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资阳市高中2011级高考模拟考试


资阳市高中 2011 级高考模拟考试

数 学(理工类)
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题) 。第Ⅰ 卷 1 至 2 页,第Ⅱ 卷 3 至 4 页。考 生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分 150 分。考试时 间 120 分钟,考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ 卷 (选择题 共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A={x| ( x ? 1)( x ? 5) ? 0 },B={x| log 2 x ? 2 },则集合 A B = (A){x| 0<x<4} (B){x| 0<x<5} (C){x| 1<x ≤ 4} (D){x| 4≤x<5} 2i 2.在复平面内,复数 z 和 表示的点关于虚轴对称,则复数 z= 2?i 2 4 2 4 2 4 2 4 (A) ? i (B) ? i (C) ? ? i (D) ? ? i 5 5 5 5 5 5 5 5 3.下列说法正确的是 (A) “ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 是奇函数”的充要条件
2 (B)若 p : ? x0 ? R , x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ? x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 (C)若 p ? q 为假命题,则 p,q 均为假命题 ? 1 ? 1 (D) “若 ? ? ,则 sin ? ? ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin ? ? ” 6 2 6 2 4.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并制作成 如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图.根据该图,下列结论中正确的是 (A)人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数等于 20% (B)人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中位数小于 20% (C)人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数等于 20% (D) 人体脂肪含量与年龄负相关, 且脂肪含量的中位数小于 20%

5.如图,已知 A,B 两点分别在河的两岸,某测量者在点 A 所在的河岸边另选定一点 C,测 得 AC ? 50 m, ?ACB ? 45 , ?CAB ? 105 ,则 A、B 两点的距离为 (A) 50 3 m (B) 25 3 m (C) 25 2 m (D) 50 2 m 6.用 0,1,2,3,4 这五个数字组成没有重复数字的五位数中,奇 数的个数是 (A)24 (B)36 (C)48 (D)72 ? x ? y ? 1, ? 7.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则实 ? 2 x ? y ? 2, ? 数 a 的取值范围是 (A) (?4, 2) (B) ( ?4,1) (C) (??, ?4) (2, ??) (D) (??, ?4) (1, ??) 8.已知实数 x ? [1, 10] ,执行右图所示的程序框图,则输出 x 的值不小于 55 的概率为 1 (A) 9 2 (B) 9 4 (C) 9 5 (D) 9 x2 y 2 9. 设 P 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上除顶点外的任意一点,F1 、F2 a b 分别是双曲线的左、右焦点,△ PF1 F2 的内切圆与边 F1 F2 相切于点 M,则

F1M ? MF2 ?
(A) a 2 (C) a 2 ? b2 10.已知函数 f ( x) ? 数 m 的取值范围是 1 (A) [ ,1] 2 (C) [1, 2] (B) b 2 1 (D) b 2 2

ex ? m ,若 ?a, b, c ? R , f (a), f (b), f (c) 为某一个三角形的边长,则实 ex ? 1
(B) [0,1]

1 (D) [ , 2] 2

第Ⅱ 卷 (非选择题 共 100 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅 笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。

1 11. ( x ? )6 的展开式的中间一项是__________. x
12. 在 Rt△ABC 中, C?

?

2

, B?

?

6

CA ? 1 , , 则2 | A C A ? B | ? _____.

13.右图中的网格是边长为 1 的小正方形,在其上用粗线画出了 某多面体的三视图,则该多面体的体积为________. 14.已知等边三角形的一个顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛 物线 y 2 ? 2 x 上,则该三角形的面积是________. 15.设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,如 [? ] ? 3 , [?2.3] ? ?3 .给出下列命题: ① 对任意实数 x ,都有 x ? 1 ? [ x] ? x ; ② 对任意实数 x ,y,都有 [ x ? y] ? [ x] ? [ y] ; [lg1] ? [lg 2] ? [lg 3] ? ? [lg100] ? 90 ; ③ ④ 若函数 f ( x) ? [ x ? [ x]] ,当 x ?[0, n) (n ? N* ) 时,令 f ( x) 的值域为 A,记集合 A 的元素个数 a ? 49 19 为 a n ,则 n 的最小值为 . n 2 其中所有真命题的序号是_________________. 三、解答题:共 6 大题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 x 16. (本小题满分 12 分)设平面向量 m ? (cos2 , 3 sin x) , n ? (2, 1) ,函数 f ( x) ? m ? n . 2 (Ⅰ )当 x ? [? , ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围; 3 2 2? ? 13 ? (Ⅱ )当 f (? ) ? ,且 ? ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 3 6 5 3

? ?

