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2015欧洲女子数学奥林匹克


2 0 1 5年第 7期 

3 3  

2 0 1 5 欧 洲 女 子 数 学 奥 林 匹 克 
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文章编号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 5 ) 0 7— 0 0 3 3 — 0 4  

1 . 在锐角△ A B C中 , 已知 C D上 A B于点  D,   A B C 的平分线与 C D交 于点 E , 与△ A D E   的外接 圆 厂交 于点  若  A D F= 4 5 。 , 证 明:  
C F与 圆 厂 相切 .  

参 考 答 案 
1 . 如图 1 .  

2 . 将r t   块1   x 2或 2×1的多米诺骨牌无 

重叠地放置于 2 n× 2 n的方 格表上 , 使得每个  2   x   2 的子方格表 内至少存在两格没被覆盖 , 且  该两格 在 同行 或 同列. 求 所有 满 足要 求 的放 
法数.   3 . 设n 、 m为大于 1的整数 , 口 l , 0 2 , …, 0  
图 1  

为不大于 凡  的正整数. 证 明: 存在不大于 1 1 , 的  正整数 b   , b   , …, b   , 使得 
( 0 1 +b 1 , 0 2 + b 2 , …, 口  +b   )< i " t .  

由   C D F= 9 0 。 一 4 5 。 = 4 5 0   9 知直线 D F平 

分  C D A . 于是 , 点 F落在 线段 A E的垂 直平 
分线上 , 并设该线与 A B交于点 G .  

4 . 是否存在无穷项正整数数列 0   , 0   , …,  

令  A B C= 2  
因为 A、 D、 E、 F四点 共 圆,   A F E=9 0 。 ,  
所以 ,   F A E= 4 5 O .  

0   , …满足 : 对任意正整数 , 均有 
0   + 2 = 0   + 1 +√0   + 1 + 0 n ?  

又B F平分  A B C , 则  F A B= 9 0 。 一   故  E A B=   A E G= 4 5 。 一  ,  
A E D= 4 5 。 + 卢 .  

5 . 设 m、 乃为正整 数 , 且 m >1 . 甲将整 数 

1 , 2 , 3 , …, 2 m 分成 m对 , 乙从每 一对 中选 出  


个数 , 并求 出这两个数 的和. 证 明: 甲可 以适 

于是 ,   G E D=  .  

当地分对使得 乙无论怎么选 , 求 出的和恒不等 
于1 7 , .  

则R t △肋 G ∽ R t △肋 c  
R t △D E B∽ R t △D G C  
GC D =   DBE =  

=  

6 . 设 H、 G分 别为锐 角 △ A B C ( A B#A C )  
的垂心、 重心. 直线 A G与△ A B C的外接 圆交  于点 A、 P . 记P   为点 P关 于直 线 B C的对 称  点. 证 明:  

又  D F E=   D A E= 4 5 。 一  , 因此 ,   G F D= 4 5 。 一   D F E= 卢 .  

于是 , G 、 D 、 C 、 F四点共 圆.  
故  G F C= 9 0 。 .  

C A B= 6 0 。 当且仅当 H G= P   G .  

中 等 数 学 

这表 明 , C F垂 直 于 圆 厂 的半 径 F G, 即 
为 圆 厂 的切线 .  

类似地 , 包含 4和 D的格子 区域 ( 有可能  为空 ) 与包 含 曰和 C的格子 区域之 间可被 一 

2 . 将方格表分成 n   个2   X 2的子方格表 ,   每个子方格表 至多有两格可被多 米诺骨牌覆 
盖 由于多米诺骨牌 恰覆 盖 2 n   个格, 故每个  子方格表均恰有两格被覆盖 , 且这两格必须在 
同行 或 同列 .  

条从左上角至 右下角 的路 径完全分 离 , 其 中,  
该路径每次 向下或向右移动一格.   从而 , 该n   X   n方格 表被两条路径分成 四 

个 区域 ( 有可能 为空 ) , 使得 每个 区域分 别包  含所 有 的  、  、 C 、  . 反之, 选 择 两条 路径 将 
方格表分割 成 四个 区域 , 并 从底 部 逆 时针分  别填人 、  、 C 、 D可 得到 满足 题意 的多米诺 
骨牌摆放方式.  

接下来说 明 , 这 两 格被 同一 块 多米 诺 骨  牌覆盖.   假设有些 2   X   2的子方格表 不满足条件 ,   不妨设存在一些多米诺骨牌 同时覆盖 了左 、 右  相邻两个子方格表. 考虑这样 的多米诺骨牌 中  位置最靠左 的子方格表 , 知这是矛盾 的.   现考虑以一个 2   X   2的子方格表为单位的  n× n方格表. 记 A、  、 C 、 D分别为该方格表 每 

由于 每条 路径有 C  种选 法 , 因此 , 多米  诺骨牌总共有 ( C  )  种摆放方式.  
3 . 不妨 设 n , 为0  0   , …, 0   中 的 最 小 

元素.  

