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等比数列基础习题选(附详细解答)


解答:

解:∵ {an}是等比数列,a2=2,a5= , 设出等比数列的公比是 q, ∴ a5=a2?q , ∴ ∴ q= , = = ,
3

故选 D 点评: 本题考查等比数列的基本量之间的关系,若已知等比数列的两项,则等比数列的所有量都可以求出,只要 简单数字运算时不出错,问题可解. 2. 考点: 等比数列. 分析: 由等比数列的性质知(a2a9)=(a3a8)=(a4a7)=(a5a6)=(a1a10) . 解答: 解:因为数列{an}是等比数列,且 a1=1,a10=3, 4 4 所以 a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9) (a3a8) (a4a7) (a5a6)=(a1a10) =3 =81, 故选 A 点评: 本题主要考查等比数列的性质. 3. 考点: 等比数列. 分析: 由等比数列的等比中项来求解. 解答: 解:由等比数列的性质可得 ac=(﹣1)×(﹣9)=9, b×b=9 且 b 与奇数项的符号相同, ∴ b=﹣3, 故选 B 点评: 本题主要考查等比数列的等比中项的应用. 4. 考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由 1,a1,a2,4 成等差数列,利用等差数列的性质求出等差 d 的值,进而得到 a2﹣a1 的值,然后由 1,b1, b2,b3,4 成等比数列,求出 b2 的值,分别代入所求的式子中即可求出值. 解答: 解:∵ 1,a1,a2,4 成等差数列, ∴ 3d=4﹣1=3,即 d=1, ∴ a2﹣a1=d=1, 又 1,b1,b2,b3,4 成等比数列, 2 ∴ b2 =b1b3=1×4=4,解得 b2=±2, 2 又 b1 =b2>0,∴ b2=2,
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= .

故选 A 点评: 本题以数列为载体,考查了等比数列的性质,以及等差数列的性质,熟练掌握等比、等差数列的性质是解 本题的关键,等比数列问题中符号的判断是易错点 5. 考点: 等差数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 2 分析: 由题意可得 =a a =1,解得 a =1,由 S =13 可得 a +a =12, ,则有 a q =1,a +a q=12,解得 q 和 a 的
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2 4

3

3

1

2

1

1

1

1

值, 由此得到 an 的解析式,从而得到 bn 的解析式,由等差数列的求和公式求出它的前 10 项和. 解答: 解:∵ 正项等比数列{an}满足 a2a4=1,S3=13,bn=log3an, ∴ =a2a4 =1,解得 a3=1.

由 a1+a2+a3=13,可得 a1+a2=12. 设公比为 q,则有 a1 q =1,a1+a1q=12,解得 q= ,a1=9. 故 an =9× =3
3﹣n 2

. =﹣25,

故 bn=log3an=3﹣n,则数列{bn}是等差数列,它的前 10 项和是

故选 D. 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,等差数列的前 n 项和公式的应用,求出 an =33 ﹣n ,是解题的关键,属于基础题. 6. 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 要求 a4,就要知道等比数列的通项公式,所以根据已知的两个等式左右两边相加得到 a6,左右两边相减得
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到 a2, 根据等比数列的性质列出两个关于首项和公比的关系式, 联立求出 a 和 q, 得到等比数列的通项公式, 令 n=4 即可得到. 解答: 解:设此等比数列的首项为 a,公比为 q, 由 a6+a2=34,a6﹣a2=30 两个等式相加得到 2a6=64,解得 a6=32;两个等式相减得到 2a2=4,解得 a2=2. 5 4 根据等比数列的通项公式可得 a6=aq =32① ,a2=aq=2② ,把② 代入① 得 q =16,所以 q=2,代入② 解得 a=1, n﹣1 3 所以等比数列的通项公式 an=2 ,则 a4=2 =8. 故选 A 点评: 此题要求学生灵活运用等比数列的性质解决数学问题,会根据条件找出等比数列的通项公式.本题的关键 是根据题中的已知条件得到数列的 a2 和 a6. 7. 考点: 等差关系的确定;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 2 2 由于 =n +n﹣λ, 而 n +n﹣λ 不是固定的常数, 不满足等比数列的定义. 若是等差数列, 则由 a1+a3=2 a2,
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解得 λ=3,此时, 解答: 解:由

,显然,不满足等差数列的定义,从而得出结论.

