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2016年期末考试精彩试题解析(一)


2016 年全国各地高三年级期末考试

数学精彩试题集锦(一)
戴又发

最近各校高三年级期末考试陆续举行.这是高中阶段最后一次期末考试,相 信考生、学校及命题人都会高度重视,试题的质量也相对较高.正是因为这次期 末考试重要,不少学校采取多校联考,有些地区还组织了统一的质量检测.本人 将陆续从众多试卷中,选择具有一定难度的经典试题或有新意精彩试题,做详细 解析.希望能作为考生寒假休整期间参考材料. (题号为试卷中的题号)

12 函数 f ( x) ? 1 ? x ? 为 A.1

x 2 x3 x 4 x 2015 x 2016 ? ? ?? ? ? 在区间 [?2, 2] 上的零点个数 2 3 4 2015 2016

B.2

C.3

D.4

解析: 因为 f ?( x) ? 1 ? x ? x2 ? x3 ? ? ? x2014 ? x2015

? ( 1? x

) 2 ( ? x1

4

? x?

?

2

0 x?

1

4

)

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 .
f ( x) 在 x ? 1 时为单调增函数; f ( x) 在 x ? 1 时为单调减函数.

由 f (?2) ? 0 ,f (2) ? 0 ,f (1) ? 0 可知 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的零点个数为2, 故选B.

北京西城区 2016 年 1 月高三期末考试理科卷第 19 题(14 分) 19.已知椭圆 C:

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3 ,点 A(1, ) 在椭圆 C 上. 2 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点 O 为圆心的圆, 满足此圆与 l 相交两点 P1 , P2 (两点均不在坐标轴上) ,且使得直线 OP 1 , OP 2 的斜率之积为 定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.

(Ⅰ)由题意,得 ? 解析: 又因为点 A(1,

c a

3 , a 2 ? b2 ? c 2 , 2

3 ) 在椭圆 C 上, 2

给出两个条件,在再利 用条件 a 2 ? b2 ? c 2 求得 这 5 分容易。

所以 12 ? 32 ? 1 , a 4b 解得 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 4

(Ⅱ)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,

动直线,说明直线斜率(包含斜率不存在)截距都变; 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,说明只限于椭圆相 切. (判别式等于0) .

当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m, ? 由方程组 ? x 2 得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ? 1, ?4
因为直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点, 所以 ?1 ? (8km)2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m2 ? 4) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 1 .

圆心在原点的圆与 l 相交两点 P ,我们还需要 1, P 2 设圆的方程,并与直线方程联立.

假设存在符合条件的圆,并设此圆的方程为 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) . 由方程组 ?

? y ? kx ? m,
2 2 2 ?x ? y ? r ,

得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kmx ? m2 ? r 2 ? 0 ,

则 ?2 ? (2km)2 ? 4(k 2 ? 1)(m2 ? r 2 ) ? 0 . 设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

m2 ? r 2 ?2km , , x ? x ? 1 2 k2 ?1 k2 ?1

直线 OP 说明斜率的乘积与 1 , OP 2 的斜率之积为定值, 动直线的 k , m 无关.

设直线 OP 1 , OP 2 ,的斜率分别为 k1 , k2 ,于是有
k1k2 ? y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

?

k2 ?

m2 ? r 2 ?2km ? km ? 2 ? m2 m2 ? r 2 k 2 k2 ?1 k ?1 ? , 2 2 m ?r m2 ? r 2 k2 ?1
(4 ? r 2 )k 2 ? 1 . 4k 2 ? (1 ? r 2 )

将 m2 ? 4k 2 ? 1 代入上式,得 k1 ? k2 ? 要使得 k1k 2 为定值,则

4 ? r2 1 ,即 r 2 ? 5 ,验证符合题意. ? 4 1? r2
1 . 4

所以当圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 时,圆与 l 的交点 P 1, P 2 满足 k1 k 2 为定值 ? 别忘了:动直线斜率不存在时的情况.

