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知识点一 第 二 章 数 列 2.3 等 比 数 列 第一 课时 理解教材新知 知识点二 考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练 等比 数列 的概 念及 通项 公式 第一课时 等比数列的概念及通项公式 分析下面几个数列 1 1 1 1 (1)2,4,8,16,… (2)一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿,通 过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮, 邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮 每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下, 这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是 1,20,202,203,…. (3)某人年初投资10 000元,如果年收益率是5%, 那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为 10 000×1.05,10 000×1.052,…,10 000×1.055, 问题1:上面数列是等差数列吗? 提示:不是. 问题2:以上数列中后项与前项的比有何特点? 提示:每一个数列后项与前项的比都等于同一常数. 等比数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 比等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比数 列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示. a2 a3 等比数列{an}的公比为 q,由定义知, =q, a1 a2 a4 an =q, =q,… =q,有 n-1 个式子. a3 an-1 问题 1:q 能等于 0 吗? 提示:q≠0. 问题2:这n-1个式子相乘后的结果是什么?能求出an吗? an 提示:a =qn-1;an=a1· qn-1. 1 问题3:an的表达式与哪种函数相类似? a1 n 提示:指数型函数,因为 an= q · q. 等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列{an},有an= a1q 中a1为首项,q为公比. n- 1 ,其 1.对等比数列的定义的理解 (1)“从第2项起”有两层含义,第一层是第一 项没有“前一项”,第二层是包含第一项后的所有项. (2)“每一项与前一项的比”意思也有两层,第一层 指相邻的两项之间,第二层指后项与前项的比. 2.等比数列的通项公式 (1)已知首项a1和公比q,可以确定一个等比数列. (2)在公式an=a1qn-1中,有an,a1,q,n四个 量,已知其中任意三个量,可以求得第四个量. [例 1] 设数列{an}满足 a1=1,an+2an-1+3= 0(n≥2).判断数列{an+1}是否是等比数列? [ 思路点拨 ] 按照等比数列的定义,只需判断 an+1+1 是否是常数,注意条件的应用 an+1 [精解详析] 由题意知 an+1+2an+3=0(n≥1)成立, an+1+1 -2an-3+1 ∴an+1=-2an-3.∴ = =-2(常数). an+1 an+1 又 a1+1=2, ∴数列{an+1}是以 2 为首项,以-2 为公比的等比数列. [一点通] 判定数列是等比数列常用方法: an+1 an (1)定义法: a =q(常数)或 =q(常数)(n≥2)?{an} an-1 n 为等比数列. (2) 通项法: an = a1· qn 1( 其中 a1 , q 为非零常数, - n∈N*)?{an}为等比数列. 说明:做为解答题,一般用定义法证明. 1.下面所给四个数列,是等比数列的是________. ①2,4,8,16,20 ③2,4,8,16,32 ②2,4,6,8,10 ④1,-1,1,-1. 解析:①②不是等比数列, ③④是等比数列,公比是2和-1. 答案:③④ 2.已知数列{an}中,a1=2,2an-an-1+1= 0(n≥2). (1)判断数列{an+1}是否为等比数列?并说明理由; (2)求an. 解:(1)∵a1=1,2an-an-1+1=0(n≥2), ∴2an=an-1-1. an+1 1 ∴2(an+1)=an-1+1,即 = . an-1+1 2 1 ∴数列{an+1}是以 3 为首项,2为公比的等比数列. 1 n-1 1 n-1 (2)由(1)得 an+1=3· (2) ,即 an=3· (2) -1. [例 2] 1 等比数列{an}中,a2=- ,a6=-27, 3 求{an}的通项公式. [思路点拨] 的通项公式. 利用通项公式求出 a1,q 得{an} [精解详析] 法一:设等比数列{an}的公比为 q,由 1 1 1 ? ? ? ?a1q=- ?a1=- ?a1= 3 9 或? 9 已知得? ,解得? . 5 ? ? ? a q ? 1 =-27 ?q=3 ?q=-3 1 n-1 ∴{an}的通项公式是 an=- · 3 9 1 或 an= · (-3)n-1. 9 即 an=-3n 3 或 an=(-1)n 1· 3n 3 . - - - 1 4 法二:∵a6=a2· q ,∴-27=-3· q. 4 ∴q4=81,∴q=± 3, 1 n-2 根据 an=a2· qn-2,有 an=-3· 3 或 1 an=-3· (-3)n-2, 即 an=-3n-3 或 an=(-1)n-1· 3n-3. [一点通] (1)a1 和 q 是等比数列的基本量,只要求 出 a1 和 q 通项公式就可求,求 a1 和 q 常采用解方程组 法. (2)在等比数列中已知 am(m≠1)时,求出公比,利 用 an=amqn-m 求通项即可,不必再求 a1. 3.(2011· 广州一测)各项都为正数的等比数列{an}中, a1=2,a6=a1a2a3,则公比q的值为________. 解析:由已知得 a1q5=a· q· q2, ∴2· q5=8· q3. ∵q>0, ∴q2=4. ∴q=2. 答案:2 4.在等比数列{an}中,已知 a3+a6=36,a4+a7=18, 1 an=2,求

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