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2015年全国新课标2卷高考文科数学


2015 普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学 第一卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 (1)已知集合 A= x ? 1 ? x ? 2 , B ? x 0 ? x ? 3 , 则A ? B ? A.(-1,3) B.(-1,0 ) C.(0,2) D.(2,3)

?

?

?

?

(2)若 a 实数,且

2 ? ai ? 3 ? i, 则a ? 1? i

A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 (3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下 结论中不正确的是
2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013( 年 )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著; B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效; C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势; D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。 (4)已知向量 a ? (0,?1),b ? (?1,2),则( 2a ? b ) ?a ? A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 (5)设 S n是等差数列 若 a1 ? a3 ? a5 ? 3, 则S5 ? ?an ?的前n项和, A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分 体积的比值为

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5
的 圆

(7) 已知三点 A(1 , 0), B(0,3),C(2,3) , 则 ?ABC 外接圆 心到原点的距离为 A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

-1-

(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” 。执行该 程序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a 为 开始 输入 a,b



a?b



输出 a

a>b 是 a=a-b 否 b=b-a

结束

A. 0

B. 2

C. 4

D.14

(9)已知等比数列 ?a n ?满足 a1 ? A. 2 B. 1 C.

1 2

1 , a3 a5 ? 4(a 4 ? 1), 则a 2 ? C 4 1 D. 8

(10)已知 A,B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90?, C为该球面上动点, 若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A. 36π B. 64π C. 144π D.256π (11)如图,长方形的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD,与 DA 运动,记

?BOP ? x, 将动点P到A, B两点距离之和表示为函 数f ( x),则f ( x)的图像大致为

D
Y Y Y Y

P x

C

A
2 2 2 2

O

B

O

π 4 A

π 3π π 2 4

X O π 4 B

π 3π π 2 4

X

O

π π 2 4 C

3π π 4

X

O

π 4

D

π 3π 2 4

π

X

(12)设函数 f ( x) ? ln(1 ? x ) ? A. ( ,1)

1 3

1 , 则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1)成立的 x的范围是 1? x2 1 1 1 1 1 B. (?? , ) ? (1,?? ) C. (? , ) D. (?? ,? ) ? ( ,?? ) 3 3 3 3 3
第二卷

-2-

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分 (13)已知函数 f ( x) ? ax3 ? 2 x的图像过点( - 1,4),则a ? 。

? x ? y ? 5 ? 0, ? (14)若 x,y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 1 ? 0, 则z ? 2 x ? y的最大值为 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, ?
(15)已知双曲线过点 ,且渐近线方程为 y ? ? (4,,3) 。



1 x ,则该双曲线的标准方程为 2

(16)已知曲线 y ? x ? ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1相切,则 a? 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)

?ABC中,D是BC上的点,AD平分?BAC, BD ? 2DC.
(Ⅰ)求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ)若 ?BAC ? 60?, 求?B.

18. (本小题满分 12 分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A, B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.
频率 组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

O

40

50 60

70 80 90 100满意度评分

B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 频 数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100] 6

(I) 在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分 的平均值及分散程度,(不要求计算出具体值,给出结论即可)
-3-

频率 组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

O

50 60 70

80 90 100 满意度评分

(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.

19. (本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 AB=16,BC=10, AA 1 ? 8 ,点 E,F 分别在

A1B1 , D1C1 上, A1E ? D1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

D1 A1 E D A

F

C1 B1 C B

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值.

20. (本小题满分 12 分)
-4-

x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 2, 2 在 C 上. a b 2
(I)求 C 的方程; (II)直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.

?

?

21. (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? . (I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)当 f ? x ? 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.

-5-

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点, ⊙O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点. (I)证明 EF ∥ BC . (II)若 AG 等于⊙O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EDCF 的面积.
B M E O D N C

A G F

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点,x ? y ? t sin ? ,

轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

-6-


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