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01第1讲集合及其运算


第1讲

集合及其运算

第1讲 │ 考纲要求 考纲要求
1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义,元素与集合的属于关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法) 描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子 集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.

第1讲 │ 考纲要求

3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单 集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给 定子集的补集. (3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系和运算.

第1讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.元素与集合

元素 (1)一般地,我们把研究对象统称为______,把一些元素 集合 组成的总体叫做______(简称为集). 确定性 互异性 (2)集合中的元素有三个性质:________,________, 无序性 ________. 属于 不属于 (3)集合中元素与集合的关系分为______和________两 ∈ ? 种,分别用____和____表示.

第1讲 │ 知识梳理
(4)几个常用集合的表示法 数集 自然数 正整数 集 集 整数集 有理数 集 实数集

N*或N Q R 表示法 ______ ______+ ______ ______ ______ N Z 列举法 描述法 (5)集合有三种表示法:________,________, Venn图法 ________.

第1讲 │ 知识梳理
2.集合间的基本关系
关系 表示 相等 集合间的 基本关系 子集 文字语言 符号语言

真子集

空集

集合A与集合B中的所 A?B且B?A __________?A=B 相同 有元素都________ A中任一元素均为B中 A? B或B? A 的元素 A中任一元素均为B中 的元素,且B中 A B或B A 至少 ________有一个元素 不是A中的元素 空集是任何集合的 子集 ________,是任何非 ?? A,? B(B≠?) 真子集 空集合的________

第1讲 │ 知识梳理
3.集合的基本运算

?UA

x ∈A 或x ∈B

x ∈A 且x ∈B

x∈U 且x?A

第1讲 │ 知识梳理
4.常见结论 2n (1)若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集有____个, 2n-1 真子集有______个. B∪A A A (2)并集:A∪B=______,A∪A=____,A∪?=____, ? A∪B____A,A∪B=B?A? B.
B∩A A ? (3)交集:A∩B=______,A∩A=____,A∩?=____, ? A∩B____A,A∩B=A?A? B. ? U (4)补集:A∩(?UA)=____,A∪(?UA)=____.
(?UA)∪(? (5)?U(A∪B)=________,?U(A∩B)=________. UB ) (?UA)∩(?UB)

第1讲 │ 问题思考 问题思考
? 问题1 集合的含义 (1)A={x|y=x2+2x+1};B={y|y=x2+2x+1};C= {(x,y)|y=x2+2x+1},则A=B=C.( ) (2){x|x2-ax-1=0}与{a|方程x2-ax-1=0有实根}意义 相同.( )

第1讲 │ 问题思考

[答案] (1)错;(2)错.

[解析] (1)区分集合中元素的形式: 是定义域, 是值域, A B C 是点集. (2){x|x2-ax-1=0}表示由二次方程 x2-ax-1=0 的解构 成的集合,而集合{a|方程 x2-ax-1=0 有实根}表示方程 x2- ax-1=0 有实数解时参数 a 的范围构成的集合.

第1讲 │ 问题思考

?

问题2

子集 )

(1)A? B时,A有两种情况:A=?与A≠?.( (2)若A? B,B? C,则A? C.( )

第1讲 │ 问题思考

[答案] (1)错;(2)对.
[解析] (1)当 A? B 时,如果 B≠?,则集合 A 可以等于空 集也可以不等于空集,若集合 B=?时,集合 A 只能等于空集. (2)根据子集的定义,子集关系具有传递性.

第1讲 │ 问题思考

? 问题3 集合的运算 (1)A∩B=A∪B的充要条件是A=B.( (2)A∩B=?的充要条件是A=B=?.(

) )

第1讲 │ 问题思考

[答案] (1)对;(2)错.

[解析] (1)根据韦恩图分析可知. (2)A∩B=?时,只要集合 A,B 没有公共元素即可,不一 定是 A=B=?.

