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高考数学选择题的10种解法及研究


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高考数学选择题的 10 种解法及研究
高考数学试题中, 选择题的分值占全卷的 40%,同时它又在全卷的开始部分,所以解选 择题的快慢和成功率的高低对于能否进入最佳状态,以至于整个考试的成败起着举足轻重的 作用. 近年高考选择题减少了繁烦的运算,着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力 ,以及观 察、分析、比较、选择简捷运算方法的能力,突出了对学生数学素质的考查。试题运算量不 大,以认识型和思维型的题目为主,许多题目既可用通性、通法直接求解,也可用 “特殊” 方法求解。下面介绍高考数学选择题的 10 种常用解法. 解数学选择题有两个基本思路:一是直接法;二是间接法 ①充分利用题干和选择支两方面提供的信息,快速、准确地作出判断,是解选择题的基 本策略。 ②解选择题的基本思想是: 既要看到通常各类常规题的解题思想, 原则上都可以指导选 择题的解答;更应看到。根据选择题的特殊性,必定存在着若干异于常规题的特殊解法。我 们需把这两方面有机地结合起来,对具体问题具体分析。

1、直接求解法
由因导果,对照结论。按指令要求,通过推理或演算直接得出符合题意的结论,再与选 择支对照而作出判断的解题思路称为直接法.直接法是经常采用的一种重要方法.

例 1、设集合 A 和 B 都是自然数集合 N ,映射 f : A ? B 把集合 A 中的元素 n 映射到
集合 B 中的元素 2 n ? n ,则在映射 f 下,象 20 的原象是 ( )

? A? 2

? B? 3

?C ? 4

? D? 5

解:由映射概念可知 2n ? n ? 20, 可得 n ? 4 .故选 ? C ? .

例 2、如果 log7 ? ?log3 ? log2 x ?? ? ? 0 ,那么 x
? A?
1 3

?

1 2

等于(
2 4



?B?

3 6

?C ?

3 9

? D?

解:由题干可得: log3 ? log2 x ? ? 1 ? log2 x ? 3 ? x ? 23.
?x
? 1 2

?2

?

3 2



2 . 故选 ( D ) . 4 3、方程 x ? sin x 的实数解的个数为 ( 100 ?



? A? 61
解:令 y ? 直线 y ? 数

? B ? 62

? C ? 63

? D? 64

x , y ? sin x ,这两个方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个数.由于 100

1 1 ,又 ?1? sin x?1. x 的斜率为 100 100

所以仅当 ?100 ? x ? 100 时,两图象有交点.由函 把 闭 区 间

y ? sin x











??1

0

?

0 分 ,

1 成 0

0

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? ??100, 2 ? ?16 ? 1? ? ? ?,? ?2k? , 2 ? k ?1? ? ? ? , ?2 ?15? ,100?. (k ? ?15, ?14,?, ?2, ?1, 0,1, 2,?,14), 共 32 个

区间,在每个区间上,两图象都有两个交点,注意到原点多计一次,故实际交点有 63 个.即 原方程有 63 个实数解.故选 (C ) . 从以上例题可以看出, 解一元数学选择题, 当得出的符合题意的结论与某选择支相符时, 便可断定该选择支是正确的.

练习精选
1.已知 f(x)=x(sinx+1)+ax ,f(3)=5,则 f(-3)=( ) (A)-5 (B)-1 (C)1 (D)无法确定 2. 若定义在实数集 R 上的函数 y=f(x+1)的反函数是 y=f (x-1),且 f(0)=1,则 f(2001) 的 值为( ) (A)1 (B)2000 (C)2001 (D)2002 3.已知奇函数 f(x)满足:f(x)=f(x+2),且当 x∈(0,1)时,f(x)=2 -1,则 f (log 1 24) 的值为
2
x -1 2

(A) ?

1 2

(B) ?

5 2

(C) ?

5 24

(D) ?