当直线 l 的斜率不存在时,由题意知 l 的方程为 x ? ?2 ,
1 2 2 . 此时,圆 x ? y ? 5 与 l 的交点 P 1, P 2 也满足 k1k2 ? ? 4
2 2 综上,当圆的方程为 x ? y ? 5 时,圆与 l 的交点 P 1, P 2 满足斜率之积 k1 k 2 为定值 ?

1 . 4

北京朝阳区 2016 年 1 月高三期末考试理科卷第 19 题(14 分)

19.已知圆 O : x ? y ? 1的切线 l 与椭圆 C : x ? 3 y ? 4 相交于 A, B 两点.
2 2 2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)求证: OA ? OB ; (Ⅲ)求 ?OAB 面积的最大值.

2 2 解析: (Ⅰ)由题意可知 a ? 4 , b ?

4 , 3

所以 c ? a ? b ?
2 2 2

8 . 3
记住椭圆的标准方程和 离心率公式即可。

所以 e ?

c 6 . ? a 3 6 . 3
2 2

所以椭圆 C 的离心率为
2 2

(Ⅱ)圆 O : x ? y ? 1的切线 l 与椭圆 C : x ? 3 y ? 4 相交于 A, B 两点

先看看斜率不存在的情况. 若切线 l 的斜率不存在,则 l : x ? ?1 . 在

x2 3 y 2 ? ? 1 中令 x ? 1 得 y ? ?1 . 4 4
不妨设 A(1,1), B(1, ?1) ,则 OA ? OB ? 1 ? 1 ? 0 .所以 OA ? OB .

??? ? ??? ?

同理,当 l : x ? ?1 时,也有 OA ? OB . 再讨论斜率存在的情况.设直线方程. 与圆的方程联立,因为相切,判别式为 0; 与椭圆的方程联立,得 A,B 坐标的关系.

当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ? m .

由方程组 ?

? y ? kx ? m, ? x ? y ? 1,
2 2

得 (k 2 ? 1) x2 ? 2kmx ? m2 ? 1 ? 0 ,
2 2

则 ?1 ? (2km)2 ? 4(k 2 ? 1)(m2 ? 1) ? 0 .即 k ? 1 ? m .

也可以更直接 依题意

m k ?1
2

? 1 ,即 k 2 ? 1 ? m2 .

由?

? y ? kx ? m 2 2 2 ,得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 4 ? 0 . 2 2 x ? 3 y ? 4 ?

显然 ?2 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

6km 3m2 ? 4 , . x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

OA ? OB 正是直线 OA, OB 斜率之积为-1

也可以用向量 OA, OB 的数量积为 0. 所以 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 . 所以 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

3m2 ? 4 6km ? (k ? 1) 2 ? km 2 ? m2 3k ? 1 3k ? 1
2

?

(k 2 ? 1)(3m2 ? 4) ? 6k 2 m2 ? (3k 2 ? 1)m2 3k 2 ? 1

?

4m 2 ? 4k 2 ? 4 3k 2 ? 1 4(k 2 ? 1) ? 4k 2 ? 4 ?0. 3k 2 ? 1
所以 OA ? OB .

?

综上所述,总有 OA ? OB 成立.

第(Ⅲ)题求面积的最值,需要弦长公式, 面积公式和利用不等式求最值.

(Ⅲ)因为直线 AB 与圆 O 相切,则圆 O 半径即为 ?OAB 的高, 当 l 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 AB ? 2 .则 S?OAB ? 1 . 当 l 的斜率存在时,由(Ⅱ)可知,

AB ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 1 ? k 2 ? (

6km 2 3m2 ? 4 ) ? 4? 2 3k 2 ? 1 3k ? 1

?

2 1? k 2 ? 9k 2 m2 ? (3m2 ? 4)(3k 2 ? 1) 2 3k ? 1 2 1? k 2 2 1? k 2 2 1? k 2 2 2 2 2 ? 12 k ? 3 m ? 4 ? ? 12 k ? 3( k ? 1) ? 4 ? ? 9k 2 ? 1 . 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 AB ?
2

?