第1讲 │ 问题思考

? 问题4 元素、集合的关系 (1)a {a}.( ) (2)?∈{?}.( ) (3){(1,2)}? {1,2}.( )

第1讲 │ 问题思考

[答案] (1)错;(2)对;(3)错.
[解析] (1)元素与集合的关系,只能是属于与不属于; (2){?}是以?为元素的集合,故?∈{?};(3){(1,2)}是以(1,2) 为元素的集合,{1,2}是以1,2为元素的集合,故{(1,2)} {1,2}.

第1讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 集合概念的理解

例 1 (1)[2011· 福建卷] i 是虚数单位,若集合 S={-1, 0,1},则( ) A.i∈S B.i2∈S 2 3 C.i ∈S D. ∈S i (2)已知 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若 1∈A,则实 数 a 构成的集合 B 的元素个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

第1讲 │ 要点探究
[思路] (1)把各个选项中的复数求出,根据元素与集合的关 系进行判断;(2)由题意可知,集合 A 中的三个元素中必有一个 为 1,由此列出关于 a 的方程后求解,最后对结果进行检验.

[答案] (1)B

(2)B

[解析] (1)由 i2=-1,而-1∈S,故选 B. (2)若 1=a+2,则 a=-1.∵此时 a2+3a+3=1=a+2,∴a =-1 不合题意.若 1=(a+1)2,则 a=0 或 a=-2.当 a=0 时, A={2,1,3}.当 a=-2 时不合题意,∴a=0 适合.若 1=a2+3a +3,则 a=-1 或 a=-2,由上面结论可知,此时没有 a 符合题 意.∴满足条件的 a 的值为 0.

第1讲 │ 要点探究

[点评] (1)复数的运算与集合的概念相结合的综合性题目, 较容易,避免马虎造成的错误; (2)关于集合的概念求字母参数问题,通常的解法步骤:① 对集合中元素的合理搭配; ②列出方程组求出字母参数的值; ③ 检验所求的参数值是不是满足集合元素的互异性以及符合题意.

第1讲 │ 要点探究

变式题 (1)下列结论不正确的是( A. 2∈{x|x=a+b 2,a,b∈Z} B. 3∈{x|x= 2+a 3,a∈R} C.i∈{x|x=a+bi,a,b∈C}

)

D.1+i?{x|x=a+bi,a,b∈C} (2)定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设 A ={1,2},B={0,2},则集合 A*B 的所有元素之和为( ) A.0 B.2 C.3 D.6

第1讲 │ 要点探究
[答案] (1)D (2)D

[解析] (1)令 a=0,b=1,则 a+b 2= 2,故 2∈{x|x 3- 2 =a+b 2,a,b∈Z};令 a= ,则 2+a 3= 3, 3 故 3∈{x|x= 2+a 3,a∈R};令 a=0,b=1,则 a+bi =i,故 i∈{x|x=a+bi,a,b∈C};令 a=1,b=1,则 a +bi=1+i,故 1+i∈{x|x=a+bi,a,b∈C}.故不正确的 是 D. (2)根据指定的法则,集合 A*B 中的元素是由 A,B 中 的元素的乘积组成的集合, 根据集合元素的无序性, A*B 得 ={0,2,4},故集合 A*B 中所有元素之和为 6.正确选项为 D.

第1讲 │ 要点探究
? 探究点2 集合间的基本关系的认识
? ?

例 2 (1)[2010· 浙江卷] 设 P={ x?x<4},Q={ x?x2<4},则 ? ? ( ) A.P? Q B.Q? P C.P? (?RQ) D.Q? (?RP) (2)若集合 A={1,a,b},B={a,a2,ab},且 A=B,则 实数 a 的取值集合是________.

[答案] (1)B

(2){-1}

第1讲 │ 要点探究

[解析] (1)集合 Q={x|-2<x<2},所以 Q?P.正确选项为 B. (2)方法
?1=ab, ? ? ?b=a2, ? ?1=a2, ? 2 1:∵A=B,∴{1,b}={a ,ab},所以? ?b=ab ? ?a=1, ? 或? ?b∈R ? ?a=1, ? 或? ?b=1. ?



?a=-1, ? 解得 ? ?b=0 ?

反代回 A,B

?a=-1, ? 集合知只有? ?b=0 ?

?a=-1, ? 适合,∴? ?b=0. ?

