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气体动理论一章习题解答


气体动理论一章习题解答
习题 6—1 关于温度的意义,有下列几种说法:

(1) 气体的温度是分子平均平动动能的量度。 (2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现,具有统计意义。 (3) 温度的高低反映物质内部分子热运动剧烈程度的不同。 (4) 从微观上看,气体的温度表示每个气体分子的冷热程度。 上述说法中,正确的是: [ (A) (1)、(2)、(4)。 (C) (2)、(3)、(4)。 ] (B) (1)、(2)、(3)。 (D) (1)、(3)、(4)。

解:根据温度的统计意义及其定义,容易判断答案(B)是正确的。

习题 6─2

一瓶氦气和一瓶氮气密度相同 ( ρ N 2 = ρ He ),分子平均平动动能相同

( ε kN 2 = ε kHe ),而且它们都处于平衡状态,则它们: (A) 温度相同,压强相同。 (B) 温度、压强都不同。

(C) 温度相同,但氦气的压强大于氮气的压强。 (D) 温度相同,但氮气的压强大于氦气的压强。 解: 氦气和氮气的分子平均平动能 ε k = 3kT 2 相同, 因而它们的温度 T 相同; 由于理想气体的压强

P = nkT
氦气和氮气密度相同, 氦气的分子量小,它的分子数密度大,所以氦气的 压强大于氮气的压强。 所以,只有答案(C)是正确的。

习题 6─3

图示两条曲线分别表示在相同的温度下氧气和氢气分子速率分布曲 ]

线, ( v P ) O2 和 ( v P ) H 2 分别表示氧气和氢气分子的最可几速率,则: [ (A) 图中 a 表示氧气分子的速率分布曲线, ( v P ) O2 (v P ) H = 4 。
2

(B) 图中 a 表示氧气分子的速率分布曲线, ( v P ) O2 (v P ) H = 1 4 。
2

(C) 图中 b 表示氧气分子的速率分布曲线, ( v P ) O2 (v P ) H = 1 4 。
2

(D) 图中 b 表示氧气分子的速率分布曲线, ( v P ) O2 (v P ) H = 4 。
2

解:由麦氏速率分布率,在相同温度下,气体的分子量越大其速率大的分子 比率越少,曲线峰值左移,从给定的分布曲线可以判断图中 a 表示氧气分子的速 率分布曲线。另一方面,由于气体分子最可几速 率为
f(v) a b

vP =
所以

2 RT 1 ∝ M M

O

习题 6―3 图

v

( v P ) O2 ( v P ) H 2 = M H 2

M O2 = 2 32 = 1 4

所以应当选择答案(B)。

习题 6—4

三个容器 A、B、C 中装有同种理想气体,其分子密度 n 相同,而方

2 2 均根速率之比为 v 2 A : v B : v C = 1 : 2 : 4 ,则气体的压强之比 PA : PB : PC 为:



] (A) 1:2:4。 (B) 4:2:1。 (C) 1:4:16。 (D) 1:4:8。

解:根据理想气体状态方程

P = nkT ∝ T
分子平均平动能 ε k =
1 2 3 kT ,且 ε k = 2 m v ,所以,气体温度与气体分子的 2

方均根速率的平方成正比,即

T ∝ v2
因此,气体的压强
2 ? P∝? ? v ? ? ? 2

所以,气体的压强之比 PA:PB:PC 为 12:22:42 = 1:4:16,答案(C)正确。

习题 6─5

在一密封容器中盛有 1mol 氦气(视为理想气体 ),这时分子无规则运 ] (C) 温度 T。 (D) 平均碰撞频率 Z 。

动的平均自由程仅决定于[ (A) 压强 P。

(B) 体积 V。

解:由平均自由程公式可得

λ=
因此选择(B)。

1 V = ∝V 2 2π d n 2π d 2 N A

习题 6—6

若室内升起炉子后温度从 15℃升高到 27℃,而室内气压不变,则此 ] (B) 4%。 (C) 9%。 (D) 21%。

时室内的分子数减少了: [ (A)0.5%。

解:依题设条件并应用公式

P = nkT 可得

P1 = n1 kT1 = P2 = n2 kT2
所以

n2 T1 273 + 15 288 = = = n1 T2 273 + 27 300
因而

n1 ? n2 n 288 = 1? 2 = 1? = 0.04 n1 n1 300
故,室内的分子数减少了 4%,应当选择答案(B)。 习题 6—7 若氧分子(O2)气体离解成氧原子(O)气体后,其热力学温度提高一倍, ] (D) 1 2 倍。

