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2015年武汉市中考数学试卷及答案解析(Word版)


2015 年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)下列各题中均有四个备选答案,其中有 且只有一个是正确的,请在答题卡上将正确答案的代号涂黑. 1. (3 分) (2015?武汉)在实数﹣3,0,5,3 中,最小的实数是( ) A. ﹣3 B. 0 C. 5 D . 3 考点: 实数大小比较. 分析: 正实数都大于 0,负实数都小于 0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大 的反而小,据此判断即可. 解答: 解:根据实数比较大小的方法,可得 ﹣3<0<3<5, 所以在实数﹣3,0,5,3 中,最小的实数是﹣3. 故选:A. 点评: 此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正 实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小. 2. (3 分) (2015?武汉)若代数式 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( )

A.x≥﹣2 B.x>﹣2 C.x≥2 D.x≤2 考点: 二次根式有意义的条件. 分析: 根据二次根式的性质,被开方数大于等于 0,就可以求解. 解答: 解:根据题意得:x﹣2≥0, 解得 x≥2. 故选:C. 点评: 本题考查了二次根式有意义的条件,知识点为:二次根式的被开方数是非负数. 3. (3 分) (2015?武汉)把 a ﹣2a 分解因式,正确的是( ) 2 A.a(a﹣2) B.a(a+2) C.a(a ﹣2) D.a(2﹣a) 考点: 因式分解-提公因式法. 专题: 计算题. 分析: 原式提取公因式得到结果,即可做出判断. 解答: 解:原式=a(a﹣2) , 故选 A. 点评: 此题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键. 4. (3 分) (2015?武汉)一组数据 3,8,12,17,40 的中位数为( ) A. 3 B. 8 C. 12 D. 17 考 点: 中位数. 分析: 首先把这组数据 3,8,12,17,40 从小到大排列,然后判断出中间的数是多少, 即可判断出这组数据的中位数为多少. 解答: 解:把 3,8,12,17,40 从小到大排列,可得 3,8,12,17,40, 所以这组数据 3,8,12,17,40 的中位数为 12.
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2

故选:C. 点评: 此题主要考查了中位数的含义和求法的应用, 要熟练掌握, 解答此题的关键是要明 确:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于 中间位置的数就是这组数据的中位数. 如果这组数据的个数是偶数, 则中间两个数据的平均 数就是这组数据的中位数. 5. (3 分) (2015?武汉)下列计算正确的是( ) 2 2 2 A.2a ﹣4a =﹣2 B.3a+a=3a C.3a?a=3a2 解:A、原式=﹣2a ,错误; B、原式=4a,错误; 2 C、原式=3a ,正确; 3 D、原式=2a ,错误. 故选 C. 6. (3 分) (2015?武汉)如图,在直角坐标系中,有两点 A(6,3) ,B(6,0) ,以原点 O 位似中心, 相似比为 , 在第一象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD, 则点 C 的坐标为 ( )
2

D.4a6÷2a3=2a2

A.(2,1)

B.(2,0)

C.(3,3)

D.(3,1)

解:由题意得,△ ODC∽ △ OBA,相似比是 , ∴ = ,又 OB=6,AB=3,

∴ OD=2,CD=1, ∴ 点 C 的坐标为: (2,1) , 故选:A. 7. (3 分) (2015?武汉) 如图, 是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体. 其主视图是 ( )

A.

B.

C.

D.

解:从正面看下面是一个比较长的矩形,上面是一个比较宽的矩形. 故选:B.

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8. (3 分) (2015?武汉)下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况.根据图中信息,下 列说法错误的是( )

A.4:00 气温最低 B. 6:00 气温为 24℃ C. 14:00 气温最高 D.气温是 30℃ 的时刻为 16:00 解:A、由横坐标看出 4:00 气温最低是 24℃ ,故 A 正确; B、由纵坐标看出 6:00 气温为 24℃ ,故 B 正确; C、由横坐标看出 14:00 气温最高 31℃ ; D、由横坐标看出气温是 30℃ 的时刻是 12:00,16:00,故 D 错误; 故选:D.

9. (3 分) (2015?武汉)在反比例函数 y= x1<0<x2,y1<y2,则 m 的取值范围是( A. B. m> m< 解:∵ x1<0<x2 时,y1<y2, ∴ 反比例函数图象在第一,三象限, ∴ 1﹣3m>0, 解得:m< . 故选 B.