4(1 ? k 2 )(9k 2 ? 1) 4(9k 4 ? 10k 2 ? 1) 4k 2 ? ? 4(1 ? ) (3k 2 ? 1)2 9k 4 ? 6k 2 ? 1 9k 4 ? 6k 2 ? 1
k2 16 4 16 3 ? 4? ? 4 ? ? (当且仅当 k ? ? 时,等号成 4 2 1 9k ? 6k ? 1 3 3 3 2 9k ? 2 ? 6 k

? 4 ? 16 ?

立) . 所以 AB ?

4 3 2 3 .此时, (S?OAB ) max ? . 3 3 3 2 3 时, ?OAB 面积的最大值为 . 3 3

综上所述,当且仅当 k ? ?

黑龙江某校卷最后一道选择题 12. 已 知 函 数 f ( x)? x? l n x? k ,在区间 [

1 ,e ]上 任 取 三 个 数 a, b, c 均 存 在 以 e

k 的取值范围是() f ( a) , f (b ) , f 为边长的三角形,则 ( c )
A. (?1, ??) B. (??, ?1) C. (??, e ? 3) D. (e ? 3, ??)

解析: 由 f ?( x) ? 1 ?

1 1 ? 0 得 x ? 1 ? [ , e] , x e

且 f ( x)min ? f (1) ? 1 ? k ,由题意,有

1? k ? 0 ? ,所以 k ? e ? 3 .选D. ? ?2(1 ? k ) ? f (e) ? e ? 1 ? k

黑龙江某校卷最后一道填空题 16. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 c ? 2, b ? 最大值为.

2a ,则 ?ABC 的面积

解析:因为 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 3a 2 ? 4 ? 2ab 2 2a 2
2

? 3a 2 ? 4 ? sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? ? 2 ? ? 2 2a ?
2 2

?

?a 4 ? 24a 2 ? 16 . 8a 4
2

记 ?ABC 的面积为 S ,则 S ?

1 ? ab ? sin 2 C 4

?

?a 4 ? 24a 2 ? 16 ?(a 2 ? 12)2 ? 122 ? 16 ? 16 16
2

122 ? 16 ?8. 当 a ? 12 时,即 a ? 2 3 时, S ? 16
2

Smax ? 2 2 ,故填 2 2 .

浙江某校卷最后一道填空题 15.已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c , a, b, c ? R ,且 a ? 0 .记 M (a, b, c) 为 f ( x) 在 ? 0,1? 上的 最大值,则
a ? b ? 2c 的最大值是__. M (a, b, c)

解析:?

a ? b ? 2c f (1) ? f (0) ? , M (a, b, c) M (a, b, c)

又 M (a, b, c) 为 f ( x) 在 ? 0,1? 上的最大值,
? M (a, b, c) ? 0 ,要使

a ? b ? 2c 最大,必有 f (1) ? f (0) ? 0 , M (a, b, c)

而 M (a, b, c) ? f (1) , M (a, b, c) ? f (0) ,
1 1 1 1 ? , ? M (a, b, c) f (1) M (a, b, c) f (0)

所以只有当 f (1) ? f (0) ? 0 时, M (a, b, c) ? f (1) , 此时
a ? b ? 2c 2 f (1) ? ? 2 ,所以最大值是 2. M (a, b, c) f (1)

浙江某校卷最后一道选择题 8.已知函数 f ( x) ? 2?
a? x?
k

(a ? R ) ,且 f (1) ? f (3) , f (2) ? f (3) .
B. 若 k ? 1 ,则 a ? 1 ? a ? 2 D. 若 k ? 2 ,则 a ? 1 ? a ? 2

A. 若 k ? 1 ,则 a ? 1 ? a ? 2 C. 若 k ? 2 ,则 a ? 1 ? a ? 2

解析:因为 f (1) ? f (3) , f (2) ? f (3) .
所以 2( a ?1) ? 2( a ?3) , 2( a ? 2) ? 2( a ?3) ,
k k k k

即 (a ? 1) k ? (a ? 3)k , (a ? 2)k ? (a ? 3)k , 若 k ? 1 ,则上是不可能成立,故排除A,B选项; 若 k ? 2 ,则由 (a ? 1) 2 ? (a ? 3)2 , (a ? 2)2 ? (a ? 3) 2 , 可知
a ? 1 ? a ? 3 , a ? 2 ? a ? 3 ,此时 a ?

