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江苏省响水中学高中数学第二章《函数的表示法》导学案苏教版必修1课件


江苏省响水中学高中数学 第二章 《函数的表示法》 导学案 苏教版必 修1

1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法和列表法. 2.会求函数解析式,并正确画出函数的图象. 3.体会数形结合思想在理解函数中的作用.

下表是某天一昼夜温度变化情况: 时刻 0:00 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00 24:00 温度 -2 -5 4 9 8.5 3.5 -1 /℃

问题 1:上面是用什么方法表示时刻与温度这两个变量之间的函数关系的 ?你能用图象 法表示吗? 运用了列表法表示,图象法如下:

问题 2:函数常见的表示方法有几种?各是如何定义的?

问题 3:函数的图象法和列表法各有什么优缺点?

1

问题 4:如何画出函数的图象? 画函数图象的一般步骤为 、 点:



.在画图象时应注意以下几

(1)画函数图象时要首先关注函数的 ,即在定义域内作图; (2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象; (3)标出某些关键点,例如图象的 、 、与坐标轴的交点等.要分清这些 关键点是实心点还是空心点.

1.f( x)=|x-1|的图象是

.

2.已知函数 f(x)由下表给出,则 f(3)=

.
2 3 4

x 1 f(x) -3

-2

-4

-1

3.已知 f(x)=2x+3,且 f(m)=6,则 m 等于 . 4.已知 f(x)是一次函数,且满足 f(x+1)=2x+7,求 f(x)的解析式.

函数表示法的应用 (1) 等腰三角形的周长为 20, 底边长 y 是一腰长 x 的函数 , 则 y= 为

, 定义域

.
(2)已知函数 f(x)与 g(x)的对应关系分别如下表: x 1 2 3 4 f(x) 5 6 3 1

x

1

2

3

4
2

g(x) 2
则 g(f(3))=

0

7

3

.

简单函数图象的作法 画出下列函数的图象: (1)y=1+x(x∈Z); 2 (2)y=x -2x(x∈[0,3)); (3)y= ,x∈[2,+∞).

函数解析式的求法 (1)已知 f(x)是二次函数,其图象的顶点是(1,3),且过原点,求函数 f(x)的解析式. (2)已知 f(

+1)=x+2

,求函数 f(x)的解析式.

某种洗衣机洗涤衣服时,需经过进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程.假设进水时水 量匀速增加,清洗时水量不变.已知进水时间为 4 分钟,清洗时间为 12 分钟,排水时间为 2 分 钟,脱水时间为 2 分钟,洗衣机中的水量 y(升)与时间 x(分钟)之间的关系如下表所示: x 0 2 4 16 16.5 17 18 … y 0 20 40 40 29.5 20 2 … 试写出当 x∈[0,16]时,y 关于 x 的函数解析式,并画出图象.

画出下列函数的图象: (1)y= +1,x∈{1,2,3,4,5}; (2)y=x +2x,x∈[-2,2].
2

(1)已知 g(x-1)=2x+6,求 g(3). (2)一次函数的图象过点(0,-1),(1,1),求其解析式.

3

1.某电子公司 7 年来,生产 DVD 机总产量 C(万台,即前 t 年年产量的总和)与时间 t(年)的函 数关系如图,给出下列四种说法: ①前 3 年中,产量增长的速度越来越快; ②前 3 年中,产量增长的速度越来越慢; ③第 3 年后,这种产品停止生产; ④第 3 年后,年产量保持为 100 万台. 其中说法正确的是 . 2.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)= .

3.如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则

f(

)的值等于

.

4.某引水渠大堤的横断面是上底为 a=3 m 的梯形,已知梯形的高 x 随地势在 1 m 到 5 m 之间 变化,下底 b 与高 x 满足关系 b=a+4x,为了估计修建大堤所需土方量,需把横断面的面积表示 为堤高的函数,试写出这个函数的解析式,并求出堤高分别为 1.5 m,2 m 和 3 m 时大堤横断面 的面积.

(2012 年·安徽卷)下列函数中,不满足 ). ...f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| B.f (x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x 考题变式(我来改编):

4

第 2 课时 函数的表示法 知识 体系梳理 问题 2:数学表达式 图象 表格 问题 4:列表 描点 连线 (1)定义域 (3)顶点 端点 基础学习交流 1.② ∵f(x)=|x-1|= 当 x=1 时,f(1)=0,可排除①③.又当 x=-1 时,f(-1)=2,排除

④.
2.-4 由表可知,f(3)=-4. 3. 由已知得 2m+3=6,解得 m= .

