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2016-2017苏教版高中数学必修4检测:第2章2.2-2.2.3向量的数乘 Word版含解析

第2章 2.2 平面向量 向量的线性运算 向量的数乘 基础巩固 ) 2.2.3 A级 1.4(a-b)-3(a+b)-b 等于( A.a-2b C.a-6b B.a D.a-8b 解析:原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b. 答案:D 2. 设 a 是非零向量, λ 是非零实数,则以下结论正确的有( (1)a 与-λ a 的方向相反; (2)|-λ a|≥|a|; (3)a 与 λ2a 方向相同; (4)|-2λ a|=2|λ|· |a|. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 ) 解析:由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确. 答案:B → 3.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA → → +OB+OC=0.则( → → A.AO=2OD ) → → B.AO=OD 1 → → C.AO=3OD → D.2AO=OD → → → 解析:因为 D 为 BC 的中点,且 2OA+OB+OC=0, → → → 所以OB+OC=2OD. → → → → → → 所以 2OA+2OD=0.则OA+OD=0,因此AO=OD. 答案:B ? 1?1 4.化简 ?2(2a+8b)-(4a-2b)?的结果是( 3? ? ) A.2a-b C.b-a B.2b-a D.a-b 1 1 解析:原式= (a+4b-4a+2b)= (6b-3a)=2b-a. 3 3 答案:B → 1→ → → 5.设四边形 ABCD 中,有DC= AB且|AD|=|BC|,则这个四边 2 形是( ) B.矩形 D.菱形 A.平行四边形 C.等腰梯形 → 1→ 解析:因为DC= AB,所以 AB∥DC 且 AB≠DC. 2 → → 所以四边形 ABCD 是梯形.又|AD|=|BC|, 所以四边形 ABCD 是等腰梯形. 答案:C 3 6.已知|a|= |b|,b 与 a 的方向相反,若 a=λb,则 λ=________. 5 2 3 解析:因为|a|= |b|,b 与 a 的方向相反, 5 3 3 所以 a=- b.所以 λ=- . 5 5 答案:- 3 5 7.(2015· 课标全国Ⅱ卷)设向量 a,b 不平行,向量 λ a+b 与 a +2b 平行,则实数 λ=________. 解析:因为 λ a+b 与 a+2b 平行, 所以 λ a+b=t(a+2b),即 λ a+b=t a+2t b. 1 ? ?λ=2, ?λ=t, 所以? 解得? 1 1 = 2 t . ? ? t = ? 2. 答案: 1 2 ? 1 ? 1 8.若 2?y-3a?- (c+b-3y)+b=0,其中 a,b,c 为已知向量, ? ? 2 则未知向量 y=__________________. ? 1 ? 1 2 1 1 3 解析:由 2?y-3a?- (c+b-3y)+b=0,得 2y- a- c- b+ y 3 2 2 2 ? ? 2 7 2 1 1 +b=0,即 y- a- c+ b=0, 2 3 2 2 4 1 1 所以 y= a- b+ c. 21 7 7 答案: 4 1 1 a- b+ c 21 7 7 → → 9.已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线,如果AB=2e1+3e2,BC= 3 → 6e1+23e2,CD=4e1-8e2,求证:A,B,D 三点共线. → → 证明:因为BC=6e1+23e2,CD=4e1-8e2, → → → 所以BD=BC+CD=(6e1+23e2)+(4e1-8e2)=10e1+15e2. → → → 又因为AB=2e1+3e2,所以BD=5AB. → → 所以AB,BD共线,且有公共点 B. 所以 A,B,D 三点共线. B级 能力提升 → → → 10.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m → → → 使得AB+AC=mAM成立,则 m=( A.2 B.3 C.4 ) D.5 → → → 解析:因为MA+MB+MC=0, → → → → → 所以MA+MA+AB+MA+AC=0. → → → → → 从而有AB+AC=-3MA=3AM=mAM,故有 m=3. 答案:B 11.已知|a|=6,b 与 a 的方向相反,且|b|=3,a=m b,则实数 m=________. |a | 6 解析: = =2,所以|a|=2|b|. |b | 3 又 a 与 b 的方向相反,所以 a=-2b.所以 m=-2. 4 答案:-2 → → 12. 已知非零向量 e1, e2 不共线, 且AB=e1+e2, BC=ke1+ 8e2, → CD=3(e1-e2).若 A,B,D 三点共线,试确定实数 k 的值. → → → 解:因为BD=BC+CD=ke1+8e2+3(e1-e2)=(k+3)e1+5e2,又 A,B,D 三点共线, → → 所以存在唯一实数 λ,使得AB=λBD, 即 e1+e2=λ[(k+3)e1+5e2], 即[λ(k+3)-1]e1=(1-5λ)e2. ?λ(k+3)-1=0, 又 e1,e2 不共线,所以? ?1-5λ=0. ? ?k=2, 则? 1 所以 k=2. ?λ=5. ? → 13.已知 e,f 为两个不共线的向量,且四边形 ABCD 满足AB= → → e+2f,BC=-4e-f,CD=-5e-3f. → (1)将AD用 e,f 表示; (2)求证:四边形 ABCD 为梯形. (1)解:根据向量的线性运算法则, → → → → 有AD=AB+BC+CD=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4 5 -5)e+(2-1-3)f=-8e-2f. → → (2)证明:因为AD=-8e-2f=2(-4e-f)=2BC, → → → → 所以AD与BC同向,且AD的长度为BC长度的 2 倍. 所以在四边形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD

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