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圆的切线性质判定定理


一 问题的引入



O



O



O

相交

相切

相离

? ?

直线和圆有哪几种位置关系?

直线和圆有唯一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线 叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.

观察与思考

问题1:下雨天,转动的雨伞上的水滴是 顺着伞的什么方向飞出去的?

动手做一做

? 画一个圆O及半径OA,画一条直线L经过⊙O的半径OA 的外端点A,且垂直于这条半径OA,这条直线与圆有 几个交点?


O

A



l

思考:

直线l一定是圆O的切线吗? 由此,你知道如何画圆的切线吗?

圆的切线判定定理
一、圆的切线: 1、判定:经过半径的外端且垂直于这条 半径的直线是圆的切线。

条件:

(1)经过圆上的一点; (2)垂直于该点半径;



O

A



l

∵l⊥OA,且l 经过⊙O上的A点 ∴直线l是⊙O的切线

圆的切线性质定理
如果直线l是⊙O的切线,点A为 思考: 切点,那么半径OA与l垂直吗? ∵直线l是⊙O的切线 ∴圆心O到直线l 的距离等于半径 ∴OA是圆心O到直线L的距离 ∴ l⊥OA


O

A



l

2、性质:圆的切线垂直于经过切点的半径。

(二)切线的判定定理: 经过半径的外端 并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.
例1已知:等腰三角形OAB 的底边AB经过⊙O上一 点C,且C为AB中点

求证:AB是⊙O的切线
A

O

C

B

例2
已知:P为⊙O外一 点,以OP为直径作 圆交⊙O于A、B两 点,连接PA、PB


A O P



B

那么PA、PB是⊙O 的切线吗?

例1、如右图所示,已知直线AB经过⊙O上的点A, 且AB=OA,∠OBA=45°,直线AB是⊙O的切线 吗?为什么?
解:直线AB是⊙O的切线 。理由如下: 在圆O 中 ∵因为AB=OA,∠OBA=45°(已知 ∴∠AOB=∠OBA=45°(等边对等角) 又∵∠OAB+∠OBA+∠AOB = 180° ∴∠OAB=180°-∠OBA-∠AOB=90° ∴ 直线AB⊥OA 又∵直线AB经过⊙O 上的A点 ∴直线AB是⊙O的切线
A B )
O ●

例2.如图,AB是⊙O的直径,∠B=45°,AC=AB。 AC是⊙O的切线吗?为什么?

解:AC是⊙O的切线 。理由如下: ∵ AC=AB , ∠B=45°(已知) ∴∠C=∠B=45°(等边对等角
)

B
O ●

又∵∠BAC+∠B+∠C = 180°
∴∠ BAC = 180°-∠B-∠C=90°
A

C

∴ 直线AC⊥AB 又∵直线AC经过⊙O 上的A点
∴直线AC是⊙O的切线

1、判断题:
(1) 垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的 切线。 × (2) 过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的 切线 。×

2、以三角形的一边为直径的圆恰好与另

直角 三角 一边相切,则此三角形是__________


1已知OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是 OA上任意一点,BP的延长线交 ⊙O 于Q,过 Q作 ⊙O的切线交 OA的延长线于R.求证:RP=RQ
证明:连结OQ.
∵RQ是⊙O的切线 ∴∠OQR=900 即 ∠RQP +∠OQ B=900, ∵OA⊥OB, ∴ ∠ B +∠BPO =900 而∠RPQ =∠BPO ∴ ∠RPQ +∠ B=900, ∵OQ=OB, ∴∠ B =∠OQB ∴ ∠RPQ =∠RQP ∴RP=RQ

B P

O

A

R

Q

2已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点 为B,OC平行于弦AD.求证:DC是⊙O的切线.
证明:连结OD. ∵OA=OD,∴∠1=∠2, ∵AD∥OC,∴∠1=∠3, ∠2=∠4 ∴∠3=∠4.
C

? ∵OD=OB,OC=OC, ? ∴△ODC≌△OBC. ? ∴∠ODC=∠OBC.
∵BC是⊙O的切线, ∴∠OBC=90°.
∴∠ODC=90°. ∴DC是⊙O的切线.

D 2 4 A1 3 O B

7、如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过C点的切线互相垂直,垂足为D, 求证:AC平分∠DAB。
D C A D C

A

O
(7)

B

O
(8)

B

8、如图,AB为⊙O的直径,BC是⊙O的切线, 切点为B,OC平行于弦AD,求证:CD是⊙O 的切线。

练习与巩固: 1、如图,A、B是⊙O上的两点,AC是⊙O的切线, ∠B=70°,则∠BAC等于( ) A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°
O B A
(1)

A E
C

O B
(3)

B

D
(2)

C

A

2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC 相切于点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___ _度.

3、如图,在△OAB中,OB:AB=3:2 , 0B=6,⊙O与 AB相切于点A, 则⊙O的直径为 。

4、如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且 ∠APB=50°,点C是优弧上的一点,则∠ACB=___.
A
A

C

C

O B
(4)

P

O

B

P

(5)

5、如图,⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°,过C 点的切线PC与AB的延长线交于P,PC=5,则⊙O的 半径为( )
A.
5 3 3

B.

5 3 6

C. 10

D. 5

辅助线的作法:作过切点的半径

6、在△ABC中,AB=2,以A为圆心,1为半径的圆 与边BC相切于点D ,则BD的长为 。
变式一:在△ABC中,AB=2,AC= 半径的圆与边BC相切 ,则BC的长为 ,以A为圆心,1为 。

变式二:如图,点A是圆O外一点,OA=4,AB与圆相切于点 B,且AB=2 ,弦BC∥OA,则BC的长为 。

A

A C

O

A B

B

D

C B

C

2、如图,AB为⊙O的直径,BC切⊙O于点B, AC交⊙O于P,CE=BE,E在BC上. 求证:PE 是⊙O的切线.
A
P O

B

E

C

小结:
1、如何判定一条直线是已知圆的切线?
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;

(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线; (d=r) (3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线; A 、经过圆上的一点; B、 垂直于半径;

2、圆的切线有什么性质?
圆的切线垂直于经过切点的半径。


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