4.解:设 f(x)=ax+b, 则 f(x+1)=a(x+1)+b=2x+7, 即 ax+a+b=2x+7,∴a=2,b=5, 故 f(x)=2x+5. 重点难点探究 探究一:【解析】(1)∵2x+y=20,∴y=20-2x. 又 y>0,∴20-2x>0,x<10. 由三角形边的性质得,2x>20-2x,即 x>5,

∴函数的定义域为{x|5<x<10}.
(2)g(f(3))=g(3)=7. 【答案】(1)20-2x (5,10) (2)7 【小结】求函数解析式时,应注明其定义域. 探究二:【解析】(1)函数的图象由无数个点组成,这些点都在直线 y=1+x 上,如图(1)所 示. (2)因为 0≤x< 3,所以函数的图象是抛物线 y=x -x 在 0≤ x<3 之间的一部分,如图(2)所
2

5

示. (3)当 x=2 时,y=1,其图象如图(3)所示.

【小结】对于函数图象要注意以下几点: (1)函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等. (2)画函数的图象时要注意函数的定义域. (3)用描点 法画函数的图象,在作图时要先找出关键“点”,再连线. (4)常见函数图象的 画法:①对于一次函数的图象 ,描出与坐标轴的交点 ,连线即可;② 对于二次函数的图象,描出与坐标轴的交点、顶点,连线即得. 探究三 : 【解析】 (1)∵ 图象的顶点是 (1,3),∴ 可设 f(x)=a(x-1) +3, 又 ∵ 图象过原 点,∴a+3=0,解得 a=-3,
2

∴f(x)=-3(x-1)2+3.
(2)(法一)∵x+2

=(

) +2

2

+1-1=(

+1)2-1,

∴f(

+1)=(
2

+1)2-1(

+1≥1).

即 f(x)=x -1(x≥1). (法二)令 t=

+1,则 x=(t-1)2,t≥1,代入原式,
2 2 2

有 f(t)=(t-1) +2(t-1)=t -2t+1+2t-2=t -1.

∴f(x)=x2-1(x≥1).
【小结】求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析 式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式. (2)换元法:已知函数 f[g(x)]的解析式求 f(x)的解析式可用换元法,即令 g(x)=t,反解 出 x,然后 代入 f[g(x)]中求出 f(t),从而求出 f(x). 思维拓展应用 应用一:

∵进水时水量匀速增加,故进水阶段为一条直线.
由直线过(0,0),(2,20),(4,40),得 y=10x,x∈[0,4];

6

在清洗阶段,y 不变,y=40,x∈(4,16].

∴解析式为 y=

图象如图所示.

应用二:(1)用列表法可将函数 y= +1,x∈[1,5],x∈Z 表示如下:

x y

1

2 2

3

4 3

5

图象如图 1 所示: (2)y=x +2x=(x+1) -1,x∈[-2,2],图象是抛物线 y=x +2x 在区间[-2,2]上的部分,如图 2 所示.
2 2 2

应用三:(1)(法一)令 x-1=t,则 x=t+1,

∴g(t)=g(x-1)=2(t+1)+6=2t+8, ∴g(x)=2x+8,∴g(3)=2×3+8=14.
(法二)令 x-1=3,则 x=4,∴g(3)=2×4+6=14. (2)设一次函数的解析式为 f(x)=kx+b(k≠0), 由题意知



∴解析式为 f(x)=2x-1.
基础智能检测 1.②③ 通过对图象的观察,0 到 3 年这一阶段,曲线的变化是由快到慢,由急到缓,对应产量 的情况则是增长的速度越来越慢.第 3 年后,是一条平行于 x 轴的直线,意味着总的产量没有 变化,所以可以说这种产品停止了生产. 2.2x-1 ∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,

∴g(x)=2x-1.
3.2 ∵f(3)=1,

=1,∴f(

)=f(1)=2.

4.解:设 y=f(x)表示大堤横断面的面积,根据题意和梯形的面积公式,得

7

y=f(x) =

=

=x(2x+3)=2x2+3x(x∈[1,5]).
据此可求得对应于堤高 分别为 1.5 m,2 m 和 3 m 时大堤横断面的面积,面积分别为 f(1.5)=9 m ,f(2)=14 m 和 f(3)=27 m . 全新视角拓展 C 满足 f(2x)=2f(x)说明函数式具有的特征是 f(x)=kx 或 f(x)=k|x|或两者的和差组 合,故只有 C 不符合此特征.也可以逐一检验选项的解析式是否满足 f(2x)=2f(x). 思维导图构建 列表 描点 连线
2 2 2

8


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