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高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学业分层测评(含解析)新人教A版选修22

1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念
学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标]

1.函数 f(x)=x2-1 在区间[1,m]上的平均变化率为 3,则实数 m 的值为( )
拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

一、选择题

A.3 C.1 【解析】 由已知得: ∴m+1=3,∴m=2. 【答案】 B

B.2 D.4

m2-1- 2- m-1

=3,

2. 一质点运动的方程为 s=5-3t , 若该质点在时间段[1,1+Δ t]内相应的平均速度为 -3Δ t-6,则该质点在 t=1 时的瞬时速度是( A.-3 C.6 B.3 D.-6 )

2

【解析】 由平均速度和瞬时速度的关系可知,

v=s′(1)=lim (-3Δ t-6)=-6.
Δ t→0

【答案】 D 3.已知函数 f(x)=2x -4 的图象上一点(1,-2)及附近一点(1+Δ x,-2+Δ y),则 Δy =( Δx A.4 C.4+2Δ x ) B.4x D.4+2(Δ x)
2 2 2

【解析】 因为 Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=2(1+Δ x) -4-(2×1 -4)=4Δ x+2(Δ x) , Δ y 4Δ x+ Δ x 所以 = Δx Δx 【答案】 C 4.设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,且有 f(x0+Δ x)-f(x0)=aΔ x+b(Δ x) (a,b 为 常数),则( ) B.f′(x)=b D.f′(x0)=b
2 2

2

2

=4+2Δ x.

A.f′(x)=a C.f′(x0)=a 【解析】 ∵f′(x0)=lim

Δ x→0

f x0+Δ x -f x0 Δx

1

= lim

Δ x→0

aΔ x+b Δ x Δx

2

= lim (a+bΔ x)=a,
Δ x→0

∴f′(x0)=a. 【答案】 C 5.设函数 y=f(x)在 x=x0 处可导,且lim 于( ) A.1 1 C.- 3 【解析】 ∵lim = lim [
Δ x→0

Δ x→0

f x0-3Δ x -f x0 =1,则 f′(x0)等 Δx

B.-1 D. 1 3

Δ x→0

f x0-3Δ x -f x0 Δx

f x0-3Δ x -f x0 ·(-3)] -3Δ x

=-3f′(x0)=1, 1 ∴f′(x0)=- . 3 【答案】 C 二、填空题 6.(2016·太原高二检测)若 f′(x0)=1,则 lim
k→0

f x0-k -f x0 =__________. 2k f x0-k -f x0 2k

【解析】 lim
k→0

1 f x0-k -f x0 1 1 =- lim =- f′(x0)=- . 2 k→0 -k 2 2 1 【答案】 - 2 7. 汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图 1?1?2 所示. 在时间段[t0, t1], [t1,

t2],[t2,t3]上的平均速度分别为 v 1, v 2, v 3,其三者的大小关系是________.

图 1?1?2 【解析】 ∵ v 1=

s t1 -s t0 =kMA, t1-t0

2

s t2 -s t1 v 2= =kAB, t2-t1 s t3 -s t2 v 3= =kBC, t3-t2
由图象可知:kMA<kAB<kBC,∴ v 3> v 2> v 1. 【答案】

v 3> v 2> v

1 2

8.一物体位移 s 和时间 t 的关系是 s=2t-3t ,则物体的初速度是__________. 【解析】 物体的速度为 v=s′(t), ∴s′(t)=lim = lim

Δ t→0

s t+Δ t -s t Δt t+Δ t Δt
2 2

t+Δ t -

-2t+3t

2

Δ t→0

2Δ t-6tΔ t-3Δ t = lim =2-6t. Δt Δ t→0 即 v=2-6t, 所以物体的初速度是 v0=2-6×0=2. 【答案】 2 三、解答题 9.已知某物体按照 s(t)=3t +t+4(t 的单位:s,s 的单位:m)的规律做直线运动, 求该物体在 4 s 附近的平均速度. 【解】 =
2