图象上有两点 A(x1,y1) ,B (x2,y2) , ) C.

m≥

D.

m≤

10. (3 分) (2015?武汉)如图,△ ABC,△ EFG 均是边长为 2 的等边三角形,点 D 是边 BC、 EF 的中点, 直线 AG、 FC 相交于点 M. 当△ EFG 绕点 D 旋转时, 线段 BM 长的最小值是 ( )

A.2﹣ B. +1 C. D. ﹣1 解:连接 AD、DG、BO、OM,如图. ∵ △ ABC,△ EFG 均是边长为 2 的等边三角形,点 D 是边 BC、EF 的中点, ∴ AD⊥ BC,GD⊥ EF,DA=DG,DC=DF,
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∴ ∠ ADG=90°﹣∠ CDG=∠ FDC,

=



∴ △ DAG∽ △ DCF, ∴ ∠ DAG=∠ DCF. ∴ A、D、C、M 四点共圆. 根据两点之间线段最短可得:BO≤BM+OM,即 BM≥BO﹣OM, 当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时,线段 BM 最小, 此时,BO= 则 BM=BO﹣OM= 故选 D. = ﹣1. = ,OM= AC=1,

二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 11. (3 分) (2015?武汉)计算:﹣10+(+6)= ﹣4 . 考点: 有理数的加法. 专题: 计算题. 分析: 原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果. 解答: 解:原式=﹣(10﹣6)=﹣4. 故答案为:﹣4. 点评: 此题考查了有理数的加法,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 12. (3 分) (2015?武汉)中国的领水面积约为 370 000km ,将数 370 000 用科学记数法表 5 示为 3.7×10 . 5 解:370 000=3.7×10 , 5 故答案为:3.7×10 . 13. (3 分) (2015?武汉)一组数据 2,3,6,8,11 的平均数是 6 . 解: (2+3+6+8+11)÷5 =30÷5 =6 所以一组数据 2,3,6,8,11 的平均数是 6. 故答案为:6. 14. (3 分) (2015?武汉)如图所示,购买一种苹果,所付款金额 y(元)与购买量 x(千克) 之间的函数图象由线段 OA 和射线 AB 组成, 则一次购买 3 千克这种苹果比分三次每次购买 1 千克这种苹果可节省 2 元.
2

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解:由线段 OA 的图象可知,当 0<x<2 时,y=10x, 1 千克苹果的价钱为:y=10, 设射线 AB 的解析式为 y=kx+b(x≥2) , 把(2,20) , (4,36)代入得: 解得: , ,

∴ y=8x+4, 当 x=3 时,y=8×3+4=28. 当购买 3 千克这种苹果分三次分别购买 1 千克时,所花钱为:10×3=30(元) , 30﹣28=2(元) . 则一次购买 3 千克这种苹果比分三次每次购买 1 千克这种苹果可节省 2 元. 15. (3 分) (2015?武汉) 定义运算“*”, 规定 x*y=ax +by, 其中 a、 b 为常数, 且 1*2=5, 2*1=6, 则 2*3= 10 . 解:根据题中的新定义化简已知等式得: 解得:a=1,b=2, 则 2*3=4a+3b=4+6=10, 故答案为:10. 16. (3 分) (2015?武汉)如图,∠ AOB=30°,点 M、N 分别在边 OA、OB 上,且 OM=1, ON=3,点 P、Q 分别在边 OB、OA 上,则 MP+PQ+QN 的最小值是 . ,
2

解:作 M 关于 OB 的对称点 M′ ,作 N 关于 OA 的对称点 N′ , 连接 M′ N′ ,即为 MP+PQ+QN 的最小值. 根据轴对称的定义可知:∠ N′ OQ=∠ M′ OB=30°,∠ ONN′ =60°, ∴ △ ONN′ 为等边三角形,△ OMM′ 为等边三角形, ∴ ∠ N′ OM′ =90°, ∴ 在 Rt△ M′ ON′ 中, M′ N′ = 故答案为 .
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=