第1讲 │ 要点探究

方法 2:由于两个数和另外两个数相等的充要条件是这两个 数的和与积分别等于另外两个数的和与积,故{1,b}={a2,ab}
2 ?1· ab, ? b=a · 的充要条件是 ? ?1+b=a2+ab, ?

?a=1, ? 解得 ? ?b=1 ?

?a=-1, ? 或? ?b=0 ?



?a=1, ? ? ?b∈R, ?

?a=-1, ? 经检验只有? ?b=0 ?

适合.

第1讲 │ 要点探究

变式题 (1)已知 M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若 M∩N=N,则实数 a 的值为( A.1 B.-1 D.0 或 1 或-1 )

C.1 或-1

(2)设集合 A={x,y,x+y},B={0,x2,xy},若 A=B, 则实数对(x,y)组成的集合是________.

第1讲 │ 要点探究

[答案] (1)D

(2){(1,-1),(-1,1)}

[解析] (1)M∩N=N?N?M.当 a=0 时,N=?,符合要 1 求;当 a≠0 时,只要 a= ,即 a=± 即可.答案为 D. 1 a

第1讲 │ 要点探究
(2)方法 1:由 A=B,且 0∈B,故集合 B 中的元素 x2≠0, xy≠0,故 x≠0,y≠0,那么只能是集合 A 中的 x+y=0,此时就 是在条件 x+y=0 下,{x,y}={x2,xy}, ?x+y=0, ? 2 即 ?x =x, ?xy=y ?
?x=-1, ? ? ?y=1. ?

?x+y=0, ? 2 或 ?x =y, ?xy=x. ?

解 得

?x=1, ? ? ?y=-1 ?



第1讲 │ 要点探究
方法
?x+y=x2+xy, ? 2 2:{x,y}={x ,xy}的充要条件是? ?xy=x2· xy, ?



第二个方程可得 xy(x2-1)=0, x=0 或 y=0 或 x=1 或 x=- 即 1.当 x=0 时由第一个方程得 y=0,代入集合检验不符合要求; 当 y=0 时也不符合要求;当 x=1 时,代入第一个方程得 y∈R, 再由 x+y=0 得 y=-1,代入集合检验知符合要求;当 x=-1 时 , 代 入 第 一 个 方 程 得 y= 1, 满 足
?x=-1, ? ? ?y=1. ? ?x=1, ? x+ y= 0.故 ? ?y=-1 ?



第1讲 │ 要点探究
? 探究点3 集合的基本运算
? ? ?,则?RA=( ? ?

? ? 1 ? ? 1 例 3 (1)若集合 A=?x?log x≥2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? A.(-∞,0]∪? ,+∞? ? 2 ? ? 2 ? ? ? B.? ,+∞? ? 2 ? ? 2 ? ? ? C.(-∞,0]∪? ,+∞? ? 2 ? ? 2 ? ? D.? ,+∞? ? ? 2 ?

)

第1讲 │ 要点探究
(2)[2011· 陕西卷] 设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},
?? 1 ?? N={x? x- i ?? ? ? ?< ?

2,i 为虚数单位,x∈R},则 M∩N 为(

)

A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]

第1讲 │ 要点探究

[答案] (1)A

(2)C

第1讲 │ 要点探究
1 1 1 [解析] (1)方法 1:由不等式 log x≥ 得 log x≥log 2 2 2 2
1

1 , 2

? 2 ? 2 ? 由此得 0<x≤ ,故?RA=(-∞,0]∪? ,+∞?. ? 2 ? 2 ?

? ? 1 ? ? ?x?log1x< 方法 2:根据补集思想,?RA=(-∞,0]∪ 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? (-∞,0]∪? ,+∞?.答案为 A. ? ? 2 ?

? ? ?= ? ?

(2)函数 y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|,其值域是[0,1],故集 ? 1? 合 M=[0,1];不等式?x- i ?< 2,即|x+i|< 2,即 x2+12<2, ? ? 解得-1<x<1,故集合 N=(-1,1).所以 M∩N=[0,1).