3 17. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 满足: Sn ? an ? n ? 3 . 2 (Ⅰ )求证:数列 {an ? 1} 是等比数列;
(Ⅱ )令 cn ? log3 (a1 ? 1) ? log3 (a2 ? 1) ? ? log3 (an ? 1) ,对任意 n ? N* ,是否存在正整数 m, 1 1 1 m 使 ? ? ? ? 都成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. c1 c2 cn 3

18. (本小题满分 12 分) 某学校为了选拔学生参加“XX 市中学生知识竞赛” ,先在本校进 行选拔测试(满分 150 分) ,若该校有 100 名学生参加选拔测试,并根据选拔测试成绩作出 如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ )根据频率分布直方图,估算这 100 名学生参加选 拔测试的平均成绩; (Ⅱ )若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知 识竞赛,知识竞赛分为初赛和复赛,初赛中每人最多有 5 次答题机会,累计答对 3 题或答错 3 题即终止,答对 3 题者方可参加复赛.假设参赛者甲答对每一个题的概 2 率都是 ,求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期 3 望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是梯形,四边形 CDEF 是矩形,且平面 ABCD⊥ 1 平面 CDEF,∠ BAD=∠ CDA=90?, AB ? AD ? DE ? CD ,M 是线段 AE 上 2 的动点. (Ⅰ )试确定点 M 的位置,使 AC∥ 平面 DMF,并说明理由; (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,求平面 DMF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦 值.

20. (本小题满分 13 分) 如图,已知圆 E: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ,点 F ( 3,0) ,P 是圆 E 上任 意一点.线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q. (Ⅰ )求动点 Q 的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ ) 已知 A, B, C 是轨迹 ? 的三个动点, A 与 B 关于原点对称, 且 | CA |?| CB | , 问△ABC 的面积是否存在最小值?若存在,求出此时点 C 的坐标,若不存 在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( a ? R ). (Ⅰ )求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ )函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 在定义域内是否存在零点?若存在,请指出有几个零点;若不 存在,请说明理由; (Ⅲ )若 g (x) ? ln(e x ? 1) ? ln x ,当 x ? (0, ??) 时,不等式 f ( g ( x)) ? f ( x) 恒成立,求 a 的取值 范围.

资阳市高中 2011 级高考模拟考试 数学参考答案及评分意见(理工类)
一、选择题:CADBD,BACBD. 二、填空题:11. -20;12. 2;13. 16;14. 12 3 ;15.① ④. 三、解答题:共 6 大题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 x x 16.解析: (Ⅰ ) f ( x) ? (cos2 , 3 sin x) ? (2,1) ? 2cos2 ? 3 sin x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 2 2
? cos x ? 3 sin x ? 1 ? 2sin( x ? ) ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 6 ? ? ? ? 2? 1 ? ? 当 x ?[? , ] 时, x ? ?[? , ] ,则 ? ? sin( x ? ) ? 1 , 0 ? 2sin( x ? ) ? 1 ? 3 , 3 2 6 6 3 2 6 6 所以 f ( x) 的取值范围是 [0, 3] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分

?

? 13 ? 4 (Ⅱ )由 f (? ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? ,得 sin(? ? ) ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 6 5 6 5 2? ? ? ? ? ? 3 因为 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? ,得 cos(? ? ) ? , · 3 6 2 6 3 6 5 ? ? ? ? 4 3 24 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 sin(2? + ) ? sin[2(? ? )] ? 2sin(? ? )cos(? ? ) ? 2 ? ? ? 3 6 6 6 5 5 25 3 17.解析: (Ⅰ )当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? a1 ? 2 ,解得 a1 ? 4 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 2 3 3 当 n ? 2 时,由 Sn ? an ? n ? 3 得 Sn?1 ? an?1 ? n ? 4 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 2 2 3 3 两式相减,得 Sn ? Sn?1 ? an ? an?1 ? 1 ,即 an ? 3an ?1 ? 2 ( n ? 2 ) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2 2 则 an ? 1 ? 3(an ?1 ? 1) ,故数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 3 为首项,公比为 3 的等比数列. · · · · ·4 分
(Ⅱ )由(Ⅰ )知 an ? 1 ? 3n ,

cn ? log3 (a1 ? 1) ? log3 (a2 ? 1) ?
所以 则 由

? log3 (an ? 1) ? 1 ? 2 ?