则氧原子的平均速率是氧分子的平均速率的: [ (A) 4 倍。 (B) 2 倍。

(C) 2 倍。

解:把两种气体都看成理想气体,它们分子的平均速率为

v=

8kT ∝ πm

T m

分子气体变为原子气体后,不仅温度加倍,而且分子质量减少一倍,所以氧原子 的平均速率应该是氧分子的平均速率的 2 倍。应选择答案(C)。

习题 6—8

氢分子的质量为 3.3×10-27g, 如果每秒有 1023 个氢分子沿着与容器壁

的法线成 45°角的方向以 105cm/s 的速率撞击在 2.0cm2 面积上(碰撞为完全弹性 的),则此氢气的压强为 。

解:在每秒钟内、每一个氢气分子与容器壁碰撞施于器壁的冲量为 2mv cos 45 ? ,则所有 N 个分子在每秒钟内施于器壁的总冲量为 2 Nmv cos 45 ? ,单 位时间的冲量即为分子碰撞施于器壁的平均作用力,因此,氢气的压强为

F 2 Nmv cos 45? 2 × 10 23 × 3.3 × 10 ?22 × 10 3 × 2 2 P= = = = 2.33 × 10 3 Pa ?4 S S 2.0 × 10

习题 6─9

用总分子数 N、气体分子速率 v 和速率分布函数 f(v)表示下列各量: ; ; 。

(1) 速率大于 v0 的分子数= (2) 速率大于 v0 的那些分子的平均速率

(3) 多次观察某一分子的速率,发现其速率大于 v0 的几率 解:(1) 速率大于 v0 的分子数为
?N = ∫ Nf ( v) dv
v0


(2) 速率大于 v0 的那些分子的平均速率

v v > v0

υNF ( v)dv ∫ ∫ = = Nf ( v ) d v ∫ ∫
v0 ∞ v0





v0 ∞ v0

vf ( v ) dv f ( v) dv

(3) 多次观察某一分子的速率,发现其速率大于 v0 的几率为


习题 6—10



v0

f ( v ) dv

容器中储有 1mol 的氮气,压强为 1.33Pa,温度为 7℃,则 ; ; 。

(1) 1m3 氮气的分子数为 (2) 容器中氮气的密度为 (3) 1m3 中氮气分子的总平动动能为 解:(1) 由 压强方程

P = nkT
可得 1m3 氮气的分子数

n=
(2) 容器内氮气的密度

P 1.33 = = 3.44 × 10 20 m-3 ? 23 kT 1.38 × 10 × 280

ρ = nm N 2 = n ?

M 3.44 × 10 20 × 28 × 10 ?3 = = 1.60 × 10 ? 5 kg/m-3 23 NA 6.02 × 10

(3) 1m3 中氮气分子的总平动动能为
3 nε k = n ? kT = 3.44 × 10 20 × 1.5 × 1.38 × 10 ? 23 × 280 = 1.99 J 2

习题 6─11 在容积为 V 的容器内, 同时盛有质量为 M1 和质量为 M2 的两种单原 子分子理想气体。已知此混合气体处于平衡状态时它们的内能相等,且均为 E。 则混合气体的压强 P= 解:(1) 理想气体的内能 ;两种气体分子的平均速率之比 v1 : v 2 = 。

E=
理想气体状态方程

m i RT M 2

(1)

PV =
由(1) 、 (2)显然有

m RT M

(2)

E=
(3)式对所有理想气体都成立。

i PV 2

(3)

由于两种都是单原子分子 i = 3 ,由(3)式可知两种气体的压强

P1 =
混合气体的压强

2E 2E P2 = 3V , 3V

P = P1 + P2 =
∴ ∴ 混合气体的压强为

2E 2E 4E + = 3V 3V 3V

m1 M 1 = m2 M 2

(2) 两种气体分子的温度相同,平均速率之比与摩尔质量的二分之一次方成 反比。由(2)式可知两种气体分子的摩尔数相同,摩尔质量之比就等于总质量 之比,所以平均速率之比

v1 = v2

M2 M1

习题 6─12

一定质量的理想气体储存于某一容器中,温度为 T,气体分子质量

为 m, 根据理想气体分子模型和统计假设, 分子速度在 X 方向的分量的下列平均 值为: v x =
2 ; vx =



解: 根据平衡态的统计假设容易知道

vx = 0
1 2 1 1 3kT 2 1 3kT kT v2 v = ( v2 )2 = ( ) = ? = x = 3 3 3 m 3 m m

习题 6—13

由能量按自由度均分原理,设气体分子为刚性分子,自由度为 i,

则当温度为 T 时, (1) 一个分子的平均动能为 (2) 一摩尔氧气分子的转动动能总和为 解:(1) 据定义,一个分子的平均动能为 ; 。

ε=

i kT 2

(2) 氧气分子是双原子分子其转动自由度为 2,因此,一摩尔氧气分子的转 动动能总和为

NA

2 kT = N A kT = RT 2

习题 6─14

有 2×10-3m3 刚性双原子分子理想气体,其内能为 6.75×102J。(1)

