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2.1.2 演 绎 推 理

第二章
数学·选修 1-2(人教 A 版)

推理与证明

2.1

合情推理与演绎推理 演 绎 推 理

2.1.2

? 达标训练 1.下面说法正确的有( ) ①演绎推理是由一般到特殊的推理; ②演绎推理得到的结论一定 是正确的; ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式; ④演绎推理得 到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关. A.1 个 B .2 个 C.3 个 D .4 个 解析:①③④正确,②错误的原因是:演绎推理的结论要为真, 必须前提和推理形式都为真. 答案:C 2.下列三段可以组成一个“三段论”,则“小前提”是( ) x x ①因为指数函数 y=a (a>1)是增函数 ②所以 y=2 是增函数 ③而 y=2x 是指数函数 A.① B.② C.①② D.③ 解析:根据三段论的原理,可知选 D. 答案:D 3.三段论“①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘 船是准时到达目的港的,③所以这艘船是准时起航的.”中“小前 提”是( ) A.① B.② C.①② D.③ 答案:B

第二章

推理与证明

4.在不等边三角形中,a 边最大,要想得到∠A 为钝角的结论, 三边 a,b,c 应满足的条件是( ) 2 2 2 2 2 2 A.a <b +c B.a =b +c C.a2>b2+c2 D.a2≤b2+c2

b2+c2-a2 解析:由 cos A= <0 知 b2+c2-a2<0,所以应选 C. 2bc
答案:C 5.“由于所有能被 6 整除的数都能被 3 整除,18 是能被 6 整除 的数,所以 18 能被 3 整除.”这个推理是( ) A.大前提错误 B.结论错误 C.正确的 D.小前提错误 解析:易知该推理是一个正确的三段论,所以选 C. 答案:C 6.在△ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点,则有 EF∥BC,这 个问题的大前提为( ) A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边的一半 C.EF 为中位线 D.EF∥CB 答案:A ? 素能提高 1.下列推理是演绎推理的是( ) A.M,N 是平面内两定点,动点 P 满足|PM|+|PN|=2a>|MN|, 得点 P 的轨迹是椭圆 B.由 a1=1,an=2n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项 和 Sn 的表达式

x2 y2 C.由圆 x +y =r 的面积为 π r ,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 a b 为 π ab
2 2 2 2

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

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解析:B 是归类推理,C、D 是类似推理,只有 A 是利用椭圆的定 义作为大前提的演绎推理. 答案:A 2.推理“①矩形是平行四边形,②正方形是矩形,③所以正方 形是平行四边形”中的小前提是( ) A.① B.② C.③ D.①和② 解析:①为大前提,②为小前提,③为结论. 答案:B 3.(2013·深圳二模)非空数集 A={a1,a2,a3,?,an}(n∈N*) a1+a2+a3+?+an 中, 所有元素的算术平均数记为 E(A), 即 E(A)= .

n 若非空数集 B 满足下列两个条件:①B? A;②E(B)=E(A),则称 B 为 A 的一个“保均值子集”.据此,集合{1,2,3,4,5}的“保均值子
集”有( ) A.5 个 B.6 个 答案:C 4.以下是小王同学用“三段论”证明命题“直角三角形两锐角 之和为 90°”的全过程,请你帮助他在括号内填上适当的内容,使 之成为一个完整的“三段论”: 因为任意三角形三内角之和是 180°,(____①____) 而(____②____),小前提 所以直角三角形三内角之和是 180°.结论 设 Rt△ABC 的两个锐角分别是 A,B, 则∠A+∠B+90°=180°,大前提 而(∠A+∠B+90°)-90°=180°-90°,(__③___)小前提 所以∠A+∠B=90°.结论 答案: ①大前提 相等 ②直角三角形是三角形 ③因为等量减等量差 C.7 个 D.8 个

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5.“一切奇数都不能被 2 整除,35 不能被 2 整除,所以 35 是 奇数.”把此演绎推理写成“三段论”的形式. 大前提:__________________________________________, 小前提:_____________________________________________, 结论:______________________________________________. 答案:不能被 2 整除的整数是奇数 数 6.将下列演绎推理写成“三段论”的形式. (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳 系中的大行星,所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行. 解析:太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,大前提 海王星是太阳系中的大行星,小前提 海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.结论 (2)菱形对角线互相平分. 解析:平行四边形对角线互相平分,大前提 菱形是平行四边形,小前提 菱形对角线互相平分.结论 (3)函数 f(x)=x2-cos x 是偶函数. 解析: 若对函数 f(x)定义域中的 x, 都有 f(-x)=f(x), 则 f (x) 是偶函数,大前提 对于函数 f(x)=x2-cos x,当 x∈R 时,有 f(-x)=f(x),小 前提 所以函数 f(x)=x2-cos x 是偶函数.结论 35 不能被 2 整除 35 是奇

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7.如下图,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE =CA=2BD,M 是 EA 的中点,求证:

(1)DE=DA; 证明:如右图,取 EC 的中点 F,连接 DF, ∵EC⊥平面 ABC, ∴EC⊥BC. 易知 DF∥BC, ∴DF⊥EC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中, 1 ∵EF= EC=BD, 2 FD=BC=AB, ∴Rt△EFD≌Rt△DBA. ∴DE=DA. (2)平面 BDM⊥平面 ECA; 证明:取 CA 的中点 N,连接 MN、BN, 1 则 MN 綊 EC. 2 ∴MN∥BD. ∴N 点在平面 BDM 内. ∵EC⊥平面 ABC,BN? 平面 ABC, ∴EC⊥BN. 又∵CA⊥BN,EC∩CA=C, ∴BN⊥平面 ECA. ∵BN 在平面 MNBD 内, ∴平面 BDM⊥平面 ECA.