三、解答题(共 8 小题,共 72 分)下列各题解答应写出文字说明,证明过程或演算过程. 17. (8 分) (2015?武汉)已知一次函数 y=kx+3 的图象经过点(1,4) . (1)求这个一次函数的解析式; (2)求关于 x 的不等式 kx+3≤6 的解集. 解: (1)∵ 一次函数 y=kx+3 的图象经过点(1,4) , ∴ 4=k+3, ∴ k=1, ∴ 这个一次函数的解析式是:y=x+3. (2)∵ k=1, ∴ x+3≤6, ∴ x≤3, 即关于 x 的不等式 kx+3≤6 的解集是:x≤3. 18. (8 分) (2015?武汉)如图,点 B、C、E、F 在同一直线上,BC=EF,AC⊥ BC 于点 C, DF⊥ EF 于点 F,AC=DF.求证: (1)△ ABC≌ △ DEF; (2)AB∥ DE.

证明: (1)∵ AC⊥ BC 于点 C,DF⊥ EF 于点 F, ∴ ∠ ACB=∠ DFE=90°, 在△ ABC 和△ DEF 中, ∴ △ ABC≌ △ DEF(SAS) ; (2)∵ △ ABC≌ △ DEF, ∴ ∠ B=∠ DEF, ∴ AB∥ DE. 19. (8 分) (2015?武汉)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为 1, 2,3,4.
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(1)随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是 3”的概率; (2)随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,直接写出下列结果: ① 两次取出的小球一个标号是 1,另一个标号是 2 的概率; ② 第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是 2 的小球的概率. 解: (1)∵ 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为 1,2,3,4, ∴ 随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是 3”的概率为: ;

(2)画树状图得:

则共有 16 种等可能的结果; ① ∵ 两次取出的小球一个标号是 1,另一个标号是 2 的有 2 种情况, ∴ 两次取出的小球一个标号是 1,另一个标号是 2 的概率为: = ;

② ∵ 第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是 2 的小球的只有 1 种情况, ∴ 第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是 2 的小球的概率为: .

20. (8 分) (2015?武汉)如图,已知点 A(﹣4,2) ,B(﹣1,﹣2) ,平行四边形 ABCD 的对角线交于坐标原点 O. (1)请直接写出点 C、D 的坐标; (2)写出从线段 AB 到线段 CD 的变换过程; (3)直接写出平行四边形 ABCD 的面积.

解: (1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ 四边形 ABCD 关于 O 中心对称, ∵ A(﹣4,2) ,B(﹣1,﹣2) , ∴ C(4,﹣2) ,D(1,2) ; (2)线段 AB 到线段 CD 的变换过程是:线段 AB 向右平移 5 个单位得到线段 CD; (3)由(1)得:A 到 y 轴距离为:4,D 到 y 轴距离为:1, A 到 x 轴距离为:2,B 到 x 轴距离为:2,
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∴ SABCD 的可以转化为边长为;5 和 4 的矩形面积, ∴ SABCD=5×4=20. 21. (8 分) (2015?武汉)如图,AB 是⊙ O 的直径,∠ ABT=45°,AT=AB. (1)求证:AT 是⊙ O 的切线; (2)连接 OT 交⊙ O 于点 C,连接 AC,求 tan∠ TAC.

解: (1)∵ ∠ ABT=45°,AT=AB. ∴ ∠ TAB=90°, ∴ TA⊥ AB, ∴ AT 是⊙ O 的切线; (2)作 CD⊥ AT 于 D, ∵ TA⊥ AB,TA=AB=2OA, 设 OA=x,则 AT=2x, ∴ OT= x, ∴ TC=( ﹣1)x, ∵ CD⊥ AT,TA⊥ AB ∴ CD∥ AB, ∴ = = ,即 = = ,

∴ CD=(1﹣

)x,TD=2(1﹣ )x= x,

)x,

∴ AD=2x﹣2(1﹣

∴ tan∠ TAC=

=

=

﹣1.

22. (10 分) (2015?武汉)已知锐角△ ABC 中,边 BC 长为 12,高 AD 长为 8.

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(1)如图,矩形 EFGH 的边 GH 在 BC 边上,其余两个顶点 E、F 分别在 AB、AC 边上, EF 交 AD 于点 K. ① 求 的值;

② 设 EH=x,矩形 EFGH 的面积为 S,求 S 与 x 的函数关系式,并求 S 的最大值; (2)若 AB=AC,正方形 PQMN 的两个顶点在△ ABC 一边上,另两个顶点分别在△ ABC 的 另两边上,直接写出正方形 PQMN 的边长.