23 24

4.设 a>b>c,n∈N,且 (A)2 (B)3

1 1 n 恒成立,则 n 的最大值是( ? ? a ?b b ?c a ?c



(C)4

(D)5

5.如果把 y=f(x)在 x=a 及 x=b 之间的一段图象近似地看作直线的一段,设 a≤c≤b,那么 f(c)的近似值可表示为( ) (A)
1 ? f (a) ? f (b)? 2

(B) f (a) f (b) (D) f (a) ?
c?a [ f (b) ? f (a)] b?a

(C) f (a) ?

c?a [ f (b) ? f (a)] b?a

6.有三个命题: ①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面 ? 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 ? 垂 直;③异面直线 a , b 不垂直,那么过 a 的任一平面与 b 都不垂直。其中正确的命题的个数为 A.0 B.1
2

C.2
2 n-1

D.3

7.数列 1,1+2,1+2+2 ,?,1+2+2 +?+2 ,?的前 99 项的和是( ) 100 99 100 99 (A)2 -101 (B)2 -101 (C)2 -99 (D)2 -99 练习精选答案:B DACCDA

2、特例法

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把特殊值代入原题或考虑特殊情况、特殊位置,从而作出判断的方法称为特例法.(也 称特殊值法)

例 4、当 ? a ? 1??b ? 1? ? 2 时, arctga ? arctgb 的弧度等于
? A?
?
2 或?





?
2

? B?

?

2 或? ? 3 3

?C ?

?

3 或? ? 4 4

? D?

?

4 或? ? 5 5

分析:因为四个选择支中有且只有一个是正确的,且四支中八个常数均不相同,故把满 足 ? a ? 1?? b ? 1? ? 2 的任一组 a , b 的值代入 arctga ? arctgb 必等于这八个数中的某一个,该数所 在的支就是正确支. 解:取满足 ? a ? 1?? b ? 1? ? 2 的 a ? 0, b ? 1 代入,有 arctg 0 ? arctg1 ? 注:若用直接法. 由
?

?
4

.故选 ? C ? .

? a ? 1??b ? 1? ? 2 ?
?
2 ,?

a?b ? 1. 1 ? ab
2

? tg ? arctga ? arctgb? ?

a ?b ?1 1 ? ab

.



?
2

? arctga ?

?
2

? arctgb ? 或? 3? . 4

?

?? ? arctga ? arctgb ? ? .

? arctga ? arctgb ?

?
4

例 5、 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b? ?lg a ? lg b ? , R ? lg ? ? ? ,则 ( 2 ? 2 ?



? A? R ? P ? Q ? B ? P ? Q ? R ? C ? Q ? P ? R ? D ? P ? R ? Q
3 ? ? 3 ?100 10 解:由 a ? b ? 1, 不妨取 a ? 100, b ? 10 ,则 P ? 2, Q ? , R ? lg ? ? g 100 10 ? . ? ?l 2 2 2 ? ?

故选 ? B ? . 注:本题也可尝试利用基本不等式进行变换.

例 6、一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
是 ( )
3

2, 3, 6 ,这个长方体对角线的长

? A? 2

? B?3

2

?C ? 6

? D?

6

解 : 由 已 知 不 妨 设 长 方 体 的 长 a ? 1, 宽 b ? 2, 高 c ? 3 , 则 对 角 线 的 长 为
a2 ? b2 ? c2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 .故选 ? D ? .

练习精选

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1.若 0 ? ? ?

?
4

,则(

) (C) tan2? ? tan? (D) cot 2? ? cot ?

(A) sin 2? ? sin ?

(B) cos2? ? cos?

2.如果函数 y=sin2x+a cos2x 的图象关于直线 x=-

? 对称,那么 a=( ) 8

(A) 2 (B)- 2 (C)1 (D)-1 3.已知 f(x)= x ? 1 +1(x≥1).函数 g(x)的图象沿 x 轴负方向平移 1 个单位后,恰好与 f(x) 的图象关于直线 y=x 对称,则 g(x)的解析式是( ) 2 2 2 2 (A)x +1(x≥0) (B)(x-2) +1(x≥2) (C) x +1(x≥1) (D) (x+2) +1(x≥2) 4.直三棱柱 ABC—A B C 的体积为 V,P、Q 分别为侧棱 AA 、CC 上的点,且 AP=C Q,则四棱锥 B—APQC 的体积是( )
1 (A) V 2
/ / / / / /

1 (B) V 3

1 (C) V 4
2

1 (D) V 5

5.在△ABC 中,A=2B,则 sinBsinC+sin B=( ) 2 2 2 (A)sin A (B)sin B (C)sin C (D)sin2B 8 2 8 6.若(1-2x) =a0+a1x+a2x +?+a8x ,则|a1|+|a2|+?+|a8|=( ) 8 8 (A)1 (B)-1 (C)3 -1 (D)2 -1 7.一个等差数列的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则它的前 3n 项和为( (A) ?24 (B) 84 (C) 72 (D) 36 8.如果等比数列 ?an ? 的首项是正数,公比大于 1,那么数列 ?log 1 an ? 是(
? ?
3



? ?