第1讲 │ 要点探究

变式题 (1)[2011· 山东卷] 设集合 M={x|x2+x-6<0}, N={x|1≤x≤3},则 M∩N=( ) A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3] (2)[2011· 南 卷 ] 设 全 集 U = M ∪ N = {1,2,3,4,5} , 湖 M∩(?UN)={2,4},则 N=( A.{1,2,3} B.{1,3,5} ) C.{1,4,5} D.{2,3,4}

第1讲 │ 要点探究

[答案] (1)A

(2)B

[解析] (1)由解不等式知识知 M={x|-3<x<2}, N 又 ={x|1≤x≤3},所以 M∩N={x|1≤x<2}. (2)(排除法)由 M∩(?UN)={2,4}, 说明 N 中一定不含有 元素 2,4,故可以排除 A、C、D,故选 B.

探究点4

集合的证明

例 4 用定义证明:?U (M)∩(?UN)= ?U(M∪N).

第1讲 │ 规律总结 规律总结
1.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在写 集合的子集时不要忘记了空集;集合 A 本身就是其本身的子集, 在求集合的子集时也不要忘记了它本身. 2.在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一 定的联系,在一定的情况下,集合的运算关系和包含关系之间可 以相互转化,如 A∪B=A?B? A?A∩B=B,在解题中发现和运 用这种转化能有效简化解题过程.

第1讲 │ 规律总结

3.两个有限集合相等,可以从两个集合中的元素相同求解, 如果是两个无限集合相等, 从两个集合中元素相同求解就不方便, 这时就根据两个集合相等的定义求解,即如果 A? B,B? A,则 A =B.

第1讲 │ 热点链接 热点链接
[热点一]如何处理与集合有关的创新问题 例[2011· 福建卷] 在整数集 Z 中, 5 除所得余数为 k 的所有 被 整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4. 给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一?类?”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

第1讲 │ 热点链接
[规范解答] 因为 2011=5× 402+1,则 2011∈[1],结论①正 确; 因为-3=5× (-1)+2,则-3∈[2],结论②不正确; 因为所有的整数被 5 除的余数为 0,1,2,3,4 五类,则 Z= [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],结论③正确; 若整数 a, 属于同一“类”[k], b 可设 a=5n1+k, b=5n2+k(n1, n2∈Z),则 a-b=5(n1-n2)∈[0]; 反之, a-b∈[0], 若 可设 a=5n1+k1, b=5n2+k2(n1, 2∈Z), n 则 a-b=5(n1-n2)+(k1-k2)∈[0]; ∴k1=k2,则整数 a,b 属于同一“类”,结论④正确,故选 C.

第1讲 │ 热点链接
[方法剖析] 以集合为背景的新定义问题,是课标高考命题创 新型试题的一个热点,常见的命题形式有新概念、新法则、新运 算等,这类试题中集合只是基本的依托,考查的是创造性解决问 题的能力. (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的 问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破 解新定义型集合问题难点的关键所在;本题根据所给的“类”的概 念,对逐个选项进行判断,从中找出正确的. (2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性 质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要 善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用 好集合的性质.

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自我检评 (1)[2010· 四川卷] 设 S 为复数集 C 的非空子集. 若 对任意 x,y∈S,都有 x+y,x-y,xy∈S,则称 S 为封闭集.下 列命题: ①集合 S={a+bi|a,b 为整数,i 为虚数单位}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集, 则满足 S? T? C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)

第1讲 │ 热点链接
(2)[2011· 广东卷] 设 S 是整数集 Z 的非空子集, 如果? a, b∈S, 有 ab∈S,则称 S 关于数的乘法是封闭的,若 T,V 是 Z 的两个不 相交的非空子集,T∪V=Z,且? a,b,c∈T,有 abc∈T;? x, y,z∈V,有 xyz∈V,则下列结论恒成立的是( A.T,V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B.T,V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C.T,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D.T,V 中每一个关于乘法都是封闭的 )