解: (1)① ∵ EF∥ BC, ∴ ∴ 即 , = 的值是 . ,

② ∵ EH=x, ∴ KD=EH=x,AK=8﹣x, ∵ = , ∴ EF= , +24,

∴ S=EH?EF= x(8﹣x)=﹣ ∴ 当 x=4 时,S 的最大值是 24.

(2)设正方形的边长为 a, ① 当正方形 PQMN 的两个顶点在 BC 边上时, , 解得 a= .

② 当正方形 PQMN 的两个顶点在 AB 或 AC 边上时, ∵ AB=AC,AD⊥ BC, ∴ BD=CD=12÷2=6, ∴ AB=AC= ∴ AB 或 AC 边上的高等于:
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AD?BC÷AB =8×12÷10 =

∴ 解得 a= 综上,可得

, .

正方形 PQMN 的边长是





23. (10 分) (2015?武汉)如图,△ ABC 中,点 E、P 在边 AB 上,且 AE=BP,过点 E、P 作 BC 的平行线,分别交 AC 于点 F、Q,记△ AEF 的面积为 S1,四边形 EFQP 的面积为 S2, 四边形 PQCB 的面积为 S3. (1)求证:EF+PQ=BC; (2)若 S1+S3=S2,求 的值; 的值.

(3)若 S3+S1=S2,直接写出

(1)证明:∵ EF∥ BC,PQ∥ BC, ∴ , ,

∵ AE=BP, ∴ AP=BE, ∴ ∴ = =1, =1,

∴ EF+PQ=BC; (2)解:过点 A 作 AH⊥ BC 于 H,分别交 PQ 于 M、N,如图所示: 设 EF=a,PQ=b,AM=h, 则 BC=a+b, ∵ EF∥ PQ, ∴ △ AEF∽ △ APQ, ∴ = ,
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∴ AN=

,MN=( ﹣1)h,

∴ S1= ah,S2= (a+b) ( ﹣1)h,S3= (b+a+b)h, ∵ S1+S3=S2, ∴ ah+ (a+b+b)h= (a+b) ( ﹣1)h, 解得:b=3a, ∴ =3, ∴ =2; (3)解:∵ S3﹣S1=S2, ∴ (a+b+b)h﹣ ah= (a+b) ( ﹣1)h, 解得:b=(1± )a(负值舍去) , ∴ b=(1+ )a, ∴ =1+ ∴ = . ,

24. (12 分) (2015?武汉)已知抛物线 y= x +c 与 x 轴交于 A(﹣1,0) ,B 两点,交 y 轴 于点 C.

2

(1)求抛物线的解析式;

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(2)点 E(m,n)是第二象限内一点,过点 E 作 EF⊥ x 轴交抛物线于点 F,过点 F 作 FG⊥ y 轴于点 G,连接 CE、CF,若∠ CEF=∠ CFG.求 n 的值并直接写出 m 的取值范围(利用图 1 完成你的探究) . (3)如图 2,点 P 是线段 OB 上一动点(不包括点 O、B) ,PM⊥ x 轴交抛物线于点 M, ∠ OBQ=∠ OMP,BQ 交直线 PM 于点 Q,设点 P 的横坐标为 t,求△ PBQ 的周长. 解: (1)把 A(﹣1,0)代入 得 c=﹣ , ∴ 抛物线解析式为 (2)如图 1,过点 C 作 CH⊥ EF 于点 H,

∵ ∠ CEF=∠ CFG,FG⊥ y 轴于点 G ∴ △ EHC∽ △ FGC ∵ E(m,n) ∴ F(m, 又∵ C(0, ) ∴ EH=n+ ,CH=﹣m,FG=﹣m,CG= m 又∵ ,
2





∴ n+ =2 ∴ n= (﹣2<m<0) (3)由题意可知 P(t,0) ,M(t, ∵ PM⊥ x 轴交抛物线于点 M,∠ OBQ=∠ OMP,
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∴ △ OPM∽ △ QPB. ∴ . ,PB=1﹣t,

其中 OP=t,PM= ∴ PQ= BQ= ∴ PQ+BQ+PB= ∴ △ PBQ 的周长为 2. .



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