( 1 ) 当0 . ≥n  一 1 时, 分两种情形讨论.   ( i ) 所有 0   , 0 : , …, 0  均 相 等. 此时, 可 

格 的各种情形 , 其 中阴影部分代表被多米诺 骨 
牌覆盖 , 如图2 .  
A=   =

取b   =1 , b   = 2 , 其余 的 b   任意, 则 
( 口 l +b l , 0 2 +b 2 , …, 口 m+b m )  

围 c = 囝 。 =  
图2  

≤( 0 1 +b 1 , 0 2 +b 2 )=1 .  

( i i ) 口 l = r l ,  一 1 , 对 某些 ∈ { 2 , 3 , …, / 1 , } ,  

向n   X n 方格表 填人 、  、 c 、 D使得结果 
满足题 目 条件 , 如图 3 .  
/ " //   / " / /  / /   / " / /   / /   / " /I  l / /  

有a j = 凡   . 此时 , 可取 b l =1 , 6 , :1 , 其余 的 b  
任意, 则 
( 口 1 +b l , 口 2 +b 2 , …, 0 m+b m )  

D  D   l   C  C  C  C  
D  D   i l     C  C  C  曰  
D  D  D  B 

≤( 0 1 +b 1 , a j +6   )=1 .  

( 2 ) 当0   ≤n  一 2时 , 假设 满 足 条 件 的 

/ /   . " / //  
/ //   / //  
/ " /i   / " //   / " //   。 / //   图 3  

D  D  D  A   A 

b 。 , b : , …, b  不存 在. 则对 任 意 的 b   , b   , …,   b  ∈ { 1 , 2 , …, n } , 有 
n ≤( 0 1 +b 1 , 0 2 + b 2 , …, 口  +b   )  
≤ 01+b 1 ≤n   +r L 一2.  

D  D  D  A   A  
D  A  A  A  A 

4  

由图 4知一个 A的下方 ( 或 B的右方 ) 必  定包含另一个 A( 或 曰) , 于是 , 包 含  和 B的 

故总共有 n   一 1 种最大公约数 的可能值  

但共 有 n  种 m元组 ( b , , b   , …, b   ) 的取 
法, 由抽 屉原 理 , 知必 有 两个 m 元组 有 相 同 

格子 区域 ( 有 可能 为 空 ) 位 于 方格 表 的右 下 
方, 且与包 含 C和 D 的格子 区域之 间可被 一 

的最大公 约数 , 设为 d .  
由于 d≥  , 对 每 个  至 多 有 一 种 b  ∈  

条从左下角 至右上角 的路径完全 分离 , 其 中,   该路径每次 向上或 向右移动一格.  

{ 1 , 2 , …, n } 的选择 使得 0   + b   可被 d整 除 ,  

2 0 1 5年第 7期 

3 5  

于是 , 至多有 一个 m元组 ( b   , b   , …, b   ) 以d   为最大公 约数 , 矛盾.  

( 3 ) 考虑 分组 P 3 及 选取 后 相对 应 的 s ,   知 。   ∑  ̄ - d i = f i ? 1 ’ 口   ; 且 d : ∑ m   d i 知 o ≤ d ≤ ,  


4 . 假设存 在正整数数列 { 0   } 满足题意.  
记b  =口   + 1 —0   ( n ≥2 ) .  

i =1

,  

,  

则 由定义 , 知对于每一个 

若a f ≠   , 则a   兰i 一 1 ( m o d   r r t ) .  
所以 , 对任意 a  ∈ P ,   有 
a   三i — d ‘ ( m o d   m) .  

b   =/ a n + 0   一 l ( n ≥2 ) ,  
有 6   + 。 一 b  =( a   + 1 +a   )一( a   +a   一 1 )  


( a   + l —a   )+( a   一a   一 1 )=b  +b   一 1 .  

故s = ∑a i 三 ∑(   — d i )  
兰o r —d ( mo d   m) ,  

由a  为 正整 数 , 故 对 于 任 意 的 正 整 数 

n ≥ 2 , b   也为正整数 , 且当n >3时 , i 数列 { b   }  
严格单调递增.   而b  + b   一 1 =( b   + l —b   ) ( b   + l +b   )  
≥6   + 1+b  
b   1 ≥6   + l ,  


当且仅 当所有 d   相等 时 , 有s 三  ( m o d   m) ,   而这要求 s =   或s =   .  