?n?

n(n ? 1) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 2

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 cn n(n ? 1) n n ?1

1 1 ? ? c1 c2
1 1 ? ? c1 c2

?
?

1 1 1 1 ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? cn 2 2 3

1 1 1 ?( ? )] ? 2(1 ? ), · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 n n ?1 n ?1

1 m 1 m ? 对任意 n ? N* 都成立,得 2(1 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ) ? ,· cn 3 n ?1 3

1 ) 对任意 n ? N* 都成立,又 m ? N* , n ?1 所以 m 的值为 1,2,3. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 18.解析: (Ⅰ )设平均成绩的估计值为 X ,则: X ? (20 ? 0.001 ? 40 ? 0.004 ? 60 ? 0.009 ? 80 ? 0.020 ? 100 ? 0.012 ? 120 ? 0.003 ? 140 ? 0.001) ? 20 ? 80.4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 (Ⅱ )记甲在初赛中的答题个数为随机变量 ? ,这 ? 的可能值为 3,4,5, 2 2 1 2 2 2 2 2 2 10 1 , P(? ? 3) ? ( )3 ? (1 ? )3 ? , P(? ? 4) ? C32 ? ( )2 ? (1 ? ) ? ? C3 ? ? (1 ? )2 ? (1 ? ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27 1 10 8 2 2 2 2 2 2 8 2 ) . ? P(? ? 5) ? C42 ? ( )2 ? (1 ? )2 ? ? C4 ? (1 ? )2 ? ( )2 ? (1 ? ) ? (或 P(? ? 5) ? 1 ? ? 3 27 27 3 3 3 3 3 3 27 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 则 ? 的分布列为
即 m ? 6(1 ?

?
p

3

4

5

1 10 8 3 27 27 1 10 8 107 所以 ? 数学期望 E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ? 3 27 27 27 19.解析: (Ⅰ )当 M 是线段 AE 的中点时,AC∥ 平面 DMF. 证明如下: 连结 CE,交 DF 于 N,连结 MN, 由于 M、N 分别是 AE、CE 的中点,所以 MN∥ AC, AC 由于 MN ? 平面 DMF,又 AC ? 平面 DMF, 所以 AC∥ 平面 DMF.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 (Ⅱ )方法一、过点 D 作平面 DMF 与平面 ABCD 的交线 l,由于 AC∥ 平面 DMF,可知 AC∥ l, 过点 M 作 MG⊥AD 于 G, 因为平面 ABCD⊥ 平面 CDEF,DE⊥CD, 所以 DE⊥平面 ABCD,则平面 ADE⊥平面 ABCD, 所以 MG⊥平面 ABCD, 过 G 作 GH⊥l 于 H,连结 MH,则直线 l⊥平面 MGH,所以 l⊥MH, 故∠MHG 是平面 MDF 与平面 ABCD 所成锐二面角的平面角. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 2 2 ? 设 AB ? 2 ,则 DG ? 1 , GH ? DG sin ?GDH ? DG sin ?DAC ? 1 ? , 5 5
2 3 1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 DE ? 1 ,则 MH ? ( )2 ? 12 ? 2 5 5 GH 2 3 2 2 ? ? ? ,即所求二面角的余弦值为 .· 所以 cos ?MHG ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 MH 3 5 5 3 方法二、因为平面 ABCD⊥ 平面 CDEF,DE⊥CD,所以 DE⊥平面 ABCD,可知 AD,CD,DE 两

MG ?