? ? ? ?



(A)递增的等比数列; (C)递增的等差数列;

(B)递减的等比数列; (D)递减的等差数列。

9.双曲线 b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2 (a ? b ? 0) 的两渐近线夹角为 ? ,离心率为 e ,则 cos (A) e (B) e 2 (C)
1 e

?
2

等于(



(D)

1 e2

练习精选答案:BDBBACDDC

3、代入验证法
将选择支代入题干或将题干代入选择支进行检验,然后作出判断的方法称为代入法.

例 7、满足

7 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 的值是 (



? A? x ? 3 ? B ? x ?

3 7

?C ? x ? 2 ? D? x ? 1

分析:找最简单的选择支代入,并根据正确支是唯一的可知选 ? D ? . 注:本问题若从解方程去找正确支实属下策.

例 8、已知 0 ? a ? 1, b ? 1且ab ? 1.则M ? loga 1 , N ? loga b,
b

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P ? logb

1 .三数大小关系为 ( b



? A? P ? N ? M ? B ? N ? P ? M ?C ? N ? M ? P ? D? P ? M ? N
解:由 0 ? a ? 1, b ? 1知M ? 0, N ? 0. 又 P ? ?1 ? 0. 代入选择支检验 ? C ? , ? D ? 被排除;又由
1 ab ? 1 ? log a ab ? 0 ? log a b ? log a a ? 0 , log a b ? ?1. 即 loga b ? logb . ? A? 被排除.故选 ? B ? . b

练习精选
3 4 1.如果 Pm ,则 m=( ) ? 6Cm

(A)

6

(B)
2

7

(C)

8

(D)

9

2.若不等式 0≤x -ax+a≤1 的解集是单元素集,则 a 的值为( ) (A)0 (B)2 (C)4 (D)6 3.若 f (x)sinx 是周期为 ? 的奇函数,则 f (x)可以是______. (A) sinx (B) cosx (C) sin2x (D) cos2x 4.已知复数 z 满足 arg(z+1)= ? ,arg(z-1)= 5? ,则复数 z 的值是( ) 3 6 (A) ? 1 ? 3i (B) ? 1 ? 3 i (C) 1 ? 3i (D) 1 ? 3 i 2 2 2 2 5.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是 ( ) .. (A)三棱锥 (B) 四棱锥 (C) 五棱锥 (D) 六棱锥

练习精选答案:BBBBD

4、图象法(数形结合法)
通过画图象作出判断的方法称为图象法.

例 9、方程 lg ? x ? 4? ? 10x 的根的情况是
? A ? 仅有一根 ? C ? 有两个负根





? B ? 有一正根一负根 ? D ? 没有实数根

解:令 y1 ? 10x , y2 ? lg ? x ? 4? . 画草图(略). 当 x ? 0 时, y1 ? 10x ? 1, y2 ? lg ? x ? 4? ? lg 4.? y1 ? y2 . 当 x ? ?1时, y1 ? 10x ? 当 x ? ?3 时, y1 ? 10x ?
1 , y2 ? lg ? x ? 4? ? lg3.? y1 ? y2 . 10 1 , y2 ? lg ? x ? 4? ? lg1 ? 0.? y1 ? y2 . 1000

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由此可知,两曲线的两交点落在区间 x ? ? ?3, 0 ? 内.故选 ? C ? .

例 10、已知 E ? ?? x, y ? y ? x 2 ? , F ? ?? x, y ? x 2 ? ? y ? a ?2 ? 1? ,那么使 E ? F ? F 成立的
充要条件是 ( )

? A? a ?

5 4

? B? a ?

