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知识点一 第 二 章 数 列 2.3 等 比 数 列 第一 课时 理解教材新知 知识点二 考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练 等比 数列 的概 念及 通项 公式 第一课时 等比数列的概念及通项公式 分析下面几个数列 1 1 1 1 (1)2,4,8,16,… (2)一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿,通 过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮, 邮件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮 每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下, 这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是 1,20,202,203,…. (3)某人年初投资10 000元,如果年收益率是5%, 那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为 10 000×1.05,10 000×1.052,…,10 000×1.055, 问题1:上面数列是等差数列吗? 提示:不是. 问题2:以上数列中后项与前项的比有何特点? 提示:每一个数列后项与前项的比都等于同一常数. 等比数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 比等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比数 列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示. a2 a3 等比数列{an}的公比为 q,由定义知, =q, a1 a2 a4 an =q, =q,… =q,有 n-1 个式子. a3 an-1 问题 1:q 能等于 0 吗? 提示:q≠0. 问题2:这n-1个式子相乘后的结果是什么?能求出an吗? an 提示:a =qn-1;an=a1· qn-1. 1 问题3:an的表达式与哪种函数相类似? a1 n 提示:指数型函数,因为 an= q · q. 等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列{an},有an= a1q 中a1为首项,q为公比. n- 1 ,其 1.对等比数列的定义的理解 (1)“从第2项起”有两层含义,第一层是第一 项没有“前一项”,第二层是包含第一项后的所有项. (2)“每一项与前一项的比”意思也有两层,第一层 指相邻的两项之间,第二层指后项与前项的比. 2.等比数列的通项公式 (1)已知首项a1和公比q,可以确定一个等比数列. (2)在公式an=a1qn-1中,有an,a1,q,n四个 量,已知其中任意三个量,可以求得第四个量. [例 1] 设数列{an}满足 a1=1,an+2an-1+3= 0(n≥2).判断数列{an+1}是否是等比数列? [ 思路点拨 ] 按照等比数列的定义,只需判断 an+1+1 是否是常数,注意条件的应用 an+1 [精解详析] 由题意知 an+1+2an+3=0(n≥1)成立, an+1+1 -2an-3+1 ∴an+1=-2an-3.∴ = =-2(常数). an+1 an+1 又 a1+1=2, ∴数列{an+1}是以 2 为首项,以-2 为公比的等比数列. [一点通] 判定数列是等比数列常用方法: an+1 an (1)定义法: a =q(常数)或 =q(常数)(n≥2)?{an} an-1 n 为等比数列. (2) 通项法: an = a1· qn 1( 其中 a1 , q 为非零常数, - n∈N*)?{an}为等比数列. 说明:做为解答题,一般用定义法证明. 1.下面所给四个数列,是等比数列的是________. ①2,4,8,16,20 ③2,4,8,16,32 ②2,4,6,8,10 ④1,-1,1,-

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