两垂直, 分别以 DA ,DC ,DE 的方向为 x, y, z 轴, 建立空间直角坐标系 O-xyz. 设 AB ? 2 , 则 M (1,0,1) , F (0, 4, 2) , DM ? (1,0,1) , DF ? (0, 4, 2) , 设平面 MDF 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) ,

? ? x ? z ? 0, ?n ? DM ? 0, 则? 1 所以 ? ?4 y ? 2 z ? 0, ? ?n1 ? DF ? 0, 令 y ? 1 ,得平面 MDF 的一个法向量 n1 ? (2,1, ?2) , · · · · · · · · · ·8 分
取平面 ABCD 的法向量 n2 ? (0,0,1) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 n ?n ?2 2 ? ? ,· 由 cos n1 , n2 ? 1 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 | n1 || n2 | 3 4 ?1? 4 2 故平面 MDF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 3 20. 解析: (Ⅰ ) 连结 QF, 根据题意, |QP|=|QF|, 则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4 ?| EF |? 2 3 , 故动点 Q 的轨迹 ? 是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 2 2 x x 设其方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,可知 a ? 2 , c ? a2 ? b2 ? 3 ,则 b ? 1 , · · · · · · · · · · · ·3 分 a b x2 所以点 Q 的轨迹 ? 的方程为为 ? y 2 ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 4 (Ⅱ )存在最小值.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 (ⅰ)当 AB 为长轴(或短轴)时,可知点 C 就是椭圆的上、下顶点(或左、右顶点) ,则 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 S?ABC ? ? | OC | ? | AB |? ab ? 2 . · 2

(ⅱ)方法一、当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设斜率为 k,则直 线 AB 的直线方程为 y ? kx ,设点 A( xA , y A ) ,
? x2 2 4k 2 4 ? ? y ? 1, 2 2 联立方程组 ? 4 消去 y 得 xA , yA , ? ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? y ? kx, ? 由 | CA |?| CB | ,知△ABC 是等腰三角形,O 为 AB 的中点,则 OC⊥AB,

4k 2 1 2 可知直线 OC 的方程为 y ? ? x , 同理可得点 C 的坐标满足 xC , ? 2 k k ?4 4 4k 2 4(1 ? k 2 ) 4k 2 4 4(1 ? k 2 ) 4 2 2 ,则 | OA |2 ? , , yC ? 2 ? ? | OC | ? ? ? k ?4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分
则 S?ABC ? 2S?OAC ?| OA | ? | OC |?| OA |2 ? 由于 (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4) ?

4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) .· · · ·9 分 ? ? 1 ? 4k 2 k2 ? 4 (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)

(1 ? 4k 2 ) ? (k 2 ? 4) 5(1 ? k 2 ) , ? 2 2 4(1 ? k 2 ) 8 所以 S?ABC ? 2S?OAC ? ? ,当且仅当 1 ? 4k 2 ? k 2 ? 4 ,即 k 2 ? 1 时取等号. 2 5(1 ? k ) 5 2 8 综合(ⅰ) (ⅱ) ,当 k 2 ? 1 时,△ABC 的面积取最小值 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 5 2 5 2 5 4 4 4k 2 4 2 2 此时 xC , yC ? ? , ? 2 ? ,即 xC ? ? ? 2 ? , yC 5 5 k ?4 5 k ?4 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 , ),( ,? ) , (? , ) , (? ,? ) .· 所以点 C 的坐标为 ( · · · ·13 分 5 5 5 5 5 5 5 5 1 方法二、前同(ⅰ) ,记 t ? 1 ? k 2 ,则 t ? 1 ,所以 0 ? ? 1 , t
t2 1 1 , ?4 ?4 9 9 1 1 25 (4t ? 3)(t ? 3) ? 2 ? ?4 ?9( ? )2 ? t t t 2 4 1 1 1 1 25 25 8 当 ? ,即 k 2 ? 1 时, ?9( ? )2 ? 有最大值 ,此时 S?ABC 取得最小值 . t 2 t 2 4 4 5 8 2 综合(ⅰ) (ⅱ) ,当 k ? 1 时,△ABC 的面积取得最小值 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 5 2 5 2 5 4k 2 4 4 4 2 2 此时 xC , yC ? ? , ? 2 ? ,即 xC ? ? ? 2 ? , yC 5 5 k ?4 5 k ?4 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 , ),( ,? ) , (? , ) , (? ,? ) .· 所以点 C 的坐标为 ( · · · ·13 分 5 5 5 5 5 5 5 5 方法三、设 A( x0 , y0 ) , C ( x1 , y1 ) ,根据 A,B 两点关于原点对称,
故 S?ABC ? 4
2 2 则 B(? x0 , ? y0 ) ,所以 | AB |? 2 x0 , ? y0

