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空间几何体的表面积和体积教案设计


空间几何体的表面积和体积 1.知识目标:: 熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积. 2.能力目标: 先介绍由空间三视图求其表面积和体积,然后引导学生讨论和探讨问题. 3.德育目标: (1)通过空间几何体三视图的应用,培养学生的创新精神和探究能力. (2)通过研究性学习,培养学生的整体性思维. (3)通过研究三视图,研究我国著名建筑物的三视图研究,培养学生的爱国情结。 【教学重点】 观察,实践,猜想和归纳的探究过程. 【教学难点】 如何引导学生进行合理的探究. 【教学方法】 电教法,讲述法,分析推理法,讲练法. 【教学用具】 多媒体,实物投影仪. 【教学过程】 [投影]本节课的教学目标 熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积. 【学习目标完成过程】 ? 复习提问: (1)如何求空间几何体的表面积和体积(例如:球,棱柱,棱台等) (2)三视图与其几何体如何转化 ? 新课讲解: [设置问题] 例 1:如图 1,这是一个奖杯的三视图,试根据奖杯的三视图计算出它的表面积和体积 (尺寸如图 1,单位:cm,π 取 3?14,结果精确到 1cm3). [提出问题] 1.空间几何体的表面积和体积分别是什么 2.怎样运用柱体,锥体,台体,球体的表面积与体积的公式计算几何体的表面积和体积 [学生思考,总结板书] 空间几何体的表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小,体积是几何体 所占空间的大小;先将直观图的各个要素弄清楚,然后再代公式进行计算. [承转过渡] 求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得;求体积是将几何体各 个部分的体积相加求得,那么请同学们动脑筋想一想,假设没有给出几何体的直观图, 只是给出一个几何体的三视图,我们怎样解决求该几何体的表面积和体积 在例 1 有 没有给出几何体的直观图 [学生讨论,总结板书] 例 1 没有直接给出几何体的直观图,只是给出实物几何体的三视图,要求该几何体的 表面积和体积,应首先将该三视图转化为几何体的直观图,然后弄清给出直观图的各 个要素,再代公式进行计算. [设问]

请问例 1 的三视图转化为实物几何体是由哪几个部分构成 怎样求出该几何体的表 面积和体积 [讨论,板书] 该实物几何体是由一个球体,一个四棱柱和一个四棱台构成;应先分别求出一个球体, 一个四棱柱和一个四棱台的表面积和体积. [分析解答,板书] 由三视图画出奖杯的草图可知,球的直径为 4 cm,则球的半径 R 为 2 cm,所以球的表面 积和体积分别为: S 球=4πR2=4π·22=16π(cm2) V 球=43πR3=43π·23=323π(cm)3 而四棱柱(长方体)的长为 8 cm,宽为 4 cm,高为 20 cm,所以四棱柱(长方体)的表面积和 体积分别为: S 四棱柱=(8×4+4×20+8×20)×2=272×2=544(cm2) V 四棱柱=8×4×20=640(cm3) [设问] 如何求出四棱台的表面积和体积 [分析解答,板书] 图 2 画出四棱台直观图(图 2)来分析怎样求表面积和体积.由三视图所示,知道该四棱 台的高为 2 cm,上底面为一个边长为 12 cm 的正方形,下底面为一个边长为 20 cm 的 正方形.我们知道四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上,下底面面积的总和. 所以关键是求出四棱台四个侧面的面积,因为它的四个侧面的面积相等,所以只要求 出其中一个侧面面积,问题就解决了.下面我们先求出四棱台 ABCD 面上的斜高,过点 A 作 AE⊥CD,AO 垂直底面于点 O,连接 OE,已知 AO=2 cm,则 AE 为四棱台 ABCD 面 上的斜高: AE=20-1222+22=25 cm 所以四棱台的表面积和体积分别为: S 四棱台=S 四棱台侧+S 上底+S 下底= 4×12+202×25+12×12+20×20= (1285+544)(cm2) V 四棱台=1312×12+12×12+20×20+20×20×2= 23544+434(cm3) [设问] 球体,四棱柱和四棱台的表面积和体积分别已求出来,是不是将它们的表面积和体积 分别相加就是该奖杯的表面积和体积呢 [分析解答,板书] 不是,求体积可以相加,而表面积则不可以相加. 我们知道,表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小;体积是几何体占空 间的大小.所以分别将球体,四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积.应将相 加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积 S,即 S=S 球+S 四棱柱+S 四棱台-2×S 四棱柱底面= 16π+544+1285+544-2×(4×8)= 16π+1024+1285≈ 1 360(cm2) 奖杯的体积为