5 4

?C ? a ? 1

? D? a ? 0
2

解:? E 为抛物线 y ? x 2 的内部(包括周界) , F 为动圆 x2 ? ? y ? a ? ? 1 的内部(包括周 界).该题的几何意义是 a 为何值时,动圆进入区域 E ,并被 E 所覆盖.(图略) 显然结论应是 a ? c ? c ? R? ? , 故可排除 ? B ? , ? D? , 而当 a ? 1 时, ? a 是动圆圆心的纵坐标,
E ? F ? F . (可验证点 ? 0,1? 到抛物线上点的最小距离为

3 ).故选 ? A ? . 2

练习精选
1.方程 lg(x+4)=10 的根的情况是( ) (A)仅有一根 (B)有一正一负根 (C)有两负根 (D)无实根 2.E、F 分别是正四面体 S—ABC 的棱 SC、AB 的中点,则异面直线 EF 与 SA 所成的角是 o o o o (A)90 (B)60 (C)45 (D)30 3.已知 x1 是方程 x+lgx=3 的根,x2 是方程 x+10 =3 的根,那么 x1+x2 的值是( ) (A)6 (B)3 (C)2 (D)1 2 4.已知函数 f(x)=x ,集合 A={x|f(x+1)=ax,x∈R},且 A∪ R ? = R ? ,则实数 a 的取值范围是 (A)(0,+∞) (B)(2,+∞) (C) [4, ??) (D) (??, 0) ? [4, ??) 5.函数 f(x)= (A)0<a<
1 2
x x

ax ? 1 在区间(-2,+ ∞)上为增函数,则 a 的取值范围是( x?2

)

(B)a<-1 或 a>

1 2
2

(C)a>

1 2

(D)a>-2

6. 已 知 函 数 f(x)=3-2|x|,g(x)=x -2x, 构 造 函 数 F(x), 定 义 如 下 : 当 f(x) ≥ g(x) 时,F(x)=g(x);当 f(x)<g(x)时,F(x)=f(x).那么 F(x) (A)有最大值 3,最小值-1 (C) 有最大值 3,无最小值 (B)有最大值 7-2 7 ,无最小值 (D) 无最大值,也无最小值

? ? 7.ω 是正实数,函数 f(x)=2sinω x 在 [? , ] 上递增,那么( ) 3 4
(A)0<ω ≤
3 2

(B)0<ω ≤2

(C)0<ω ≤

24 7

(D) ω ≥2 )

8.如果不等式 x ? a ? x(a ? 0) 的解集为 ?x m ? x ? n? ,且 m ? n ? 2a ,则 a 的值等于(

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 x 9.f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(3-x)=f(3+x),若 x∈(0,3)时 f(x)=2 ,则 f(x)在(-6, -3)上的解析式是 f(x)=( ) x+6 x+6 x x (A)2 (B)-2 (C)2 (D)-2

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练习精选答案:CCBACBABB

5、逻辑分析法
根据选择支的逻辑结构和解题指令的关系作出判断的方法称为逻辑分析法. (1) 若 (A) 真 ? (B)真,则(A)必排出,否则与“有且仅有一个正确结论”相矛盾. (2) 若(A)

,则(A) (B)均假。 (3)若(A) (B)成矛盾关系,则必有一真,可否定(C)(D). ? (B)

例 11、若 c ? 1, a ?
? A? a ? b ? B? a ? b

c ? c ? 1, b ? c ? 1 ? c .则下列结论中正确的是 (



?C ? a ? b

? D? a ? b

分析:由于 a ? b 的含义是 a ? b或a ? b. 于是若 ? B ? 成立,则有 ? D ? 成立;同理,若 ? C ? 成 立,则 ? D ? 也成立,以上与指令“供选择的答案中只有一个正确”相矛盾,故排除 ? B ? , ? C ? . 再考虑 ? A? , ? D? ,取 c ? 3 代入得 a ? 3 ? 2, b ? 2 ? 3 ,显然 a ? b ,排除 ? D ? .故选 ? A ? .

例 12、当 x ? ??4,0?时, a ?
? A? 5

?x2 ? 4x ?

4 x ? 1 恒成立,则 a 的一个可能取值是 ( 3



? B?

5 3

?C ? ?