可得

=n +n﹣λ,由于 n +n﹣λ 不是固定的常数,故数列不

2

2

可能是等比数列. 若数列是等差数列,则应有 a1+a3=2 a2,解得 λ=3. 此时, ,显然,此数列不是等差数列,

故选 A. 点评: 本题主要考查等差关系的确定、等比关系的确定,属于中档题. 8. 考点: 等比关系的确定;等差关系的确定. 专题: 计算题. 分析: 由点 Pn(n,Sn)都在直线 y=3x+2 上,可得 Sn=3n+2,再利用 an=Sn﹣Sn﹣1 求解.
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解答: 解:由题意,∵ 点 Pn(n,Sn)都在直线 y=3x+2 上 ∴ Sn=3n+2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3 当 n=1 时,a1=5 ∴ 数列{an}既不是等差数列也不是等比数列 故选 D 点评: 本题的考点是等比关系的确定,主要考查由前 n 项和求数列的通项问题,关键是利用前 n 项和与通项的关 系. 9. 考点: 等比数列的性质. 专题: 探究型. 分析:
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a1+a3= 所以
2

,当且仅当 a2,q 同为正时,a1+a3≥2a2 成立;
2 2



; 若 a1=a3, 则 a1=a1q , 从而可知 a1=a2 或 a1=﹣a2; 若 a3>a1, 则 a1q >a1, 而 a4﹣a2=a1q

(q ﹣1) ,其正负由 q 的符号确定,故可得结论. 解答: 解:设等比数列的公比为 q,则 a1+a3= ,当且仅当 a2,q 同为正时,a1+a3≥2a2 成立,故 A 不正确;

,∴
2 2

,故 B 正确;

若 a1=a3,则 a1=a1q ,∴ q =1,∴ q=±1,∴ a1=a2 或 a1=﹣a2,故 C 不正确; 2 2 若 a3>a1,则 a1q >a1,∴ a4﹣a2=a1q(q ﹣1) ,其正负由 q 的符号确定,故 D 不正确 故选 B. 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.属基础题. 10. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 令 n=1,得到第 1 项与第 2 项的积为 16,记作① ,令 n=2,得到第 2 项与第 3 项的积为 256,记作② ,然后利 用② ÷① ,利用等比数列的通项公式得到关于 q 的方程,求出方程的解即可得到 q 的值,然后把 q 的值代入经 过检验得到满足题意的 q 的值即可. 解答: 解:当 n=1 时,a1a2=16① ;当 n=2 时,a2a3=256② ,
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② ÷① 得:

=16,即 q =16,解得 q=4 或 q=﹣4,
2 2

2

当 q=﹣4 时,由① 得:a1 ×(﹣4)=16,即 a1 =﹣4,无解,所以 q=﹣4 舍去, 则公比 q=4. 故选 B 点评: 此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式化简求值,是一道基础题.学生在求出 q 的值后,要经过判断得到满足题意的 q 的值,即把 q=﹣4 舍去. 11. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 3 根据等比数列的性质,由 a5=﹣8a2 得到 等于 q ,求出公比 q 的值,然后由 a5>a2,利用等比数列的通项
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公式得到 a1 大于 0,化简已知|a1|=1,得到 a1 的值,根据首项和公比利用等比数列的通项公式得到 an 的值即

可. 解答: 解:由 a5=﹣8a2,得到 =q =﹣8,解得 q=﹣2,
3

又 a5>a2,得到 16a1>﹣2a1,解得 a1>0,所以|a1|=a1=1 n﹣1 n﹣1 则 an=a1q =(﹣2) 故选 A 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及前 n 项和的公式化简求值,是一道中档题. 12. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等比数列的通项公式化简已知的两等式,得到关于首项和公比的两个方程,分别记作① 和② ,把① 提取 q 后,得到的方程记作③ ,把② 代入③ 即可求出 q 的值. 解答: 解:由 a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1 得:
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, 由① 得:q(a1q ﹣2a1q)=2③ , 把② 代入③ 得:q=2. 故选 B 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握等比数列的性质,是一道基础题. 13. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 等比数列的定义和性质,得到 a3a4=10,故有 lga3+lga4=lga3a4=lg10=1. 解答: 解:∵ 正项等比数列{an}中,a2a5=10,∴ a3a4=10,∴ lga3+lga4=lga3a4=lg10=1, 故选 B. 点评: 本题考查等比数列的定义和性质,得到 a3a4=10,是解题的关键. 14. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 在等比数列{bn}中,由 b3?b9=b62=9,能求出 b6 的值. 解答: 解:∵ 在等比数列{bn}中, 2 b3?b9=b6 =9, ∴ b6=±3. 故选 B. 点评: 本题考查等比数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 15. 考点: 等比数列的性质. 分析: 由 , 根据等比数列{an}的通项公式得 a1a4a9= , 再结合三角函数的性质可求出 tan (a1a4a9)
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4

的值. 解答: 解:∵ ∴ a1a4a9= , . ,

∴ tan(a1a4a9)= 故选 B.

