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复合函数解析式的几种求法

复合函数解析式的几种求法
复合函数的解析式是高中数学中一个重要内容,学好它有助于我们深入理解函数的本 质,对求复合函数的定义域、值域甚至整个高中数学的学习都有很重要的作用。其主要有 以下几个题型: 题型一 已 知 函 数 y =f( x)的 解 析 式,求 函 数 y =f[ g( x)]的解析式 解法:将函数 y = f( x)中的全部 x 都用 g( x)来代换,即可得到复合函数 y = f[ g( x)]的解析式 . 例 1 若 f(x)= 3x+ 1,g(x)= x2,则 f{f[g(x)]}= . 解:f{f[ g( x)]}= f[3g( x)+ 1] = 3[3g( x)+ 1]+ 1 =9g( x)+ 4 = 9x2+ 4. 题型二 已 知 函 数 y =f[ g( x)]的解析式,求函数 y =f( x)的解析式 . 解法:令 t = g( x),由此解出 x = h( t),求出以 t 为自变量的函数 y = f( t)的解析式 .因为 y = f( t)和 y = f( x)为同一函数,所以将函数 y = f( t)中的全部 t 都换成 x,即 可得到函数 y =f( x)的解析式 . 例 2 若 f(3x + 1)= 6x +4,则 f( x)= . 解:令 t = 3x + 1,则 x =(t- 1)/3 ,∴ f( t)= 6 × (t- 1)/3 + 4 =2t+ 2. ∴ f( x)= 2x + 2. 题型三 已 知 函 数 y =f[ g( x)]的解析式,求函数 y =f[ h( x)]的解析式 . 解法:利用题型二,由函数 y = f[ g( x)]的解析式,可求出函数 y = f( x)的解析式, 再利用题型一,由函数 y = f( x)的解析式,可求出函数 y = f[ h( x)]的解析式 . 例 3 若 f(2x - 1)= 4x2 + 1,则 f( x + 1)= 解:令 t = 2x - 1,则 x =(t+ 1)/2, ∴ f( t)= 4 × [(t+ 1)/2]2 + 1=( t+ 1) 2+ 1, ∴ f( x)=( x + 1)2 + 1, ∴ f(x + 1)=[(x + 1)+ 1]2 + 1 = x2 + 4x + 5. 题型四 利用待定系数法求函数的解析式 .

例 4 若 f( x)为一次函数,f(2x+ 3)+ f(- x)=x+ 2,则 f( x)= . 解:令 f(x)= ax+ b, 则 f(2x+ 3)= a(2x+ 3)+ b= 2ax + 3a + b,f(- x)= - ax + b. 由 f(2x+3)+ f(- x)= 3x+ 2 知,(2ax+3a+ b)+(- ax+b)= 3x + 2, 即 ax + 3a + 2b = 3x + 2.显然,a = 3,解得 3a + 2b = 2 , b = -7/2. ∴ f( x)= 3x -7/2. 题型五 利用解方程组求函数的解析式 . 例 5 若 f(x)+2f(-x)=x2-x,求 f(x)解析式 解: f(-x)+2f(x)=x2+x (1) f( x)+2f(-x)=x2-x (2) 2*(1)式-(2)式整理得:3f(x)=x2+3x 所以 f(x)=(x2+3x)/3


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