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2019-2020年新版高中数学北师大版必修1课件:第三章指数函数和对数函数 3.4.2 _图文

4.2 换底公式
-1-

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1.理解换底公式的证明过程,会用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数,能正确运用换底公式计算一般对数.
2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运 算.

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换底公式 logbN=lloogg(a,b>0,a,b≠1,N>0).

名师点拨可用换底公式证明以下结论:

(1)logab=log1(a,b>0,a,b≠1);

(2)logab·logbc·logca=1(a,b,c>0,a,b,c≠1);

(3)log (4)log





bn=logab(a,b>0,a≠1); bm=logab(a,b>0,a≠1);

(5)log1b=-logab(a,b>0,a≠1).



换底公式真神奇,换成新底可任意,

原底加底变分母,真数加底变分子.

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【做一做1】 已知lg 2=a,lg 7=b,则log849用a,b表示为( )

A.23

B.23

C.

D.74

解析:log849=llgg489

=

2lg7 3lg2

=

23.

答案:A

【做一做2】 log47·log74=( ) A.0 B.1 C.4 D.7 答案:B

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题型一 题型二 题型三

题型一 换底公式的应用

【例1】 计算:(1)log1627·log8132;
(2)(log32+log92)(log43+log83). 分析:在两个式子中,对数的底数都不相同,因而要用换底公式进

行换底便于计算求值.

解:(1)log1627·log8132=llgg2176

×

lg32 lg81

=lg
lg

33 24

×

lg lg

25 34

=

3lg3 4lg2

×

5lg2 4lg3

=

1156.

(2)(log32+log92)(log43+log83)

=

log3

2

+

log32 log39

log23 log24

+

log23 log28

=

log3

2

+

1 2

log3

2

1 2

log23

+

1 3

log23

=32log32×56log23=54

×

lg2 lg3

×

lg3 lg2

=

54.

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题型一 题型二 题型三

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反思换底公式中的底可由条件决定,也可换为常用对数的底,一般 来讲,对数的底越小越便于化简,如以an为底的对数可换成以a为底 的对数.

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题型一 题型二 题型三

【变式训练 1】

计算:(1)(log43+log83)

lg2
lg3;

(2)lloogg5513·2lo·lgo7g37

9
.
4

解:(1)原式=

3 4

+

3 8

2 3

=232

·23

+

3 32

·23

=

1 2

+

1 3

=

56.

(2)原式=-125532·13·7794

=-5532··237732=-32log32·log23

=-32

2 3

·32=-32.

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题型一 题型二 题型三

题型二 用已知对数表示其他对数

【例2】 已知log189=a,18b=5,求log3645(用a,b表示). 分析:先利用换底公式,把题目中不同底的对数化成同底的对数,

再进一步应用对数的运算性质求值.

解:方法一:∵18b=5,∴log185=b,

∴log3645=lloogg11884356

=

log18(9×5) log18(18×2)

=log11+89lo+gl1o8g2185

=

+

1+log18

18 9

=

2+-.

方法二:∵log189=a,18b=5,

∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18.

∴log3645=llgg

45 36

=

lg(9×5) lg1892

=

lg9+lg5 2lg18-lg9

=2llgg1188+-llgg1188 = 2+-.

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反思用已知对数表示其他对数时,若它们的底数不相同,常用换底 公式来解决.

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【变式训练2】 已知log1227=a,求log616的值(用a表示).

解:∵log1227=a,∴llgg2172 = 2lg32lg+3lg3=a.

∴lg 2=32-lg 3.



log616=llgg166

=

4lg2 lg2+lg3

=

4×32- 32-+1

=

132+-4.

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题型三 对数的综合应用

【例 3】 设 3a=4b=36,求2 + 1的值.

分析:两边取对数后,表示出a,b,再代入求解,运算时注意换同底的

对数.

解:由 3a=4b=36,得 log336=a,log436=b,

由换底公式可得 a=log336=log1363,b=log436=log1364,

则2


+

1
=2·log363+log364=log369+log364=log3636=1.

反思在解题过程中,根据问题的需要,将指数式转化为对数式,这

是转化思想的具体体现,而换底公式的作用是统一底数,进而才能

运用运算法则.

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【变式训练3】

设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,求

2

+

1

?

2

的值.

解:设 3a=4b=6c=k(k>1),

则 a=log3k,b=log4k,c=log6k,

∴1=logk3,1=logk4,1=logk6.

∴2


+

1

?

2 =2logk3+logk4-2logk6

=logk3366=logk1=0.

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1下列等式不成立的是( )

A.log34=llgg43
1
C.log34=log43

B.log34=llnn43

D.log34=lloogg11

4 3

答案:D

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2(log29)·(log34)=( )

A.14

B.12

C.2

D.4

解析:原式=(log232)·(log322)=4(log23)·(log32)= 4·llgg32 ·llgg23=4. 答案:D

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3若mlog35=1,n=5m,则n的值为

.

解析:∵m=log135=log53,∴n=5m=5lo g53=3.

答案:3

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4已知lg 2=a,10b=3,则log36=

.

解析:∵10b=3,∴lg 3=b.



log36=

lg6 lg3

=

lg2lg+3lg3,则

log36=+ .

答案:+

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5若x·log32 016=1,则2 016x+2 016-x= 答案:130

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.

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6一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约

是原来的75%,大约经过多少年,该物质的剩余量是原来的

1 3

?(lg

2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)

解:设该物质原来的质量为

依题意,得

3 4

×1=13×1,

1,经过

x

年,该物质的剩余量是原来的13,



x=log3
4

1 3

=

lg13 lg34

=

lg3-l-g23lg2≈0.477-01.-407.37011

0×2≈4.

故大约经过 4 年,该物质的剩余量是原来的13.

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编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

2019/7/18

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