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(3)平面 DEA⊥平面 ECA.

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证明:∵易知 DM∥BN,BN⊥平面 ECA, ∴DM⊥平面 ECA. 又∵DM? 平面 DEA, ∴平面 DEA⊥平面 ECA. 8.证明函数 f(x)=-x2+6x 在(-∞,3]上是增函数(指出大前 提、小前提、结论). 分析:本题所依据的大前提是增函数的定义,即函数 y=f(x)满 足:在给定区间内任取自变量的两个值 x1,x2,若 x1<x2,则有 f(x1) <f(x2). 小前提是 f(x)=-x2+6x 在(-∞,3]上满足增函数的定义,这 是证明的关键. 证明:任取 x1,x2∈(-∞,3],且 x1<x2, f(x1)-f(x2)=(-x21+6x1)-(-x22+6x2) =(x2-x1)(x2+x1-6). 因为 x1<x2,所以 x2-x1>0; 又 x1,x2≤3,x1≠x2,所以 x2+x1-6<0, 因此,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 于是,根据三段论,可知函数 f(x)=-x2+6x 在(-∞,3]上是 增函数. ? 品味高考 1.(2013·湖南卷)对于 E={a1,a2,?,a100}的子集 X={ai1, ai2,?,aik},定义 X 的“特征数列”为 x1,x2,?,x100,其中 xi1 =xi2=?=xik=1, 其余项均为 0.例如: 子集{a2, a3}的“特征数列” 为 0,1,1,0,0,?,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前 3 项和等于________; 解 析 : 根 据 题 意 可 知 子 集 {a1 , a3 , a5} 的 “ 特 征 数 列 ” 为 1,0,1,0,1,0,0,?,0,此数列前 3 项和为 2. 答案:2

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(2)若 E 的子集 P 的“特征数列”p1,p2,?,p100 满足 p1=1,pi +pi+1=1,1≤i≤99;E 的子集 Q 的“特征数列”q1,q2,?,q100 满 足 q1 = 1 , qj + qj + 1 + qj + 2 =1,1≤j≤98,则 P∩Q 的元素个数为 __________________________________________________________ ______________. 解析:根据题意可写出子集 P 的“特征数列”为 1,0,1,0,1,0, ?, 1,0, 则 P={a1, a3, ?, a2n-1, ?, a99}(1≤n≤50), 子集 Q 的“特征数列”为 1,0,0,1,0,0, ?, 1,0,0,1, 则 Q={a1, a4,?,a3k-2,?,a100}(1≤k≤34),则 P∩Q={a1,a7,a13,?,a97}, 共有 17 项. 答案:17 2.对于 n∈N*,将 n 表示为 n=ak×2k+ak-1×2k-1+?+a1×21 +a0×20,当 i=k 时,ai=1,当 0≤i≤k-1 时,ai 为 0 或 1.定义 bn 如下:在 n 的上述表示中,当 a0,a1,a2,?,ak 中等于 1 的个数 为奇数时,bn=1;否则 bn=0. (1)b2+b4+b6+b8=________; 解析:2=1×21+0×20,∴b2=1; 4=1×22+0×21+0×20,∴b4=1; 6=1×22+1×21+0×20,∴b6=0; 8=1×23+0×22+0×21+0×20,∴b8=1. ∴b2+b4+b6+b8=3。 答案:3

(2)记 cn 为数列{bn}中第 m 个为 0 的项与第 m+1 个为 0 的项之间 的项数,则 cm 的最大值是 __________________________________________________________ ______________.

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解析:设{bn}中第 m 个为零的项为 bt(t∈N*),即 bt=0,将 t 写 成二进制数,则有两种情形: ①t 的二进制数表达式为: , 则 t+1 的二进制数表达式中“1”的个数的变化数可能为奇数, 也可能为偶数.若变化数为奇数,则 bt+1=1 且 t+1 用二进制数表示为: 表示为: ,于是 t+2 用二进制数

,即 bt+2=0; 若变化数为偶数,则 bt+1=0.这时 cm 的最大值为 1. ②t 的二进制数表达式为 ,则 t+1 用二进制数表示为

,即 bt+1=1,则 t+2 的二进制数形式中“1”的变化数为 奇 数 或偶 数 ,若变 化 数为 奇 数,则 t + 2 用 二 进制 数 表示 为: ,即 bt+2=0;若变化数为偶数,则 t+2 用二进制数表示 为 , 即 bt+2=1, 于是 t+3 用二进制数表示为: 即 bt+3=0.这时 cm 的最大值为 2. 综合①②,cm 的最大值为 2. 答案:2 ,


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