因为 m>1 , 有 
<m 2< m2+ m < 3 T m 2 + m
,  

与数列 { b   } 严格单调递增矛盾.   故不存 在满足题意的正整数数列 { a   } .  
5 . 定义如下分组 :  

所以, 若m   ≤n ≤m   + m, 且n  ̄ - - o " ( m o d   m) ,   则此 时 s 不可能为 n , 该分组满足题意.   由于 n 总可 被分 成 以上三 种情 形之 一 ,  

P 。 ={ ( 1 , 2 ) , ( 3 , 4 ) , …, ( 2 m— l , 2 m ) } ,  

P 2 ={ ( 1 , m+ 1 ) , ( 2 , m+ 2 ) , …, ( m, 2 m ) } ,  

从而, 命题 成立.  
6 . 如图 5 . 设△ A B C的外 接 圆o 0关 于 
直线 C对称得 到oD   . 显然 , 点 H、 P   在 oD  

P 3 ={ ( 1 , 2 m ) , ( 2 , m+ 1 ) , …, m, 2 m一 1 ) } .  
对于 P   (   =1 , 2 , 3 ) 计算 

s = 0 1 + 0 2 + …+ 口   ( 整数 口 f ∈P   )   的可能值 , 其中,  ,   指分组  中的第 i 组.  
、 1  _ 、 .  
i= l  

上. 因为△ A B C为锐角三 角形 , 所以, 点 H、 0   落在△ A B C内. 记线段 B C的 中点为 



十 m  
厶 

已  

厶 E   —  一 ?  

( 1 ) 考虑分组 P   及选取后相对应 的 S , 知 
m   =

∑( 2 i 一 1 ) ≤   ≤∑ 2 i = m   + m .  
i=l   I=l  








 



 





I  

若 n< m   或 n>m   +m, 则 该 分 组满 足 
题 意.   ( 2 ) 考虑分组 P 2 及选取后相对应 的s , 知 
  .

∑i = o ' ( m o d   m ) .  
‘= l  

图5  

若 m  ≤n ≤m   +m, 且n #e r ( mo d   m) , 则  该分组满 足题 意.  

( 1 ) 充分 性.  
设  C A B= 6 0 。 .  

3 6  

中 等 数 学 

由   C O B= 2   C A B=1 2 0 。  


由H G= P   G , 知点 日与 P   关于 G O   对称.  

1 8 0。一  

C A B=  

C HB .  

既以 , G O   H P f , G O | / / A t P f .  
设 HG与  P   交于点 

得点 D在 o0   上, 且 oD、 o0   关 于点  对称.  

则 O 0   = 2 0 M= 2 R c o s   C A B= A H, 其 
中, R为o0、 O0   的半径.  

因为 A B# A C , 所以, 点  与 0不重合.   因为直线 G O   为△ H K A   的中位线 , 所以 ,  
HG =GK.  

故 日= O 0   = H O   = A O= R .   于是 , 四边形 A H O   0为菱形.   从而,  、 D   关于 H O对称.  
因为  、 G 、 D三点共线 ( 欧拉线 ) , 所以,  
G AH =   HO  G.  

由H O为△ A B C的欧拉线 知 
2G0 =   G.  

故 D为线段 G K的 中点.   因为  C MP=   C MP   , 所以,  
G MO =   OMP  .  
.  

由  B O M= 6 0 。 , 知 
D  = D,   :枷 c 。 t   6 o。:  

√ 3  

于是 , 直线 O M 过点 D   , 且为  P   M A   的  外 角平分线.  
又尸   0   =0~ A, 则D   为△ P   M A   的外接  圆弧P   MA   的中点.  

注意到 ,  
3 MO. MO  =MB =MB . MC   :M P? MA :3MG? M P.  

于是 , G、 0、 P、 0   四点共 圆.  

这表 明 , P   、  、 D   、 A   四点共圆.  
故  0   MA  =   0   P~ A=   0~ A   P   .  

又B C为 O 0   的垂 直平 分 线 , 故 四边 形 
G O P O   的外接 圆关于 B C对称.  

设O M与P   交于点 
由△ T O~ A∽△ A   0   M, 知 
D  . D  =D  A“.  

所以, 点 P   也在 四边形 G O P O   的外 接 
圆上 .   因此 ,   G O   P   =   G P P   .  

对直线 T O   与△ H K A   , 运用梅 涅劳斯 定 
理 得 
0  HO KT  KT  .   . KT   1  


由  日 / / P P   , 知  G P P   =  
又  日=   H O   G , 则 
GO  P  .  

H 













,一

= l =  — —

= 一

 

D  日

DK 

T A 

3  

KA  =2K 

Ho’ G:  

类似地 , 对 直线 H K与△ T O   A   , 运 用 梅  涅劳斯定理得 
HA ?   KT -   00 =   2 … ×2   DD =1 ‘   =  T O =00  .  

故H G= P   G .   ( 2 ) 必要性.  

若H G= P   G , 将点  关于点  对称得 到 
点A   .   根据上述推论 , 知 曰、 C 、 H、 P   在O0   上.   易知 , 点  也在 o0   上.  

故D   A  =0   M? 0   T=O 0  .  
于是 , 0   A   =O 0   .  

从而 , 点 0在 oD   上.  
则2   C A B=   B O C=1 8 0 。 一   C A B .   故  C A B= 6 0 。 .  

因为 A B / / C A   , 所以, H C- l -   .  
故H A   为o0   的直径 , 0   为H A   的中点.  

( 李朝 晖

提供 )  


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