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08年中考复习 第12讲 二次函数(含答案)


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第 12 讲 二次函数
◆考点链接 1.二次函数的开口方向,顶点坐标,对称轴,最大(小)值, 抛物线平移以及增减 性. 2.求抛物线解析式的三种常用方法,并会灵活运用 3.利用抛物线性质解决与之有关的生活实际问题. 4.能解决抛物线与直线,相似三角形,圆等综合性问题. ◆典例精析 【例题 1】填空或选择: (1)抛物线 y=- 3 +(x+1)2 的顶点坐标是______,对称轴是_____,当 x______ 时,y 随 x 的增大而增大;当 x______时,y 随 x 的增大而减小. (2)已知函数 y=(m+1)x
m2 + m

是二次函数,且图象的开口向下,则 m=______,当

x_____时,y 随 x 的增大而增大;当 x_____时,y 随 x 的增大而减小. (3)要用长 20m 的铁栏杆,一面靠墙(墙的长度是 15m) ,围成一个矩形的花圃,如 果设垂直于墙的一边长为 x(m) ,矩形的面积为 y(m2) ,则 y 与 x 的关系式为_______, x 的取值范围是_______,当 x_______时,y 有最大值. (4) 已知抛物线 y=x2-2x+k-1, k_____时, 当 抛物线与 x 轴只有一个交点;当 k_____ 时,抛物线与 x 轴有两个交点;当 k______时,抛物线与 x 轴无交点. (5)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,那么 abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c, a-b+c,4a-2b+c 这些代数式中,值为正的有( ) . A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个

(6)已知一次函数 y=ax+c 与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) , 它们在同一坐标系中的大致图象是( ) .

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解题思路:此题中的六个小题主要是复习巩固抛物线的顶点坐标,对称轴, 开口方 向,对称性,增减性及数形结合确定 a,b,c 和有关代数式值的符号等基础知识和基本技 能. 解: (-1,- 3 ) (1) ;直线 x=-1;x>-1;x<-1; (2)m=-2;x<0;x>0. (3)y=-2x2+20x,

5 ≤x≤10,x=5; 2

y = x2 2 x + k 1 (4)将方程组 消 y 后得 x2-2x+k-1=0,∴△=8-4k. y = 0( x轴)
当△=0 时,k=2;当△>0 时,k<2;当△<0 时,k>2. (5)数形结合,x=-1 时,y>0;x=1 时,y<0;x=-2 时,y>0,a>0,- △=b2-4ac>0, ∴选 A. (6)两个函数的常数项相同,应交在 y 轴同一点, ∴排除 A,C,D 中 a,c 异号,△>0,抛物线与 x 轴应有两个交点, ∴排除 D,∴选 B. 评析: (1)已知顶点式的抛物线 y=a(x+m)2+n,其顶点坐标是(-m,n) ,对称轴 是直线 x=-m. (2)在 y=ax2+bx+c(a≠0)中抛物线的增减性与 a 的符号及对称轴 x=-

b >0,c<0, 2a

b 有关. 2a

(3)抛物线 y=ax2+bx+c,当方程 ax2+bx+c=0 的△>0 时,与 x 轴有两个交点;△=0 时,有一个交点;△<0 时,无交点(即图象全在 x 轴的上方或下方) . (4)开口方向确定 a 的符号,对称轴 x=-

