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高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1_图文

阶 段 一 阶 段 三 3.1 变化率与导数 阶 段 二 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 学 业 分 层 测 评 1.理解函数在某点附近的平均变化率.(重点) 2.会求函数在某点处的导数.(难点) 3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易错点) [基础· 初探] 教材整理 1 变化率问题 阅读教材 P72~P74“思考”部分,完成下列问题. 函数的变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 f?x2?-f?x1? Δy x2-x1 (1)定义式:Δx=____________. 之比 . (2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量_______ (3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)Δx 表示 x2-x1 是相对于 x1 的一个增量,Δx 可以为零.( (2)Δy 表示 f(x2)-f(x1),Δy 的值可正可负也可以为零.( ) ) ) Δy (3)Δx表示曲线 y=f(x)上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.( 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理 2 导数的概念 阅读教材 P74 导数的概念~P75 例 1 以上部分,完成下列问题. 1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim Δx (1)定义式: lim Δx=___________________. Δx→0 Δx→0 平均变化率 趋 (2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时,______________ 近的值. (3)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢. 2.函数 f(x)在 x=x0 处的导数 瞬时变化率 函数 y=f(x)在 x=x0 处的______________称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim f′(x0)或y′|x=x0 数, 记作_________________________, 即 f′(x0)= lim Δx=________________. Δx Δx→0 Δx→0 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关.( (3)在导数的定义中,Δx,Δy 都不可能为零.( (4)函数 f(x)=x 在 x=0 处的瞬时变化率为 0.( 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× ) ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.( ) ) [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 平均变化率 (1) 函数 y = f(x) = 3x2 + 2 在区间 [x0 , x0 + Δx] 上的平均变化率为 ________,当 x0=2,Δx=0.1 时平均变化率的值为________. (2)已知函数 f(x)=-x2+x 的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点 B(-1 Δy +Δx,-2+Δy),则Δx=________. 【自主解答】 (1)函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率 为 2 f?x0+Δx?-f?x0? [3?x0+Δx?2+2]-?3x2 + 2 ? 6 x ·Δ x + 3 ? Δ x ? 0 0 = = Δx Δx ?x0+Δx?-x0 =6x0+3Δx. 当 x0=2,Δx=0.1 时, 函数 y=3x2+2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2+3×0.1=12.3. (2)∵Δy=f(-1+Δx)-f(-1) =-(-1+Δx)2+(-1+Δx)-[-(-1)2+(-1)] =-(Δx)2+3Δx, 2 Δy -?Δx? +3Δx ∴Δx= =-Δx+3. Δx 【答案】 (1)6x0+3Δx 12.3 (2)-Δx+3 求平均变化率的主要步骤 1.计算函数值的改变量 Δy=f(x2)-f(x1). 2.计算自变量的改变量 Δx=x2-x1. Δy f?x2?-f?x1? 3.得平均变化率Δx= . x2-x1 [再练一题] 1 1.求函数 f(x)=x 在 x=1,2,3 附近的平均变化率,取 Δx 都为3,在哪一点 2 附近平均变化率最大? 【导学号:26160067】 【解】 在 x=1 附近的平均变化率为: f?1+Δx?-f?1? ?1+Δx?2-1 k1 = = =2+Δx; Δx Δx 在 x=2 附近的平均变化率为: f?2+Δx?-f?2? ?2+Δx?2-22 k2 = = =4+Δx; Δx Δx 在 x=3 附近的平均变化率为: f?3+Δx?-f?3? ?3+Δx?2-32 k3 = = =6+Δx. Δx Δx 1 若 Δx=3, 1 7 1 13 则 k1=2+3=3,k2=4+3= 3 , 1 19 k3=6+3= 3 . 由于 k1<k2<k3, 故在 x=3 附近的平均变化率最大. 求瞬时速度 若一物体的运动方程为 m,时间单位:s).求: (1)物体在 t=3 s 到 t=5 s 这段时间内的平均速度; (2)物体在 t=1 s 时的瞬时速度. 2 ? ?29+3?t-3? ,0≤t<3, s=? 2 ? ?3t +2,t≥3 (路程单位: 【精彩点拨】 根据问题选择对应的函数解析式 → 根据平均速度和瞬时速度的概念求解 【自主解答】 (1)因为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=48(m),Δt=2 s,所以 Δs 48 物体在 t=3 s 到 t=5 s 这段时间内的平均速度为 Δt = 2 =24(m/s). (2)因为 Δs=29+3[(1+Δ

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