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2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透:第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第3节]


[课堂练通考点] 1 ?n 1.(2013· 辽宁高考)使?3x+ (n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( x x? ? A.4 C.6 解析:选 B B.5 D.7
n-r 由二项式定理得,Tr+1=Cr n(3x)

)

? 1 ?r=Cr 3n-rx n-2 r ,令 n-5r=0,当 n 2 ?x x?
)

5

r=2 时,n=5,此时 n 最小. 2.(2013· 贵阳模拟)在二项式(x2+x+1)(x-1)5 的展开式中,含 x4 项的系数是( A.-25 C.5 B.-5 D.25

解析:选 B ∵(x2+x+1)(x-1)=x3-1,∴原式可化为(x3-1)(x-1)4.故展开式中,含
3 0 x4 项的系数为 C3 4(-1) -C4=-4-1=-5.

3.(2014· 厦门质检)(2- x)8 的展开式中不含 x4 项的系数的和为( A.-1 C.1 解析: 选B B.0 D.2

)

8 展开式的通项为 Cr (2- x)8 展开式中各项的系数和为(2- 1)8=1, 82


-r

(-

8 8 x)r,则 x4 项的系数为 C8 =1,则(2- x)8 展开式中不含 x4 项的系数的和为 0. 8×2

4 .若 (2x - 3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 ,则 a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 等于 ________. 解析:在已知等式两边对 x 求导,得 5(2x-3)4×2=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令 x=1 得 a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5×(2×1-3)4×2=10. 答案:10

?π π a 2x+ ?dx,则二项式?x2+ ?5 的展开式中 x 的系数 5.(2014· 荆州模拟)已知 a=4?2 cos? 6 x? ? ? ? ?
0

为________.

?π π π 2x+ ?dx=2sin?2x+ ? 解析: 依题意得 a=4?2cos? 6 6? ? ? ? ?0
2)rx10
-3r

? 2 0

=-2, 即 a=-2, 则 Tr+1=Cr 5(-

2 a?5 ,当 r=3 时,T4=-80x.故二项式? ?x +x? 的展开式中 x 的系数为-80.

答案:-80

[课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.设?x-

?

2 ?6 A 的展开式中 x3 的系数为 A,二项式系数为 B,则 =( B x? B.-4 D.-26
6-k Tk+1=Ck 6x

)

A.4 C.26 解析:选 A

?- 2 ?k=Ck (-2)kx 6- 2 ,令 6-3k=3,即 k=2,所以 T = 6 3 2 x? ?

3k

A 60 2 C6 (-2)2x3=60x3,所以 x3 的系数为 A=60,二项式系数为 B=C2 =4,选 6=15,所以 = B 15 A. 1 x2- ?n 的展开式中,常数项为 15,则 n 的值可以为( 2.(2013· 湖北八校联考)在? x? ? A.3 C.5 B.4 D.6 )

1?r 2 n-r? r r 2n-3r 解析:选 D ∵Tr+1=Cr , n(x ) ?-x ? =Cn(-1) x
r ∴Cr n(-1) =15 且 2n-3r=0,∴n 可能是 6,选 D.

? x- 1 ? 3.(2013· 济南模拟)二项式?2 3 ?8 的展开式中常数项是( x? ?
A.28 C.7 B.-7 D.-28
r

)

- r r ?x?8-r· 3 解析:选 C 展开式的通项公式是 Tr+1=Cr ( - 1) x ,令 8-r- =0,得 r=6, 8 2 ? ? 3

1 ?1?2 所以展开式中的常数项为 C6 8× 2 =28× =7. ? ? 4 1 ? x- ?6,x<0, ?? 4.(2013· 陕西高考)设函数 f(x)=?? x? 则当 x>0 时,f(f(x))表达式的展开式 ?- x,x≥0, ? 中常数项为( A.-20 C.-15 ) B.20 D.15 1 - x?6,∴Tr+1=Cr 6(- ? x ?

解析:选 A 依据分段函数的解析式,得 f(f(x))=f(- x)=?
3 1)rxr 3,则常数项为 C6 (-1)3=-20.


5.(2013· 北京东城模拟)(x- 2y)8 的展开式中,x6y2 项的系数是( A.56 B.-56

)

C.28

D.-28

2 解析:选 A 由二项式定理通项公式得,所求系数为 C2 8(- 2) =56.