b 的位置确定 b 的符号,与 x 轴交点情 2a

况确定△的符号,与 y 轴交点位置确定 c 的符号,数形结合确定与 a,b,c 有关的代数式
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值的符号, (5) 如第 题中当 x=-1 时, a-b+c>0; x=1 时, a+b+c<0, x=-2 时, 4a-2b+c>0, 同学们务必掌握这种方法. 【例题 2】求抛物线的解析式. (1)如图,抛物线的图象经过 A,B,C 三点,求此抛物 线的解析式, 顶点坐标,对称轴,并讨论它们的增减性. 解题思路:此题属一般情况下已知三点求解析式. 解:设 y=ax2+bx+c,再将 A(-1,0) ,B(0,-3) ,C(4,5)代入可求得 a=1,b= -2,c=-3. ∴y=x2-2x-3,即 y=(x-1)2-4. ∴顶点(1,-4) ,对称轴是直线 x=1,当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>1 时, y 随 x 的增大而增大. (2)已知抛物线经过 A(-1,0) ,B(3,0)和 C(0,-3) ,求此抛物线解析式. 解题思路:此题有两个点在 x 轴上,可用交点式求解析式. 解:∵A(-1,0) ,B(3,0)在 x 轴上, ∴设 y=a(x+1) (x-3) ,再将 C(0,-3)代入得 a=1,y=(x+1) (x-3) , 即 y=x2-2x-3. (3)已知抛物线经过点(0,1) ,且顶点是(-1,2) ,求此抛物线的解析式. 解题思路:已知抛物线的顶点,可用顶点式求解析式. 解:∵抛物线的顶点是(-1,2) , ∴设解析式为 y=a(x+1)2+2,再将(0,1)代入得 a=-1, ∴y=-(x+1)+2,即 y=-x2-2x+1. 评析:求抛物线解析式的一般方法: (1)已知三点,用一般式,设 y=ax2+bx+c; (2)已知与 x 轴的两个交点 A(x1,0) ,B(x2,0) ,用交点式, 设 y=a(x-x1) (x-x2) ; (3)已知顶点(m,n) ,用顶点式,设 y=a(x-m)2+n.
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【例题 3】如图,公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA,O 恰好是水面中心,OA=1.25m,由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向 沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2.25m. (1)如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米, 才能使喷出的水流不至于 落到池外? (2)若水池喷出的水流线形状与(1)相同,水池的半径 为 3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多 少米?(精确到 0.1m) 解题思路:此题属于没有给定坐标系的实际问题,恰当建立坐标系是解题之关键.审 题可知,抛物线的顶点已给,所以建立如图所示的坐标系就不难解答此题了. 解: (1)以柱子 OA 所在直线为 y 轴,过点 O 的水平面线为 x 轴,建立如图所示的直 角坐标系,由题意可知右侧抛物线过点 A(0,1.25) ,顶点(1,2.25) . ∴设解析式为 y=a(x-1)2+2.25, ∴1.25=a+2.25,a=-1, ∴抛物线解析式为 y=-(x-1)2+2.25, 即 y=-x2+2x+1.25. 要求水池的半径,就是求当 y=0 时,点 C 的横坐标. ∴-(x-1)2+2.25=0. ∴x=2.5,x=0.5(不合题意,舍去) . 即半径至少要 2.5m. (2)∵形状与(1)相同, ∴a=-1 设最高点坐标为(m,k) ,解析式为 y=-(x-m)2+k, 由题意可得点(0,1.25)和点(3.5,0)在抛物线上. ∴m=

11 ,k≈3.7,即最高应达到 3.7m. 7
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评析: (1)无坐标系的实际问题要恰当建立坐标系.

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(2)两条抛物线 y1=a1x2+b1x+c1 和 y2=a2x2+b2x+c2,当 a1=a2 时,它们的形状相同, 开口方向相同. (3)生活问题数学化是解答本题第(2)问的关键. ◆探究实践 【问题 1】 (甘肃)如图,点 A(-1,0) ,B(4,0)在 x 轴上,以 AB 为直径的半圆 P 交 y 轴于点 C. (1)求经过 A,B,C3 点的抛物线的解析式; (2)设 AC 的垂直平分线交 OC 于 D,连结 AD 并延长半圆 P 于点 E,AC 与 EC 相 等吗? 证明你的结论; (3)设点 M 为 x 轴负半轴上一点,OM=

1 AE,是否存在过点 M 的直线,使该直线 2

与(1) 中的抛物线的两个交点到 y 轴的距离相等?若存在,求这条直线的解析式;若不 存在, 请说明理由. 解题思路:此题是解决抛物线与直线的交点,一元二次方程的根的情况,数与形的巧 妙综合等综合性问题. 解: (1)连结 BC,由△AOC∽△BOC, 得 OC2=OAOB=4, ∴OC=2,∴点 C 坐标(0,2) . ∵A(-1,0) ,B(4,0)在 x 轴上, ∴设解析式 y=a(x+1) (x-4) ,将 C(0,2)代入,得 a=- (2)AC=CE. 理由:易证∠ACD=∠CBA,∠ACD=∠CAE, ∴∠CAE=∠ABC AC=EC. (3)不存在符合条件的直线. 理由:连结 BE.设 AD=x,则 OD=OC-CD=2-x, 由 x2=12+(2-x)2,得 x=

1 1 3 ,∴y=- x2+ x+2. 2 2 2

5 5 ,即 AD= . 4 4
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由△AOD∽△AEB,得 ∴AE=4,OM=

OA AD 1 = = , AE AB 4

1 AE=2,∴M(-2,0) . 2

设过 M 点的直线解析式为 y=kx+b. ∴0=-2k+b,∴b=2k,∴y=kx+2k. ①

y = kx + 2k 由 消 y, 1 2 3 y = 2 x + 2 x + 2


1 2 3 x +(k- )x+2k-2=0. ② 2 2 3 ,但这时方程②无实根, 2

由题意得方程②的两个根互为相反数,∴k= ∴不存在符合要求的直线.