第1讲 │ 热点链接
[答案] (1)①② (2)A

[解析] (1)设x=a1+b1i,y=a2+b2i,a1,b1,a2,b2为整 数,则x+y=(a1+a2)+(b1+b2)i,x-y=(a1-a2)+(b1-b2)i,xy =(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,由于a1,b1,a2,b2为整数,故 a1± 2,b1± 2,a1a2-b1b2,a1b2+a2b1都是整数,所以x+y,x- a b y,xy∈S,故集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭 集,①是真命题;若S是封闭集,则根据封闭集的定义,x-x= 0∈S,故命题②正确;集合S={0},显然是封闭集,故封闭集 不一定是无限集,命题③不正确;集合S={0}?{0,1}=T?C, 容易验证这个T不是封闭集,故命题④不是真命题.答案为 ①②.

第1讲 │ 热点链接

(2)T全部是偶数,V全部是奇数,那么T,V对乘法是封闭 的,但如果T是全部偶数和1,3,那么此时T,V都符合题目要 求,但是在V里面,任意取的数是-1和-3,那么相乘等于3, 而V里面没有3,所以V对乘法不封闭.排除B、C、D选项,所以 “至少一个”是对的.

第1讲 │ 备用例题
备用例题

[备选理由]

例1考查集合的运算,可作为探究点3的补充

训练;例2将集合问题与概率中的几何概型巧妙地融合在一 起,既考查了集合知识,又考查了几何概率问题,体现了集合 的“知识交汇点”的特点.意在提高学生的综合应用能力;例 3为新定义试题.

第1讲 │ 备用例题
例1已知P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1) +n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q等于( ) A.{(1,1)} B.{(-1,1)} C.{(1,0)} D.{(0,1)}

[答案] A
[解析]∵P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R}={a|a=(1,m), ?1=1-n, ? m∈R},Q={b|b=(1-n,1+n),n∈R},由 ? 得 ?m=1+n, ?
?n=0, ? ? ?m=1, ?

∴a=b=(1,1),∴P∩Q={(1,1)},故选A.

第1讲 │ 备用例题

例2 已知集合A=[2,log2t],集合B={x|x2-14x+24≤0}, x,t∈R,且A? B. (1)对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为b-a,若A的 区间“长度”为3,试求t的值; (2)某个函数f(x)的值域是B,且f(x)∈A的概率不小于0.6, 试确定t的取值范围.

第1讲 │ 备用例题
[解答] (1)因为A的区间“长度”为3,所以log2t-2=3,即

log2t=5,所以t=32. (2)由x2-14x+24≤0,得2≤x≤12,所以B=[2,12],所以B的 区间“长度”为10. 设A的区间“长度”为y,因为f(x)∈A的概率不小于0.6, y 所以 ≥0.6,所以y≥6,即log2t-2≥6,解得t≥28=256. 10 又A? B,所以log2t≤12,即t≤212=4096,所以t的取值范围 为[256,4096](或[28,212]).

第1讲 │ 备用例题

例3 若集合A1、A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合 A的一个分拆,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2, A1)为集合A的同一种分拆,则集合A={a1,a2,a3}的不同分拆 种数是( )

A.27 B.26 C.9 D.8

第1讲 │ 备用例题
[答案] A
[解析]集合A的子集为?,{a1},{a2},{a3},{a1,a2}, {a1,a3},{a2,a3},{a1,a2,a3}共8个,集合A的一个分拆可以 列表如下:

第1讲 │ 备用例题
A1 ? {a1} {a2,a3}, {a1,a2,a3} {a1,a3} {a2},{a1, a2}, {a2,a3}, {a1,a2,a3} {a2} {a1,a3}, {a1,a2,a3} {a2,a3} {a1},{a1, a2} {a1,a3}, {a1,a2,a3} {a3} {a1,a2}, {a1,a2,a3} {a1,a2,a3} ?,{a1}, {a2}, {a3},{a1, a2}, {a1,a3}, {a2,a3}, {a1,a2,a3}

A2 {a1,a2,a3} A1 {a1,a2} {a3},{a1, a3}, {a2,a3} {a1,a2,a3}

A2

共有27个,故选A.


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高考数学第一轮复习01 集合 - 第一讲 集合概念及集合上的运算 知识、方法、技

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