5 3

? D? ? 5

解:? ?x2 ? 4x ? 0?? A? 真 ? ? B? 真 ? ?C ? 真 ? ? D? 真 .故选 ? D ? . 注:本题由解题指令“只有一个供选答案正确”可知选 ? D ? 才正确.

练习精选
1.平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的两个对角面 ACC1A1 与 BDD1B1 都是矩形,则这个平行六面体是 ( ) (A)正方体 (B)长方体 (C)直平行六面体 (D)正四棱柱
4 x ? 1 恒成立,则 a 的一个可能值是( 3 5 3

2.当 x∈[-4,0]时 a ? ? x2 ? 4 x ? (A)5 (B)-5

)

(C)

(D) ?

5 3

???? ? 3.已知 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2 均为实数)是两个非零复数,则它们所对应的向量 OZ1 ???? ? 与 OZ2 互相垂直的充要条件是( )

(A)

b1b2 ? ?1 a1 a2

(B) a1a2+b1b2=0

(C)z1-iz2=0 )

(D)z2-iz1=0

4.设 a , b 是满足 ab ? 0 的实数,那么(

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(A) a ? b ? a ? b (C) a ? b ? a ? b

(B) a ? b ? a ? b (D) a ? b ? a ? b

5.若 a、b 是任意实数,且 a > b,则( ) b 1 a 1 2 2 b (A) a > b (B) <1 (C) lg(a –b)>0 (D) ( ) <( ) a 2 2 6..在直角三角形中两锐角为 A 和 B,则 sinAsinB=( ) 1 1 (A) 有最大值 和最小值 0 (B) 有最大值 ,但无最小值 2 2 (C) 既无最大值也无最小值 练习精选答案:CBBBDB (D) 有最大值 1,但无最小值

6、逆向思维法
当问题从正面考虑比较困难时,采用逆向思维的方法来作出判断的方法称为逆向思维 法.

例 13、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是
? A ? 三棱锥 ? B ? 四棱锥 ? C ? 五棱锥 ? D ? 六棱锥





解:假如是六棱锥,则这个六棱锥的底面外接圆半径、底面边长、侧棱长都相等,这是 不可能的.故选 ? D ? .

例 14、 《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 800
元的部分不必纳税, 超过 800 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算: 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 ?? 税率 5% 10% 15% ?

某人一月份应交纳此项税款 26.78 元,则他的当月工资、薪金所得介于

? A ? 800~900 元 ? C ? 1200~1500 元

? B ? 900~1200 元 ? D ? 1500~2800 元
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解:设某人当月工资为 1200 元或 1500 元,则其应纳税款分别为:400 ? 5%=20 元, 500 ? 5%+200 ? 10%=45 元,可排除 ? A ? 、 ? B ? 、 ? D ? .故选 ? C ? . 注:本题也可采用(1)估算法.由 500 ? 5%=25 元,100 ? 10%=10 元,故某人当月工资应 在 1300~1400 元之间. 故选 ? C ? . ( 2 ) 直 接 法 . 设 某 人 当 月 工 资 为 x 元 , 显 然 1 3 0?0 x?
? ? x ?1 3 0 ?0 10 ?%

元0, 28 0 则

解之得 元. 故选 ? C ? . ? 5 0 0 ? 5. % 2 6x .?7 8 1317.8

练习精选
1.若不等式 0≤x -ax+a≤1 的解集是单元素集,则 a 的值为( ) (A)0 (B)2 (C)4 (D)6 2.对于函数 f(x),x∈[a,b]及 g(x), x∈[a,b]。若对于 x∈[a,b],总有
f ( x) ? g ( x) 1 ? ,我们称 f(x)可被 g(x)替代.那么下列给出的函数中能替代 f(x)= x , x f ( x) 10
2

∈[4,16]的是( ) (A)g(x)=x+6, x∈[4,16]
1 (C)g(x)= , x∈[4,16] 5
2

(B)g(x)=x +6, x∈[4,16] (D)g(x)=2x+6, x∈[4,16]
x

2

?b? 3.在下列图象中,二次函数 y=ax +bx 与指数函数 y ? ? ? 的图象只可能是( ?a?