试求气体的压强;(2) 设分子总数为 5.4×1022 个,求分子的平均平动动能及气体 的温度。

解:(1) 由于

E=

i PV 2

又刚性双原子分子理想气体的自由度 i = 5 ,则

P=
(2) 由压强公式

2 E 2 × 6.75 × 10 2 = = 1.35 × 10 5 Pa 5V 5 × 2 × 10 ?3

P = nkT =
可得

N kT V

PV 1.35 × 10 5 × 2 × 10 ?3 T= = = 362 K Nk 5,4 × 10 22 × 1.38 × 10 ? 23
气体分子平均平动能

εk =

3 3 kT = × 1.38 × 10 ? 23 × 362 = 7.5 × 10 ? 21 J 2 2

习题 6—15

已知某理想气体分子的方均根速率为 400m/s, 当其压强为 1atm 时,

求气体的密度。 解:由理想气体的压强公式 1 P == ? ρ ? v 2 3 可解得
3 × 1.013 × 10 5 ρ= = = 1.899kg/m 3 2 ( 400) ( v2 )2 3P

习题 6—16

容积 V=1m3 的容器内混有 N1=1.0×1025 个氢分子和 N2=4.0×1025

个氧分子,混合气体的温度为 400K,求:(1) 气体分子的平动动能总和;(2) 混 和气体的压强。 解:(1) 气体分子的平动动能总和为 3 N ε k = N 1ε kH 2 + N 2 ε kO2 = ( N 1 + N 2 ) kT 2

3 = (1.0 + 4.0) × 10 25 × × 1.38 × 10 ? 23 × 400 2 = 4.14 × 10 5 J (2) 混和气体的压强为

P = P1 + P2 =
=

1 ( N 1 kT + N 2 kT ) V

1 ( N 1 + N 2 )kT V

(1.0 + 4.0) × 10 25 × 1.38 × 10 ?23 × 400 = 1 = 2.67 × 10 5 Pa

习题 6—17

容积 V=1m3 的容器内混有 N1=1.0×1025 个氧分子和 N2=4.0×1025

个氮分子, 混合气体的压强为 2.67×105 Pa, 求: (1) 分子的平均平动动能; (2) 混 合气体的温度。 解:此题我们可先解第二问。 (2) 由压强公式

P = nkT =
混合气体的压强

N kT V

P = P1 + P2 = ( N 1 + N 2 )
可得

kT V

T=

PV 2.67 × 10 5 × 1 = = 387 K ( N 1 + N 2 )k (1.0 + 4.0) × 10 25 × 1.38 × 10 ? 23

(1) 混合气体分子的平均平动动能为

εk =

3 3 kT = × 1.38 × 10 ? 23 × 387 = 8.01 × 10 ? 21 J 2 2

习题 6—18

实验测得常温下距海平面不太高处,每升高 10m,大气压约降低

1mmHg,试用恒温度气压公式证明此结果。(海平面处大气压按 760mmHg 计,

温度取 273K) 证明:由等温气压公式

P = P0 e
把上式两边对 h 求导

?

mgh kT

= P0 e

?

Mgh RT

Mgh ? dP Mg =? ? P0 e RT dh RT

当 h 很小时,上式可变为

dP Mg ≈? ? P0 dh RT
其中负号说明压强随高度的增加而降低。由于上式右端是常数,则可以把它改写 为 ?P = ?

Mg P0 ? ?h RT

取大气的平均分子量为 29 ,重力加速度 g = 10 m/s 2 , ?h = 10 m 代入上式得 ?P = ? 证毕。 29 × 10 ?3 × 10 × 760 × 10 = 0.97 ≈ 1 mmHg 8.31 × 273

习题 6─19

重力场中粒子按高度的分布为 n = n0 e

?

mgh kT

设大气中温度随高度的变

化忽略不计,在 27℃时,升高多大高度,大气压强减为原来的一半。 解:由粒子数按高度分布公式可得等温气压公式

P = nkT = n0 kTe
由上式

?

mgh kT

= P0 e

?

mgh kT

ln
解得

P mgh Mgh =? =? P0 kT RT

h=

RT P0 8.31× 300 ln = ? × ln 2 = 6080 m Mg P 29 × 10 ?3 × 10

习题 6─20

假设有 N 个粒子,其速率分布函数 f(v)为: ? Av(100 ? v) f ( v) = ? 0 ?

v ≤ 100m/s v > 100m/s


则 A 应满足的方程

;N 个粒子的方均根速率应满足的方程

解:(1)

速率分布函数应满足归一化条件


这就是 A 应满足的方程。

100

0

f ( v)dv = ∫

100

0

Av(100 ? v)dv = 1

(2) 求粒子的方均根速率首先得算出分子速率平方的平均值,即

v 2 = ∫ v 2 f ( v)dv = ∫ v 3 A(100 ? v)dv
0 0

100

100

上式开方就是 N 个粒子的方均根速率应满足的方程。


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