5 . 2

于是有 a ? 1 ? a ? 2 ,故选D.

贵州某校卷(新课标 1 适用)

10. 已知函数 f ( x) ?
(0,1) 内,则

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c 的两个极值点分别位于区间 (?1,0) 与 3 2

b ?1 的取值范围是 2a ? 1 1 2 A. (?? ,?1) ? ( ,?? ) B. (?? ,?2) ? ( ,?? ) 3 3

2 C. ( ?2, ) 3

1 D. ( ?1, ) 3

解析:由方程 f ?( x) ? x 2 ? ax ? 2b ? 0 的两根分别位于区间 (?1,0) 与 (0,1) 内,
? f ?( ?1) ? 0 ? 得 ? f ?(0) ? 0 , ? f ?(1) ? 0 ? ?1 ? a ? 2b ? 0 ? 即 ? 2b ? 0 , ?1 ? a ? 2b ? 0 ?

在坐标系 aOb 内,得其区域如图所示
1 b P

O -1 1 a

b ?1 1 b ?1 1 1 其几何意义为点 ( a, b) 与点 P ( ,1) 连线斜率的 , ? ? 1 2 2 2a ? 1 2 a? 2 b ?1 1 所以 的取值范围是 (?? ,?1) ? ( ,?? ) ,选 A. 2a ? 1 3

贵州某校卷(新课标 1 适用)

11.已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,点 P( x0 , y0 ) 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上,若圆 O 上存在点
Q ,使 ?OPQ ? 30 0 ,则 x0 的取值范围是

A. [?2,0]

B. [?1,2]

C. [0, 2 ]

D. [?1, 3 ]

解析:方法一 由题意可得,点 P( x0 , y0 ) 与圆心的距离不得大于 2,故选 A.

方法二 由作图可得, x0 的取值范围是以 ? 1 为对称中心的区间,故选 A.

贵州某校卷(新课标 1 适用)

12. 函数 f ( x) 的定义域为 D ,若满足: ① f ( x) 在 D 内是单调函数; ②存在
[m, n] ? D ,使 f ( x) 在 [m, n] 的值域为 [2m,2n] ,那么就称函数 f ( x) 为“域倍函

数” .若 f ( x) ? ln(e x ? 6x ? t ) 是“域倍函数” ,则实数 t 的取值范围是
3 3 A. (? ? 6 ln ,2 ? 6 ln 2) 4 2 3 3 C. (? ? 6 ln ,6 ln 2 ? 2) 4 2

B. (2 ? 6 ln 2,??) D. (??,6 ln 2 ? 2)

解析:先看 f ( x) 的定义域, e x ? 6 x ? t ? 0 , 所以 f ?( x) ?
ex ? 6 ? 0 , f ( x) 单调增函数. e x ? 6x ? t

由 f (m) ? 2m , ln(e m ? 6m ? t ) ? 2m , e 2m ? e m ? 6m ? t , t ? e 2m ? e m ? 6m 令 g ( x) ? e 2 x ? e x ? 6x , g ?( x) ? 2e 2 x ? e x ? 6 ? 0
3 e x ? ? (舍去)或 e x ? 2 , 2

t ? g ( x) min ? g (ln 2) ? 4 ? 2 ? 6 ln 2 ? 2 ? 6 ln 2 .
所以 t 的取值范围是 (2 ? 6 ln 2,??) ,故选B.

