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专题 导数的概念与计算、定积分与微积分定理

全国名校高考数学一轮复习优质专题、学案汇编(附详解) 专题 导数的概念与计算、定积分与微积分定理 考点 导数的计算 一 1.(优质试题四川卷)设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)= - 图象 上点 P1,P2 处的切线,l1 与 l2 垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于 点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是( A.(0,1) 【解析】 B.(0,2) C.(0,+∞) ). D.(1,+∞) 由图象易知 P1,P2 位于 f(x)图象的两段上,不妨设 P1(x1,-ln x1)(0<x1<1),P2(x2,ln x2)(x2>1), 则函数 f(x)的图象在点 P1 处的切线 l1 的方程为 y+ln x1=- (x-x1), 即 y=- +1-ln x1. ① 则函数 f(x)的图象在点 P2 处的切线 l2 的方程为 y-ln x2= (x-x2), 即 y= -1+ln x2. ② 全国名校高考数学一轮复习优质专题、学案汇编(附详解) 由 l1⊥l2,得- × =-1, ∴x1x2=1. 由切线方程可求得 A(0,1-ln x1),B(0,ln x2-1), 由①②知 l1 与 l2 交点的横坐标 xP= ∴S△PAB= ×(1-ln x1-ln x2+1)× = = . - = . 又∵x1∈(0,1),∴x1+ >2, ∴0< <1,即 0<S△PAB<1. 【答案】A 2.(优质试题天津卷)已知函数 f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中 a 为实 数,f'(x)为 f(x)的导函数.若 f'(1)=3,则 a 的值为 . 【解析】f'(x)=a =a(1+ln x). 因为 f'(1)=a(1+ln 1)=a,又 f'(1)=3,所以 a=3. 【答案】3 考点 导数的几何意义 二 3.(优质试题山东卷)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图 象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质,下列函数中具 有 T 性质的是( ). A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 全国名校高考数学一轮复习优质专题、学案汇编(附详解) 【解析】若 y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数 的图象在这两点处的切线互相垂直,则 f'(x1)·f'(x2)=-1. 对于 A:y'=cos x,若有 cos x1·cos x2=-1,则存在 x1=2kπ ,x2=2kπ +π (k∈Z)时,结论成立; 对于 B:y'= ,若有 · =-1,则存在 x1x2=-1,∵x>0,∴不存在 x1,x2, 使得 x1x2=-1; 对于 C:y'=ex,若有 的 x1,x2; 对于 D:y'=3x2,若有 3 ·3 =-1,则存在 9 样的 x1,x2. 综上所述,故选 A. 【答案】A 4.(优质试题全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1,f(1))处的 切线过点(2,7),则 a= . 【解析】∵f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1. 又 f(1)=a+2,∴切线方程为 y-(a+2)=(3a+1)(x-1). ∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得 a=1. 【答案】1 5.(优质试题全国Ⅲ卷)已知 f(x)为偶函数,当 x≤0 时,f(x)=e-x-1-x,则曲 线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 【解析】设 x>0,则-x<0,f(-x)=ex-1+x. ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=ex-1+x(x>0). ∵当 x>0 时,f'(x)=ex-1+1, ∴f'(1)=e1-1+1=1+1=2. ∴曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为 y-2=2(x-1), 即 2x-y=0. =-1,显然不存在这 · =-1,则存在 =-1,显然不存在这样 全国名校高考数学一轮复习优质专题、学案汇编(附详解) 【答案】2x-y=0 6.(优质试题全国Ⅱ卷)若直线 y=kx+b 是曲线 y=ln x+2 的切线,也是曲 线 y=ln(x+1)的切线,则 b= . 【解析】求得(ln x+2)'= ,[ln(x+1)]'= . 设曲线 y=ln x+2 上的切点为(x1,y1),曲线 y=ln(x+1)上的切点为 (x2,y2), 则 k= = ,所以 x2+1=x1. 又 y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1, 所以 k= - =2, 所以 x1= = ,y1=ln +2=2-ln 2, 所以 b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2. 【答案】1-ln 2 考点 定积分及其应用 三 7.(优质试题江西卷)若 f(x)=x2+2 A.-1 B.【解析】 ∵f(x)=x2+2 f(x)dx,∴ f(x)dx= C. D.1 f(x)dx,则 f(x)dx=( ). ∴ f(x)dx=- . 全国名校高考数学一轮复习优质专题、学案汇编(附详解) 【答案】B 8.(优质试题山东卷)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭 图形的面积为( ). A.2 B.4 C.2 D.4 = - 【解析】 令 4x=x3,解得 x=0 或 x=±2,∴S= =8-4=4,故选 D. 【答案】D 9.(优质试题陕西卷)定积分 A.e+2 B.e+1 C.e (2x+ex)dx 的值为( D.e-1 ). 【解析】 【答案】C (2x+ex)dx=(x2+ex) =e.故选 C. 10.(优质试题天津卷)曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积 为 . 【解析】 如图,阴影部分的面积即为所求. 由 得 A(1,1). (x-x2)dx= - 故所求面积为 S= = . 全国名校高考数学一轮复

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