评析:数与形的巧妙结合不仅直观地反映了数量关系,而且降低了题目的难度, 同 学们应引起重视. 【问题 2】 (重庆)如图,已知:m,n 是方程 x2-6x+5=0 的两个实数根,且 m<n, 抛物线 y=-x2+bx+c 的图象经过点 A(m,0) ,B(0,n) . (1)求这个抛物线的解析式; (2)设(1)中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点 C, D 的坐标和△BCD 的面积; (注:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-

b , 2a

4ac b 2 ) ; 4a
(3)P 是线段 OC 上的一点,过点 P 作 PH⊥x 轴,与抛物线交于 H 点,若直线 BC 把△PCH 分成面积之比为 2:3 的两部分,请求出 P 点的坐标. 解题思路:要在线段 OC 上确定点 P,使得直线 BC 把△PCH 分成面积之比为 2:3 两部分,即是在线段 BC 上确定一点 E(E 是 BC 与 PH 的交点) ;使得 E 把 PH 分成两条线段之比为 2:3. 解: (1)解方程 x2-6x+5=0,得 x1=5,x2=1.
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由 m<n,有 m=1,n=5. 所以点 A,B 的坐标分别为 A(1,0) ,B(0,5) . 将 A(1,0) ,B(0,5)的坐标分别代入 y=-x2+bx+c, 得

1 + b + c = 0 c = 5.

b=-4 解这个方程组,得 . c=5.

所以抛物线的解析式为 y=-x2-4x+5. (2)由 y=-x2-4x+5,令 y=0,得-x2-4x+5=0,解这个方程,得 x1=-5,x2=1.所 以 C 点的坐标为(-5,0) ,由顶点坐标公式计算,得点 D(-2,9) ,过 D 作 x 轴的垂线 交 x 轴于 M. 则 S△DMC=

1 27 1 ×9×(5-2)= ,S 梯形 MDBO= ×2×(9+5)=14. 2 2 2 1 25 S△BOC= ×5×5= . 2 2 27 25 所以 S△BCD =S 梯形 MDBO+S△DMC -S△BOC=14+ - =15. 2 2
(3)设 P 点的坐标为(a,0) ,因为线段 BC 过 B,C 两点, 所以 BC 所在的直线方程 y=x+5. 那么,PH 与直线 BC 的交点坐标为 E(a,a+5) ,PH 与抛物线 y=-x2-4x+5 的交点

坐标为 H(a,-a2-4a+5) .

3 3 EP,即(-a2-4a+5)-(a+5)= (a+5) . 2 2 3 解这个方程,得 a=- 或 a=-5(舍去) . 2 2 2 ②EH= EP,得(-a2-4a+5)-(a+5)= (a+5) . 3 3 2 解这个方程,得 a=- 或 a=-5(舍去) . 3 3 2 P 点的坐标为(- ,0)或(- ,0) . 2 3
由题意,得①EH= 评析:同底(高)的三角形的面积之比等于高(底)之比,这是解题的突破口.同时 还应注意,利用点的坐标表示线段的长度和利用线段的长度表示点的坐标是函数中数形结 合解题的常用技巧.
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◆中考演练 一,填空题: 填空题 1.抛物线 y=

1 (x-2)2-3 与 x 轴的交点坐标是_______. 3

2.已知一个二次函数的图象开口向下,且与 y 轴的负半轴相交, 请写出一个满足条件的 二次函数的解析式____________. 3.某二次函数满足下列表格中的 x,y 的值: x y … … -2 9 -1 4 0 1 1 0 2 1 3 4 … …

则该二次函数的解析式为_________,对称轴是_________,顶点坐标是_______. 二,选择题: 选择题 1.如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,下列结论中: ①abc>0; ②b=2a; ③a+b+c<0; ④a-b+c>0; ⑤4a+2b+c<0. 正确的个数是( ) . A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

2.如图,将抛物线 y=ax2+bx+c 沿 x 轴翻转到虚线位置,那么所得到的抛物线的解析式为 ( ) . B.y=-ax2-bx+c D.y=-ax2+bx-c

A.y=-ax2+bx+c C.y=-ax2-bx-c

. 3.已知抛物线 y=3x2-2x+a 与 x 轴有交点,则 a 的取值范围是( ) A.a<

1 3

B.a≤

1 3

C.a≤-

1 3

D.a≥

1 3

三,解答题: 解答题 1. (河南)已知抛物线 y=

1 2 5 x +x- . 2 2

(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴; (2)若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,求线段 AB 的长.