V=V 球+V 四棱柱+V 四棱台= 323π+640+23434+544≈ 1 052(cm3) [学生活动] 请大家回想一下,在解答的过程中,容易出错的地方是什么 (让学生思考) [总结归纳] 求组合几何体的表面积的时候容易出错. [拓广引申] [探究 1]如果题目改为问:如果该奖杯是由一个球体,一个四棱柱和一个四棱台组合而 成,则制造该奖杯需要多少材料 在计算时还需不需要再减去四棱柱的两个底面面积 [讨论板书] 不需要. [拓广引申] [探究 2]如果将奖杯底部四棱台的各侧棱延长,使它们相交于一点 S(如图 3 所示),得到 的正四棱锥 S-ABCD 的体积为多少 [讨论,解答板书] 图 3 我们要计算正四棱锥 S-ABCD 的体积,因为已经知道该四棱锥的底面面积,所以 只要求出该棱锥的高问题就解决了. 设四棱锥 S-EFGH 的高为 h,则四棱锥 S-ABCD 的高为 h+2,由面积比等于对应边的平 方比得: hh+22=144400 ∴hh+2=1220 ∴h=3 cm 则四棱锥 S-ABCD 的高为 5 cm,所以四棱锥 S-ABCD 的体积为: V 四棱锥=13×400×5=2 0003(cm3) 注:求四棱锥的高还可以利用相似三角形对应边的比求得. [拓广引申] [探究 3]假如从(图 3)四棱锥的顶点向棱锥内注入某种溶液,求四棱锥内溶液体积 V 与 注入溶液高度 h 的函数关系式. [讨论,解答板书] 我们可以看到,在注入溶液的过程中,溶液的体积由棱台变化为棱锥,即是注满四棱锥 时溶液的体积为四棱锥的体积,未注满时溶液的体积为四棱台的体积.而四棱台的体 积随着上,下底面面积与高度的变化而变化,下底面不变,上底面随着高度的变化而变 化,所以应用运动,变化的观点来分析它们之间的关系. 当注入溶液的高度为 h 时,设溶液液面的边长为 a,利用相似三角形对应边的比,易得: a20=5-h5 ∴a=20-4h 所以注入溶液体积 V 与注入溶液高度 h 的函数关系式为: V=13S 上+S 上 S 下+S 下·h=13a2+a2×400+400·h= 13(20-4h)2+20×(20-4h)+400·h= 163h3-80h2+400h(0≤h≤5) (充分挖掘各个知识点之间的联系,有利于帮助学生进行归纳总结,有利于提高教学质 量和效率.) 【课堂练习】

[投影]1.(巩固型)若将题中三视图的正视图改为图 4 所示,也就是已知奖杯中四棱台的 侧棱长为 5 cm,其他条件不变,那又如何求该奖杯的表面积和体积 [投影]2.(提高型)一个正三棱柱的三视图如图 5 所示,求这个正三棱柱的表面积. 【课堂小结】 通过这节课的探究学习,发现由三视图求几何体的表面积和体积,要先将三视图转化 为其几何体的直观图,分清楚直观图中的几何要素,然后再代公式进行计算;特别要分 清几何体的侧面积与表面积;平时多动脑筋,挖掘与题目相关联的知识点. 【布置作业】 [投影](如图 6)已知一个组合几何体的三视图,请根据该几何体的三视图画出它的直 观图,并计算它的表面积和体积.


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