重庆某校卷(新课标 1 适用)

M 为边 AC 的中点, D, E 满足 CD ? ?CB, ME ? ? MD , 11. 设正 ?ABC 的面积为 1,

且 ? ? 2? ? 1,则 ?AME 的面积 S ? f (? , ? ) 的最大值为 A.
1 18

B.

1 16

C.

1 8

D.

1 4

解析:? S ?ADC ? ? , S ?MDC ? 又? S ?AME ? ?S ?ADM ?

? , 2

? S ?A

D

?M? ?

? ? ? , 2 2

?? , 2
(

? ? 2? 2 ) ?? ? ? 2? 1 2 ? S ? f (? , ? ) ? ? ? ? . 2 4 4 16
当 ? ? 2? ?

1 时,等号成立.故选 B. 2

12 . 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 0 , 且 当 x ? [0,2] 时 ,

? ? f ( x) ? 2 s i n x ,记 sgn( x ) ? ? 0, x ? 0 ,则函数 y ? f ( x) ? sgn(log2 (sgn(x))) 的零点 2 ?
?? x, x ? 0
个数为 A.3 B.4 C.6 D.8

? x, x ? 0

解析:由周期为 2 的函数 f ( x) 的定义,得其图象如下图. 显然 sgn(x) ? x , sgn(log 2 (sgn( x))) ? log 2 x 其图象如下图(红色) .
y 2

-6

-4

-2



2

4

6

x

函数 y ? f ( x) ? sgn(log2 (sgn(x))) 的零点, 即函数 f ( x) 与函数 sgn(log2 (sgn(x))) 图象 的交点的横坐标.故选D.

8.设函数 f ( x) 的定义域 D ,如果存在正实数 m ,使得对任意 x ? D ,都有
f ( x ? m) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 D 上的“ m 型增函数” .已知函数 f ( x) 是定义在 R

上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? a ? a ( a ? R ) .若 f ( x) 为 R 上的“20 型 增函数” ,则实数 a 的取值范围是 A. a ? 0 B. a ? 5 C. a ? 10 D. a ? 20

解析: 作函数的图像分析, 由 f ( x ? 20) ? f ( x) ,得 4 a ? 20 ,所以 a ? 5 ,选B.

??? ? ??? ? ??? ? 14 . 已 知 点 O 在 ?ABC 的 内 部 , 且 有 xOA ? yOB ? zOC ? 0 , 记

?AOB, ?BOC, ?AOC 的面积分别为 S?AOB , S?BOC , S?AOC .

若 x ? y ? z ? 1,则 S?AOB : S?BOC : S?AOC ? ; 若 x ? 2, y ? 3, z ? 4 ,则 S?AOB : S?BOC : S?AOC ? .

??? ? ??? ? ??? ? 解析:若 x ? y ? z ? 1,即 OA ? OB ? OC ? 0 ,则 O 为 ?ABC 的重心
S?AOB : S?BOC : S?AOC ? 1:1:1 ;

??? ? ??? ? ??? ? 若 x ? 2, y ? 3, z ? 4 ,即 2OA ? 3OB ? 4OC ? 0 ,

则 S?AOB : S?BOC : S?AOC ?

1 1 1 : : ? 4:2:3 . 6 12 8

?e x ? a ( x ? 1), 14.设函数 f ( x) ? ? 其中 a ? ?1 . ln( x ? a )( x ? 1). ?

①当 a ? 0 时,若 f ( x) ? 0 ,则 x ? __________; ②若 f ( x) 在 (-?, ??) 上是单调递增函数,则 a 的取值范围________.

?e x , ( x ? 1), 解析: ①当 a ? 0 时, f ( x) ? ? ?ln x, ( x ? 1).

由 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,应填1; ② f ( x) 在 (-?, ??) 上是单调递增函数,只需 e ? a ? ln(1 ? a) , 即 a ? e ? 1 ,所以应填 [e ? 1, ??) .

2016 年 1 月 25 日星期一 【待续】


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