C=π . 2.sin

A+B
2

C A+B C =cos ,cos =sin . 2 2 2

3.sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C. 4.任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 5.在△ABC 中,sin A>sin B?A>B?a>b;A>B?cos A<cos B.

18


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