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2. (泉州)如图,施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道, 其高度为 6m,宽度 OM 为 12m,现以 O 点为原点,OM 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系. (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标; (2)求出这条抛物线的解析式; (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形"脚手架"CDAB,使 A,D 点在抛物线上, B,C 点在地面 OM 上.为了筹备材料,需求脚手架三根木杆 AB,AD,DC 的长度之 和的最大值是多少?请你帮施工队计算一下.

◆ 实战模拟 一,填空题 1.已知二次函数 y=

1 2 x +bx+c 的图象经过点 A(c,-2) ,对称轴是 2

直线 x=3,则其解析式为________. 2.抛物线 y=ax2+2ax+a2+2 的一部分图象如图 1 所示,那么该抛物线 在 y 轴的右侧与 x 轴的交点的坐标是________. 3.已知:二次函数的图象过点(0,3) ,图象向右平移 3 个单位后的对称轴是 y 轴,向下 平移 2 个单位后与 x 轴只有一个交点,则此二次函数的解析式为________. 二,选择题 1.如图,已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点 P 的横坐 标是 4, 图象与 x 轴交于点 A(m,0)和点 B,且 m>4,那么

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AB 的长为( A.8-2m

) . B.2m-8 C.m+4 D.m

2. (青岛)已知二次函数 y=-2x2+2kx-3 的顶点在 x 轴的负半轴上,则 k 的值等于( ) . A.6 B.-6 C. 6 D.- 6

3. 如图是抛物线形拱桥, 已知水位在 AB 位置时, 水面宽 4 6 m, 水位上升 3m 就达到警戒水位线 CD,这时水面宽 4m 3 ,若 洪水到来时, 水位以每小时 0.25m 的速度匀速上升, 则水过警 戒线后淹到拱桥顶部的时间是( ) . A.10h 三,解答题 1.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历从亏损到盈利的过程, 如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 y(万元)与销售时间 x (月)之间的关系(即前 x 个月的利润和 y 与 x 的关系) . (1)根据图上信息,求累积利润 y(万元)与时间 x(月)的函数关系式; (2)求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元? (3)求第 8 个月公司所获利润是多少万元? B.9h C.12h D.8h

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2. (岳阳)如图,抛物线 y=- 顶点为 D.

3 2 2 x- 3 3

3 x+ 3 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C,

(1)求点 A,B,C 的坐标; (2)把△ABC 绕 AB 的中点 M 旋转 180°,得到四边形 AEBC. ①求 E 的坐标; ②试判断四边形 AEBC 的形状,并说明理由; (3)试探求:在直线 BC 上是否存在一点 P,使得△PAD 的周长最小,若存在, 请 求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由.

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答案: 答案 中考演练 一,1. (5,0)(-1,0) , 2.如:y=-x2+3x-4

3.y=x2-2x+1 对称轴是直线 x=1,顶点(1,0) 二,1.A 2.C 3.B 三,1. (1)y=

1 (x+1)2-3 顶点(-1,-3) 对称轴是直线 x=-1 2

(2)设 A(x1,0) ,B(x2,0) ,∴x1+x2=-2,x1x2=-5, ∴│x1-x2│2=(x1+x2)2-4x1x2=24,│x1-x2│=2 6 即 AB=2 6 . 2. (1)M(12,0) ,P(6,6) (2)y=- (3)A(m,-

1 2 x +2x 6

1 2 1 m +2m ) OB=m , AB=DC= - m2+2m , AD=BC=12 - 2m , , 6 6 1 ∴L=AB+AD+DC=- (m-3)2+15,当 m=3 时,即 OB=3m 时,L 的最大值为 15m. 3
实战模拟 一,1.y=

1 2 1 2 x -3x+2 2. (1,0) 3.y= x2+ x+3 2 9 3 1 2 x -2x (2)10 月末 (3)5.5 万元 2

二,1.B 2.D 3.C 三,1. (1)y=

2. (1)A(-3,0) ,B(1,0) ,C(0, 3 ) (2)①E(-2,- 3 ) ②AEBC 是矩形

∵AEBC 是平行四边形,且∠ACB=90° (3)存在,D(-1,

4 3 ) 3

A 点关于 BC 的对称点 A′,直线 A′D:y=

3 3 3 x+ ,直线 BC:y=- 3 x+ 3 , 6 2

交点 P(-

3 10 3 , ) . 7 7
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