6.(2014· 合肥质检)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+?+a9(x+1)9,且(a0+a2 +?+a8)2-(a1+a3+?+a9)2=39,则实数 m 的值为( A.1 或-3 C.1 B.-1 或 3 D.-3 )

解析:选 A 令 x=0,得到 a0+a1+a2+?+a9=(2+m)9,令 x=-2,得到 a0-a1+ a2-a3+?-a9=m9,所以有(2+m)9m9=39,即 m2+2m=3,解得 m=1 或-3.
2 2 1?6 2 7.(2014· 黄冈模拟)设 a=? ?1(3x -2x)dx,则二项式? ?ax -x? 展开式中的第 4 项为(

)

A.-1 280x3 C.240 解析:选 A

B.-1 280 D.-240
2 1? 6 3 由微积分基本定理知 a=4,? ?4x -x? 展开式中的第 4 项为 T3+1=C6

1?3 3 (4x2)3? ?-x? =-1 280x ,选 A. 8.(2013· 青岛一检)“n=5”是“? A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:选 A 因为?

?2 x+ 1 ?n * 3 ? (n∈N )的展开式中含有常数项”的( x? ?
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

n- r r ?2 x+ 1 ?n ?2 x+ 1 ?n - * r n-r 2 3 ( n ∈ N ) 展开式的通项 T = C 2 x , ? + ? r 1 n 3 3 ? x? x? ? ?

n-r r 15-5r 的展开式中含有常数项时满足 - =0,当 n=5 时, =0,解得 r=3,此时含有常 2 3 6 数项;反之,当 n=10 时,r=6,也有常数项,但是不满足 n=5.故“n=5”是“?
n

?2 x+ 1 ? 3 ? x? ?

(n∈N*)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件,选 A. 9.(2013· 浙江高考)设二项式?
15-5 r 6

? x- 1 ?5 3 ? 的展开式中常数项为 A,则 A=________. x? ?

解析:Tr+1=(-1)rCr 5x 答案:-10

3 ,令 15-5r=0,得 r=3,故常数项 A=(-1)3C5 =-10.

10.(2014· 福州质检)在(1-x2)20 的展开式中,如果第 4r 项和第 r+2 项的二项式系数相 等,则 r=________. 2 r-1 r+1 解析:由题意得,C4 20 =C20 故 4r-1=r+1 或 4r-1+r+1=20,即 r= 或 r=4.因为 3

r 为整数,故 r=4. 答案:4

?3 2? 11.(2013· 广州二模)在? x- ?15 的展开式中,x 的整数次幂的项的个数为________. x? ?
30 ?5 r 5 3 15-r? 2 ?r r r r 6 解析:展开式的通项为 Tr+1=(-1)rCr ( x ) = ( - 1) 2 C x ,由题意 5- r 15 15 6 ? x?

为非负整数,得 r=0 或 6,∴符合要求的项的个数为 2. 答案:2 1?n 1 12.若? ?x+x? 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中x2的系数 为________. 解析:利用二项展开式的通项公式求解.
6 由题意知,C2 n=Cn,∴n=8.
- ?1?r r 8-2r ∴Tr+1=Cr x8 r· x , 8· ?x? =C8·

当 8-2r=-2 时,r=5, 1 3 ∴ 2的系数为 C5 8=C8=56. x 答案:56 第Ⅱ组:重点选做题 2 ?n * 1.已知? ? x-x2? (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10∶1. (1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含 x 的项; 解:由题意知,第五项系数为 C4 (-2)4, n· C4 ?-2?4 10 n· 第三项的系数为 C2 (-2)2,则有 2 = , n· Cn· ?-2?2 1 化简得 n2-5n-24=0,解得 n=8 或 n=-3(舍去). (1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2)8=1. 2 - ? - 2?k=Ck (2)通项公式 Tk+1=Ck ( x)8 k· (-2)k· x 8· 8· ? x?
3
8- k 2

3 2

-2k,



8-k 3 -2k= ,则 k=1,故展开式中含 x 2 的项为 2 2
3

T2=-16x 2 . 2.(1)求证:1+2+22+?+25n 1(n∈N*)能被 31 整除;


2 27 (2)求 S=C1 27+C27+?+C27除以 9 的余数.

25n-1 - 解:(1)证明:∵1+2+22+?+25n 1= 2-1 =25n-1=32n-1=(31+1)n-1
n 1 n 1 1 n =C0 +?+Cn n×31 +Cn×31 n ×31+Cn-1
- -

n 1 n 2 1 =31(C0 +C1 +?+Cn n×31 n×31 n ),
- - -

n 1 1 1 显然 C0 +Cn ×31n 2+?+Cn n×31 n 为整数,
- - -

∴原式能被 31 整除.
2 27 27 9 (2)S=C1 27+C27+?+C27=2 -1=8 -1 9 1 8 8 9 =(9-1)9-1=C0 9×9 -C9×9 +?+C9×9-C9-1 8 1 7 8 =9(C0 9×9 -C9×9 +?+C9)-2. 8 1 7 8 ∵C0 9×9 -C9×9 +?+C9是整数,

∴S 被 9 除的余数为 7.


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