点评: 16. 考点: 专题: 分析:

本题考查等比数列的性质和应用,解题时要注意三角函数的等价转换. 等比数列的性质. 计算题.

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根据等比数列的性质若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则有 aman=apaq 可得 a6(a2+2a6+a10)=(a4+a8) , 进而得到答案.

2

解答: 解:由题意可得:在等比数列{an}中,若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,则有 aman=apaq. 因为 a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a6a6+a10a6, 2 所以 a6a2+2a6a6+a10a6=(a4+a8) =9. 故选 A. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的通过性质,并且结合正确的运算,一般以选择题的形式出现. 17. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 3 首先根据等比数列的前 n 项和对 =3 进行化简,求出 q ,进而即可求出结果.
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解答: 解:∵ =3,



整理得,1+q =2,

3

∴ q =2

3



=

故选 B. 点评: 18. 考点: 专题: 分析: 解答: 本题考查了等比数列的关系,注意在题中把 q 当作未知数,会简化运算. 等比数列的性质. 计算题.
3

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首先根据等比数列的性质求出 q=3 和 a1=的值,然后代入 a4+a5=a1q +a1q =即可求出结果. 3 2 解:∵ a2=1﹣a1,a4=9﹣a3∴ a1q+a1=1 ① a1q +a1q =9 ② 两式相除得,q=±3 ∵ an>0 ∴ q=3 a1=
3 4

3

4

∴ a4+a5=a1q +a1q =27 故选 B. 点评: 本题考查了等比数列的性质,熟练掌握性质是解题的关键,属于基础题. 19. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题.

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分析: 由等比数列的性质可得:a1a2a3=a23,结合题意即可得到答案. 3 解答: 解:由等比数列的性质可得:a1a2a3=a2 , 3 因为 a2=3,所以 a1a2a3=a2 =27. 故选 B. 点评: 本题考查了等比数列的性质,解题的关键 a1an=a2an﹣1=…=akan﹣k,属于中档题. 20. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先用等比数列{an}各项均为正数,结合等比数列的性质,可得 a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6>0,从而
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a1a2a3…a9a10= 5 (a5a6) ,然后用对数的运算性质进行化简求值,可得正确选项. 解答: 解:∵ 等比数列{an}各项均为正数 ∴ a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6>0 ∵ a4a7+a5a6=16 ∴ a5a6=a4a7=8 根据对数的运算性质,得 log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2a3…a9a10)=log2(a5a6) =log2(8) =15 5 3 5 15 ∵ (8) =(2 ) =2 5 15 ∴ log2(8) =log22 =15 故选 A 点评: 本题考查了等比数列的性质和对数的运算性质,考查了转化化归的数学思想,属于基础题. 21. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 根据等比数列的性质得到第 6 项的平方等于第 4 项与第 8 项的积, 又根据韦达定理, 由 a4, a8 是方程 x +3x+2=0 的两根即可得到第 4 项与第 8 项的积,进而求出第 6 项的值,然后把所求的式子也利用等比数列的性质变 为关于第 6 项的式子,把第 6 项的值代入即可求出值. 2 解答: 解:根据等比数列的性质得:a6 =a4a8,
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5

5

又 a4,a8 是方程 x +3x+2=0 的两根,得到 a4a8=2, 2 则 a6 =2,解得 a6=± , 3 则 a5a6a7=(a5a7)a6=a6 =±2 . 故选 B 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及韦达定理化简求值,是一道基础题. 22. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析:
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2

先利用等比数列通项的性质,求得 a5=3,再将 解答: 解:∵ 等比数列{an}中,若 a3a4a5a6a7=243, ∴ ∴ a5=3 设等比数列的公比为 q ∵ = =

化简,即可求得

的值.

∴ =3 故选 C. 点评: 本题重点考查等比数列通项的性质,考查计算能力,属于基础题. 23. 考点: 等差数列的性质;等比数列的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 根据题设条件,设中间两数为 x,y,由 3,x,y 成等比数列,知 x =3y,由 x,y,9 等比数列,知 2y=x+9,
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列出方程组

,从而求得这两个数的和.

解答: 解:设中间两数为 x,y, 则 ,

解得



所以

=11 .

