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2018数学高考二轮复习专题能力训练14空间中的平行与垂直


数学 专题能力训练 14 空间中的平行与垂直 一、能力突破训练 1.(2017 全国Ⅰ,文 6)如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱 的中点,则在这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( ) 答案: A 解析:易知选项 B 中 ,AB∥MQ, 且 MQ? 平面 MNQ,AB? 平面 MNQ, 则 AB∥平面 MNQ; 选项 C 中,AB∥MQ,且 MQ? 平面 MNQ,AB?平面 MNQ,则 AB∥平面 MNQ;选项 D 中,AB∥NQ,且 NQ? 平面 MNQ,AB?平面 MNQ,则 AB∥平面 MNQ,故排除选项 B,C,D.故选 A. 2.如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,沿 AE,AF,EF 把正方形折成一个四面体, 使 B,C,D 三点重合,重合后的点记为 P,点 P 在△AEF 内的射影为 O.则下列说法正确的是 ( ) A.O 是△AEF 的垂心 C.O 是△AEF 的外心 答案: A 解析:如图, B.O 是△AEF 的内心 D.O 是△AEF 的重心 易知 PA,PE,PF 两两垂直, ∴PA⊥平面 PEF, 从而 PA⊥EF, 而 PO⊥平面 AEF, 则 PO⊥EF, ∴EF⊥平面 PAO,∴EF⊥AO. 数学 同理可知 AE⊥FO,AF⊥EO, ∴O 为△AEF 的垂心. 3.已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,给出下列命题:①若 α ⊥β ,m∥α , 则 m⊥β ;② 若 m⊥α ,n⊥β , 且 m⊥n, 则 α ⊥β ;③ 若 m⊥β ,m∥α , 则 α ⊥β ;④ 若 m∥α ,n∥β ,且 m∥n,则 α ∥β . 其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.②③ C.②④ D.①③ 答案: B 解析: 当 α ⊥β ,m∥α 时 , 有 m⊥β ,m∥β ,m? β 等多种可能情况 , 所以 ① 不正确 ; 当 m⊥α ,n⊥β ,且 m⊥n 时,由面面垂直的判定定理知 α ⊥β ,所以②正确;因为 m⊥β ,m∥α , 所以 α ⊥β ,③正确;若 m∥α ,n∥β ,且 m∥n,则 α ∥β 或 α ,β 相交,④不正确.故选 B. 4. 平面 α 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,α ∥平面 CB1D1,α ∩平面 ABCD=m,α ∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 答案: A 解析: (方法一)∵α ∥平面 CB1D1,平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,α ∩平面 ABCD=m,平面 CB1D1∩平 面 A1B1C1D1=B1D1, ∴m∥B1D1. ∵α ∥ 平 面 CB1D1, 平 面 ABB1A1∥ 平 面 DCC1D1,α ∩ 平 面 ABB1A1=n, 平 面 CB1D1∩ 平 面 DCC1D1=CD1, ∴n∥CD1. ∴B1D1,CD1 所成的角等于 m,n 所成的角, 即∠B1D1C 等于 m,n 所成的角. ∵△B1D1C 为正三角形, ∴∠B1D1C=60°, ∴m,n 所成的角的正弦值为. (方法二)由题意画出图形如图,将正方体 ABCD-A1B1C1D1 平移, 补形为两个全等的正方体如图,易证平面 AEF∥平面 CB1D1,所以平面 AEF 即为平面 α ,m 即为 AE,n 即为 AF,所以 AE 与 AF 所成的角即为 m 与 n 所成的角. 因为△AEF 是正三角形,

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