(A)

(B)

(C)

(D)

4.若圆 x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 上恰有相异两点到直线 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 的距离等于 1, 则 r 的取值范 围是( ) (A) ? 4,6? (B) ? 4,6 ? (C) ? 4,6? (D) ? 4, 6 ? )

5.已知复数 z 满足 z+z· z ?
1 (A) ? i 2 1 i (B) ? 2 2

(1 ? i)2 ,则复数 z 的值是( 4
1 i (C) ? ? 2 2 1 i (D) ? ? 2 2

6.已知 y=f(x)的图象如右,那么 f(x)=( )

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(A) x2 ? 2 | x | ?1

(B) x 2 ? 2 x ? 1

(C)x -2|x|+1 (D)|x -1|

2

2

练习精选答案:BBCDCA

7、估算法
所谓估算法就是一种粗略的计算方法, 即对有关数值作扩大或缩小, 从而对运算结果确 定出一个范围或作出一个估计的方法。

例 15 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF//AB,
EF=3/2,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为????????????( A)9/2 B)5 C)6 D)15/2 解析:连接 BE、CE 则四棱锥 E-ABCD 的体积 E F 1 VE-ABCD= ×3×3×2=6,又整个几何体大于部分的体积, 3 D C 所求几何体的体积 V 求> VE-ABCD,选(D) A B )

练习精选
1.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分 不必纳税,超过 800 元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分希累进计算。 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 ? 税率 5% 10% 15% ?

某人一月份应交纳此项税款 26.78 元,则他的当月工资、薪金所得介于( ) (A)800~900 元 (B)900~1200 元 (C)1200~1500 元 (D)1500~2800 元 2. 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 : “2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上年增长了 7.3%,如果“十。五”期间(2001 年-2005 年)每年的国内生产总 值都按此年增长率增长,那么到“十。五”来我国国内生产总值为( ) (A)115000 亿元 (B)120000 亿元 (C)127000 亿元 (D)135000 亿元 3.向高为 H 的水瓶中注水, 注满为止. 如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如右图所示, 那么水瓶的形状是( ) V (A) (B) (C) (D)

h O 4、若 ? , 是锐角,且 sin(? ? H

?
6

)?

1 ,则 cos? 的值是( ) 3

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A

2 6 ?1 6

B

2 6 ?1 6

C

2 3 ?1 4

D

2 3 ?1 4

练习精选答案:CCBB

8、直觉分析法
即在熟练掌握基础知识的基础上凭直觉判断出答案的方法。

例 16 若 sinα

+cosα =1/5,且 0≤α ≤≤π ,则 tgα 的值是????????(



A)-4/3 B sinα +cosα =1/5)-3/4 C)4/3 D)3/4 解析:由 sinα +cosα =1/5 知 sinα 与 cosα 异号,又由 0≤α ≤π 知 sinα >0,cosα <0,
4 3 sin ? 4 又由常见的勾股数知 sinα = ,cosα =- ,∴tgα = 。 ? ? ,故选(A) cos ? 3 5 5

当然有的题目不止用一种方法,需要几种方法同时使用;也有的题目有多种解法,这就 需要在实际解题过程中去分析总结。

例 17 复数-i 的一个立方根是 i,它的另外两个立方根是??????????(
A)



1 1 3 3 3 1 3 1 ± i B)± i C)± + i D)± - i 2 2 2 2 2 2 2 2 本题解法较多,如特征分析、直接求解、数形结合、逆推验证等;但相比较还是用特征分析

法求解较简单: 0 解析:复数 i 的一个辐角为 90 ,利用立方根的几何意义知,另两个立方根的辐角分别是 0 0 0 0 0 0 90 +120 与 90 +240 ,即 210 与 330 ,故虚部都小于 0,答案为(D) 。

9、排除筛选法
排除法即首先对某些选择项举出反例或否定后得到答案的解法。

例 18 已知两点 M(1,5/4) ,N(-4,-5/4) ,给出下列曲线方程:
x2 x2 ④ ? y 2 =1 ? y 2 =1 2 2 在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是????????????(

