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2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 5.3 第1课时 对数函数的图像和性质学案 北师大版必修1

第 1 课时 对数函数的图像和性质 学习目标 1.掌握对数函数性质,并会运用性质比较大小,求单调区间,解对数不等式 等(重、难点);2.会画对数函数图像,知道多个对数函数图像如何判断相对位置,会对对数 函数图像进行简单的变换(重、难点);3.了解互为反函数的两函数图像关于直线 y=x 对称. 预习教材 P93-96 完成下列问题: 知识点一 对数函数的图像与性质 定义 y=logax(a>0,且 a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图像 定义域 (0,+∞) 值域 R 单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 共点性 函数值特点 图像过点(1,0) ,即 loga1=0 x∈(0,1)时,y∈(-∞,0) ;x∈[1, x∈(0,1)时,y∈(0,+∞) ;x∈[1, +∞)时,y∈[0,+∞) +∞)时,y∈(-∞,0] 对称性 函数 y=logax 与 y=log1ax 的图像关于 x 轴 对称;函数 y=logax 与 y=ax 的图像关于直线 y=x 对称. 【预习评价】 1.请你根据所学过的知识,思考对数函数解析式中的底数能否等于 0 或小于 0? 提示 因为 y=logax?x=ay,而在指数函数中底数 a 需满足 a>0 且 a≠1,故在对数函 数解析式中 a 的取值范围不能等于 0 或小于 0. 2.结合对数函数的图像说明对数函数的单调性与什么量有关? 提示 对数函数的单调性与解析式中的底数 a 有关,若 a>1,则对数函数是增函数,若 0<a<1,则对数函数是减函数. 知识点二 不同底的对数函数图像相对位置 一般地,对于底数 a>1 的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越大越靠近 x 轴;对于 底数 0<a<1 的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越小越靠近 x 轴. 0克兰河发源于阿尔泰山南坡,属额齐斯的一条支流随着全球气候变暖域升温明显年降水量也呈增加趋势。读上游某文站不同代际(化指和之间比较每1为个)内径过程图 【预习评价】 1.将不同底数的对数函数的图像画在同一平面直角坐标系中,若沿直线 y=a(a<0)自 左向右观察能得到什么结论? 提示 将不同底数的对数函数的图像画在同一个平面直角坐标系中,沿直线 y=a(a<0) 自左向右看对数函数的底数逐渐减小. 2.结合教材 P94 例 5,你认为应怎样比较两个对数式的大小? 提示 第一步:考查相关函数的单调性. 第二步:比较真数的大小. 第三步:得出结论. 知识点三 y=logaf(x)型函数的单调区间 一般地,形如函数 f(x)=logag(x)的单调区间的求法:①先求 g(x)>0 的解集(也就是函 数的定义域);②当底数 a 大于 1 时,g(x)>0 限制之下 g(x)的单调增区间是 f(x)的单调增 区间,g(x)>0 限制之下 g(x)的单调减区间是 f(x)的单调减区间;③当底数 a 大于 0 且小于 1 时,g(x)>0 限制之下 g(x)的单调区间与 f(x)的单调区间正好相反. 【预习评价】 1.若函数 y=loga|x-2|(a>0 且 a≠1)在区间(1,2)上是增函数,则 f(x)在区间(2,+ ∞)上的单调性为( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 解析 当 1<x<2 时,函数 f(x)=loga|x-2|=loga(2-x)在区间(1,2)上是增函数,所 以 0<a<1;函数 f(x)=loga|x-2|在区间(2,+∞)上的解析式为 f(x)=loga(x-2)(0<a<1), 故在区间(2,+∞)上是一个单调递减函数. 答案 D 2.函数 y=log2(x2-1)的增区间为________. 解析 ∵由 x2-1>0 解得定义域为{x|x<-1 或 x>1},又 y=log2x 在定义域上单调递增, y=x2-1 在(1,+∞)上单调递增,∴函数的增区间为(1,+∞). 答案 (1,+∞) 题型一 对数值的大小比较 【例 1】 比较下列各组中两个值的大小. 20克兰河发源于阿尔泰山南坡,属额齐斯的一条支流随着全球气候变暖域升温明显年降水量也呈增加趋势。读上游某文站不同代际(化指和之间比较每1为个)内径过程图 (1)log31.9,log32; (2)log23,log0.32; (3)logaπ ,loga3.14(a>0,a≠1). 解 (1)因为 y=log3x 在(0,+∞)上是增函数, 所以 log31.9<log32. (2)因为 log23>log21=0,log0.32<log0.31=0, 所以 log23>log0.32. (3)当 a>1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是增函数,则有 logaπ >loga3.14; 当 0<a<1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是减函数,则有 logaπ <loga3.14. 综上所得,当 a>1 时,logaπ >loga3.14;当 0<a<1 时,logaπ <loga3.14. 规律方法 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性. (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较. (2)若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. (3)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利 用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图像,再进行比较. (4)若底数与真数都不同,则常借助 1,0 等中间量进行比较. 【训练 1】 (1)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b (2)已知 a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( ) A.a>b>c B.a>c>b

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