由 | CA |?| CB | ,知△ABC 是等腰三角形,O 为 AB 的中点,则 OC⊥AB, k AB ? 由
y0 y1 ? ? ?1 ,??????????????① x0 x1
x12 ? y12 ? 1 ???????② 4

y y0 , kOC ? 1 , x1 x0

且点 C 在椭圆上,则

联立①②,解得 x12 ? 所以 S?ABC ? 又

2 2 2 2 2 x0 ? y0 4 y0 4 x0 2 | OC | ? , ,所以 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 y ? 1 2 2 2 2 2 2 4 x0 ? y0 4 x0 ? y0 4 x0 ? y0

2 2 2( x0 ? y0 ) 1 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 | OC | ? | AB |? 2 2 2 4 x0 ? y0

2 2 x0 8 ? 6 y0 2 2 2 ? y0 ? 1 ,即 x0 ,所以 S?ABC ? , ? 4 ? 4 y0 2 4 16 ? 15 y0

2 2 记 t ? 16 ? 15 y0 , t ? [1, 4] , y0 ?

16 t 2 ? , 15 15

则 S?ABC ?

2 5 8 2t 8 2t 8 ? ?2 ? ? ,当且仅当 t ? 2 ,即 y0 ? ? 时等号成立, 5 5t 5 5t 5 5

2 5 8 时, S?ABC 有最小值 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 5 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 , ),( ,? ) , (? , ) , (? ,? ) .· 所以点 C 的坐标为 ( · · · ·13 分 5 5 5 5 5 5 5 5 21.解析: (Ⅰ )由 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ,则 f ?( x) ? e x ? a . 当 a ? 0 时,对 ?x ? R ,有 f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在区间 (??, ??) 上单调递增; 当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a ;由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a ,

综合(ⅰ) (ⅱ) ,当 y0 ? ?

此时函数 f ( x) 的单调增区间为 (ln a, ??) ,单调减区间为 (??,ln a) . 综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ??) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (ln a, ??) ,单调减区间为 (??,ln a) . · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分

ex ? 1 , ? ln x ( x ? 0 ) x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 x x e ?1 (e ? 1)( x ? 1) 令 h( x) ? ,则 h?( x) ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ? ln x ( x ? 0 ) x x2 由于 x ? 0 , e x ? 1 ? 0 ,可知当 x ? 1 , h '( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, h '( x) ? 0 , 故函数 h( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增,故 h( x) ? h(1) ? e ? 1 . · · · · · · · · · · · · ·7 分
(Ⅱ )函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 的定义域为 (0, ??) ,由 F ( x) ? 0 ,得 a ?

ex ? 1 ? 1, x (随着 x ? 0 的增长, y ? e x ? 1 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y ? x 的增长速度, h( x) 趋向于正无穷大.) 而 y ? ln x 的增长速度则会越来越慢. 则当 x ? 0 且 x 无限接近于 0 时, 当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 有两个不同的零点; 当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 有且仅有一个零点; 当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 没有零点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分
又由(Ⅰ )知当 a ? 1 时,对 ?x ? 0 ,有 f ( x) ? f (ln a) ? 0 ,即 e x ? 1 ? x ? (Ⅲ )由(Ⅱ )知当 x ? 0 时, e x ? 1 ? x ,故对 ?x ? 0, g ( x) ? 0 , 先分析法证明: ?x ? 0 , g ( x) ? x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 要证 ?x ? 0 , g ( x) ? x ,

ex ? 1 x ?e , x 即证 ?x ? 0, xe x ? e x ? 1 ? 0 , 构造函数 H ( x) ? xe x ? e x ? 1( x ? 0) ,则 H '( x) ? xe x ? 0 ,
只需证 ?x ? 0, 故函数 H ( x) 在 (0, ??) 单调递增,所以 H ( x) ? H (0) ? 0 ,则 ?x ? 0, xe x ? e x ? 1? 0 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 当 a ? 1 时,由(Ⅰ ) , f ( x) 在 (0, ??) 单调递增,则 f ( g ( x)) ? f ( x) 在 x ? (0, ??) 上恒成立;

当 a ? 1 时,由(Ⅰ ) ,函数 f ( x) 在 (ln a, ??) 单调递增,在 (0, ln a) 单调递减, 故当 0 ? x ? ln a 时, 0 ? g ( x) ? x ? ln a ,所以 f ( g ( x)) ? f ( x) ,则不满足题意. 所以满足题意的 a 的取值范围是 (??,1] .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分


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