故选 C. 点评: 本题主要考查等比数列和等差数列的性质,是基础题,难度不大,解题时要认真审题,仔细解答. 24. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等比数列的通项公式可得 9=1×a4,解得 a2=3,从而得到公比. 解答: 4 2 解:由题意可得 9=1×a ,∴ a =3,故公比为 =3,
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故选 C. 点评: 25. 考点: 专题: 分析: 本题考查等比数列的通项公式,求出 a 的值,是解题的关键. 等比数列的前 n 项和;数列的求和. 计算题.
2

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根据题意,用赋值法,令 n=1,m=9 可得:s1+s9=s10,即 s10﹣s9=s1=a1=1,进而由数列的前 n 项和的性质, 可得答案.

解答: 解:根据题意,在 sn+sm=sn+m 中, 令 n=1,m=9 可得:s1+s9=s10,即 s10﹣s9=s1=a1=1, 根据数列的性质,有 a10=s10﹣s9,即 a10=1, 故选 A. 点评: 本题考查数列的前 n 项和的性质,对于本题,赋值法是比较简单、直接的方法. 26. 考点: 等比数列的通项公式;等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 把已知的前 7 项和 S7=16 利用等比数列的求和公式化简,由数列{an2}是首项为 a1,公比为 q2 的等比数列, 2 2 2 故利用等比数列的求和公式化简 a1 +a2 +…+a7 =128,变形后把第一个等式的化简结果代入求出
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的值,最后把所求式子先利用等比数列的通项公式化简,把前六项两两结合后,发现前三项

为等比数列,故用等比数列的求和公式化简,与最后一项合并后,将求出 值. 解答: 解:∵ S7= =16,

的值代入即可求出

∴ a1 +a2 +…+a7 =

2

2

2

=

?

=128,



=8,

则 a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=(a1﹣a2)+(a3﹣a4)+(a5﹣a6)+a7 =a1(1﹣q)+a1q (1﹣q)+a1q (1﹣q)+a1q =
2 4 6

+a1q

6

= =8. 故选 A 点评: 此题考查了等比数列的通项公式,以及等比数列的前 n 项和公式,利用了整体代入的思想,熟练掌握公式 是解本题的关键. 27. 考点: 等比数列的前 n 项和;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用 a1=1,4a1,2a2,a3 成等差数列,求得等比数列的公比,即可求出 S4 的值. 解答: 解:设等比数列的公比为 q,则 ∵ a1=1,4a1,2a2,a3 成等差数列, 2 ∴ 4q=4+q , ∴ q=2
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∴ S4=1+2+4+8=15 故选 D. 点评: 本题考查等比数列的通项与求和,考查等差数列的性质,解题的关键是确定数列的公比,属于基础题. 二.填空题(共 3 小题) 28. 考点: 等比关系的确定. 专题: 计算题. 分析: 由 a1=1,an=2an﹣1+3,可得 an+3=2(an﹣1+3) (n≥2) ,从而得{an+3}是公比为 2,首项为 4 的等比数列. 解答: 解:∵ 数列{an}中,a1=1,an=2an﹣1+3,
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∴ an+3=2(an﹣1+3) (n≥2) , ∴ {an+3}是公比为 2,首项为 4 的等比数列, n﹣1 ∴ an+3=4?2 , n+1 ∴ an=2 ﹣3. n+1 故答案为:2 ﹣3.

点评: 29. 考点: 专题: 分析: 解答:

本题考查等比关系的确定,关键在于掌握 an+1+m=p(an+m)型问题的转化与应用,属于中档题. 数列的求和;等差数列的前 n 项和;等比数列的前 n 项和. 计算题. 利用分组求和,然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解
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解:∵ Sn= =(3+4+…+n+2)

=

=

=

故答案为: 点评: 本题主要考查了利用分组求和方法及等差数列、等比数列的求和公式的应用,属于基础题 30. 考点: 等比数列的性质;等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 5 利用数列前 n 项和的定义及等比数列通项公式 得出 =1+q = ,解出 q 即可.
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解答: 解:∵ {an}是等比数列,由数列前 n 项和的定义及等比数列通项公式得 S10=(a1+a2+…a5)+(a6+a7+…+a10) =S5+q (a1+a2+…a5)=(1+q )S5∴ 故答案为: 点评: 本题主要考查等比数列前 n 项和的计算、通项公式.利用数列前 n 项 定义,避免了在转化 是否为 1 的讨论. 时对公比 q .
5 5

=1+q =

5

,q =

5

,q=




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