v=
+Δ t

Δs s = Δt
2

+Δ t -s Δt +Δ t +4- Δt
2



+4+

=(25+3Δ t)m/s, 即该物体在 4 s 附近的平均速度为(25+3Δ t)m/s. 10.(2016·聊城高二检测)求函数 y=x +ax+b(a,b 为常数)的导数. 【解】 因为 Δ y=[(x+Δ x) +a(x+Δ x)+b]-(x +ax+b)=2x·Δ x+(Δ x) +
2 2 2 2

a·Δ x=(2x+a)·Δ x+(Δ x)2,
故 Δy = Δx

x+a

Δ x+ Δ x Δx

2

=(2x+a)+Δ x,

Δ x→0

lim

Δy =lim (2x+a+Δ x)=2x+a,所以 y′=2x+a. Δ x Δ x→0 [能力提升]

1.若 f(x)=x ,f′(x0)=3,则 x0 的值是( A.1 B.-1

3

)

3

C.±1

D.3 3
3 3 2 2 3

【解析】 ∵Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)=(x0+Δ x) -x0=3x0Δ x+3x0(Δ x) +(Δ x) , ∴ Δy 2 2 =3x0+3x0Δ x+(Δ x) , Δx
2 2 2 Δ x→0

∴f′(x0)=lim [3x0+3x0Δ x+(Δ x) ]=3x0, 由 f′(x0)=3,得 3x0=3,∴x0=±1. 【答案】 C 2.如果函数 y=f(x)在 x=1 处的导数为 1,那么lim
x→0
2

f x+

-f 2x

=(

)

A.

1 2

B.1 D. 1 4 +x -f

C.2 【解析】 因为 f′(1)=1,所以lim
x→0

f

x
+x -f

=1, 1 = . 2

所以lim
x→0

f x+

-f 2x

1 f = lim 2 x→0

x

【答案】 A 3. 已知 f′(x0)>0, 若 a=lim

Δ x→0

f x0+Δ x -f x0 f x0-Δ x -f x0 , b=lim , Δx Δx Δ x→0

c=lim

Δ x→0

f x0+2Δ x -f x0 , Δx f x0+Δ x -f x0-Δ x ,e=lim 2Δ x x→x0

d=lim

Δ x→0

f x -f x0 , x-x0
则 a,b,c,d,e 的大小关系为__________. 【解析】 a=lim

Δ x→0

f x0+Δ x -f x0 =f′(x0), Δx

b=lim

Δ x→0

f x0-Δ x -f x0 Δx f x0-Δ x -f x0 =-f′(x0), -Δ x f x0+2Δ x -f x0 Δx f x0+2Δ x -f x0 =2f′(x0), 2Δ x

=-lim

Δ x→0

c=lim
=2lim

Δ x→0

Δ x→0

4

d=lim e=lim
x→x0

Δ x→0

f x0+Δ x -f x0-Δ x =f′(x0), 2Δ x f x - f x0 =f′(x0). x-x0

即 c>a=d=e>b. 【答案】 c>a=d=e>b 4. (2016·南充高二检测)某一运动物体, 在 x(s)时离开出发点的距离(单位: m)是 f(x) 2 3 2 = x +x +2x. 3 (1)求在第 1 s 内的平均速度; (2)求在 1 s 末的瞬时速度; (3)经过多少时间该物体的运动速度达到 14 m/s? 【解】 (1)物体在第 1 s 内的平均变化率(即平均速度)为 Δy f (2) = Δx 2 3 +Δ x +Δ x -f Δx
3

f

-f 1-0

11 = m/s. 3



+Δ x Δx

2





11 +Δ x - 3

2 2 =6+3Δ x+ (Δ x) . 3 Δy 当 Δ x→0 时, →6, Δx 所以物体在 1 s 末的瞬时速度为 6 m/s. Δy f (3) = Δx 2 x+Δ x 3

x+Δ x -f x = Δx
3

+ x+Δ x

2



? 3 2 ? x+Δ x -? x +x +2x? ?3 ?
2

Δx 2 2 2 =2x +2x+2+ (Δ x) +2x·Δ x+Δ x. 3 Δy 2 当 Δ x→0 时, →2x +2x+2, Δx 令 2x +2x+2=14, 解得 x=2, 即经过 2 s 该物体的运动速度达到 14 m/s.
2

5


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