①4x+2y-1=0

②x +y =3

2

2





A)①③ B)②④ C)①②③ D)②③④ 解析:P 满足|MP|=|NP|即 P 是 MN 的中垂线上的点,P 点存在即中垂线与曲线有 交点。MN 的中垂线方程为 2x+y+3=0,与中垂线有交点的曲线才存在点 P 满足 |MP|=|NP|,直线 4x+2y-1=0 与 2x+y+3=0 平行,故排除(A) 、 (C) ,
?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 又由 ? x 2 。 ? △=0,有唯一交点 P 满足|MP|=|NP|,故选(D) ? y2 ? 1 ? ? 2

例 19 函数 y=tg( 1 x ? 1 ? )在一个周期内的图像是???????(
y
2y 3

) y
5? 6

y

-

? 3

2? O 3

x 5?
3

O

? 6

7? 6 2? 3

x

-

2? 3

4? 3 x ? 3

-

? O 6

? 3

x

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(A)

(B)

(C)

(D)

1 1 解析: 由函数 y=tg ( x? ? ) 的周期为 2π 可排除(B)、 (D) ; 由 x=π /3 时 y≠0 可排除 (C) ; 2 3

故选(A) 。

练习精选
1.如图,I 是全集,M、P、S 是 I 的 3 个子集,则阴影部分所 表示的集合是( ) P M S I

(A) (M ? P) ? S (C) (M ? P) ? S
1 2. 函数 y ? 1 ? ( x ?1
)

(B) (M ? P) ? S (D) (M ? P) ? S

(A)在(-1,+∞)内单调递增(B)在(-1,+∞)内单调递减 (C)在(1,+∞)内单调递增(D)在(1,+∞)内单调递减 3.过原点的直线与圆 (A) (B) 相切, 若切点在第三象限, 则该直线的方程是 ( ) (C) (D)

? 4.在复平面内, 把复数 3 ? 3i 对应的向量按顺时针方向旋转 , 所得向量对应的复数是( ) 3
(A) (B) 5.函数 y=–xcosx 的部分图象是( (C) ) (D)

练习精选答案:CCCBD

10、特征分析法
此方法应用的关键是:找准位置,选择特征,实现特殊到一般的转化。

例 20

在复平面内,把复数 3- 3 i 对应的向量按顺时针方向旋转π /3,所得向量对应的 )

复数是??????????????????????????????(

A)2 3 B)-2 3 i C) 3 -3i D)3+ 3 i 解析:∵复数 3- 3 i 的一个辐角为-π /6,对应的向量按顺时针方向旋转π /3, 所得向量对应的辐角为-π /2,此时复数应为纯虚数,对照各选择项,选(B) 。

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练习精选
1.若关于 x 的方程 1 ? x 2 =k(x-2)有两个不等实根,则实数 k 的范围是( ) (A) (?
3 3 , ) 3 3

(B) (? 3, 3)

(C) (?

3 , 0] 3

(D) (?

3 1 1 3 , ? ]?[ , ) 3 2 2 3

2.设 S 为半径等于 1 的圆内接三角形的面积,则 4S+ (A)

9 的最小值为( S



3 3 9 3 (B) 5 3 (C)7 3 (D) 4 4 2 2 3.若关于 x 的不等式|x-sin θ |+|x+cos θ |<k 的解集非空,则实数 k 的取值范围是(



(A)k≥1

(B)k>1

(C)0<k<1

(D)0<k≤1

1 4.若复数 z 满足|z+ |=1,则 z 的模的范围是( ) z

1? 5 1? 5 5 ?1 5 ? 1 1? 5 1? 5 1? 5 (A) ( , ) (B) ( , ) (C) [ , ] (D) [0, ] 2 2 2 2 2 2 2 5.把函数 y=cos2x+ 3 sin2x 的图象经过变换得到 y=2sin2x 的图象,这个变换是(



(A)向左平移 (C)向左平移

5? 个单位 12

(B)向右平移 (D)向右平移

5? 个单位 12

?
12

个单位

?
12

个单位

6.如图,半径为 2 的⊙M 切直线 AB 于 O 点,射线 OC 从 OA 出发绕 O 点顺时针方向旋转到 OB。旋转过程中,OC 交⊙M 于 P,记∠PMO 为 x, 弓形 PnO 的面积为 S=f(x),那么 f(x)的图象是

(A) 练习精选答案:CCBDDD

(B)

(C)

(D)

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