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人教版高中数学必修二《球的体积和表面积》教案


1.3.2 球的体积与表面积 一. 教学目标 1. 知识与技能 ⑴通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法: “分 割——求和——化为准确和” ,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 2. 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导, 从而得到一种推导球体积公式V= 4 π R3 和面积 3 公式S=4π R2 的方法,即“分割求近 似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的 方法,体现了极限思想。 3. 情感与价值观 通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间 思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。 二. 教学重点、难点 重点 :引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三. 学法和教学用具 1. 学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 2. 教学用具:投影仪 四. 教学设计 (一) 创设情景 ⑴教师提出问题: 球既没有底面, 也无法像在柱体、 锥体和台体那样展开成平面图形, 那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。 ⑵教师设疑: 球的大小是与球的半径有关, 如何用球半径来表示球的体积和面积?激 发学生推导球的体积和面积公式。 (二) 探究新知 ] 1.球的体积: 如果用一组等距离的平面去切割球,当 距离很小之时得到很多“小圆片” , “小圆片” 的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积 也近似于圆柱形状, 所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积, 因此求球的体积可以 按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。 步骤: 第一步:分割 如图:把半球的垂直于底面的半径OA作 n 等分,过这些 等分点, 用一组平行于底面的平面把半球切割成 n 个 “小圆片” , “小圆片”厚度近似为 如图: R ,底面是“小圆片”的底 面。 n 得 Vi ? ? ? r i ? 2 R ?R 3 i ?1 2 ? [1 ? ( ) ]   (i ? 1、2 ??n) n n n 1 (1 ? 1 n )(2 ? n ) ] 6 第二步:求和 V半球=v1 ? v2 ? v3 ? ? ? vn ? ?R 3[1 ? 第三步:化为准确的和 当 n→∞时, n →0 (同学们讨论得出) 所以 1 V半球=?R 3 (1 ? 1? 2 2 ) ? ?R 3 6 3 V球 ? 得到定理:半径是R的球的体积 4 ?R 3 3 3 练习:一种空心钢球的质 量是 142g,外径是 5cm,求它的内径(钢的密度是 7.9g/cm ) 2.球的表面积: 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径 R 的函数, 由于球面是不可展的曲面, 所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、 求 近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导。 思考:推导过程是以什么量作为等量变换的? 2 半径为 R 的球的表面积为 S=4π R 练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5 ,是它的八个顶点都在同一球面 上,则这个球的表面 积是 。 (答案 50 元) (三) 典例分析 课本 P47 例 4 和 P29 例 5 (四) 巩固深 化、反馈矫正 ⑴正方形的内切球

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