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2012高考数学一轮复习--函数的奇偶性与周期性 ppt


2013年8月5日星期一

1)理解函数的奇偶性含义,能利用定义 判断一些简单函数的奇偶性; 2)能利用函数周期性定义作出判断及求 一些常见简单函数的最小正周期;

1.(08上海改编)已知函数f ( x )是定义在实数集R上奇函数, 当x ? (0,??)时,有f ( x ) ? lgx

( ?1,0) ? (________ 1 则满足f ( x ) ? 0的x取值范围为__________ ,??)
y

友情提示:考查奇函数图象关于原点对称性!

-1 o

1

x

2.世纪金榜 ? 考点自测题() 2 已知函数f ( x )在R上为奇函数,且满足f ( x ? 4) ? f ( x ), 当x ? (0,2)时,有f ( x ) ? 2 x 2, 则①f ( ?2011 ? ______; ② f ( 2011 ? _________ ) )
由 x ? 4 ? x ), 则 x 的周期为4 友情提示 由ff ((x ? 4))? ff((x ),则ff((x ))的周期为4 ? ff ((?2011?? f f([?502?? 3)(? 3)]3) ? ( ?3?1) f (1) ? 2011 ) ) 502? 4 4 ? ? f ( ? f f ( ) ? 又当x ? (0,2)时, 有f (fx ) ?)2 x?, 则1),1) ? (1? 122? 2 2 ? 2 又f ( x )为奇函数, 则 ( ?1 ? 2 f ( f ( 且f 2 ) ? ? 1 ? ff ((?2011???2 ? 2011 ) 2 )

3.(09辽宁卷文改编)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞) 1 单调增加,则满足f(2x-1)<f( 3 )的x取值范围______;
分析:由函数f(x)为偶函数,则其图象关于y轴对称, 又f (x)在[0,+∞)上递增,
1 1 ∴f(2x-1)<f( ) 即 |2x-1|< 3 3 1 2 ∴ 3< x < 3

1.函数的奇偶性
1)若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则称 f(x) 为偶函数. 2)若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)= -f(x), 则称 f(x) 为奇函数. 3)若函数 f(x) 不具有上述性质, 则称 f(x) 不具有奇偶性; 若函数同时具有上述两条性质, 则 f(x) 既是奇函数, 又是偶函数. 例如: 函数 f(x)=0(x∈D, D关于原点对称)是既奇又偶函数.

2.简单性质
1)奇函数的图象是关于原点成中心对称的对称图形; 偶函数的图象关于 y 轴成轴对称的对称图形.
反之亦成立!

2)单调性:奇函数在其对称区间上单调性相同, 偶函数在其对称区间上单调性相反。 3)奇函数: f(0)=0 (要求0 必在定义域内); 偶函数: f(-x)=

f(x)=f(|x|)

已知函数f ( x ) ? ( x ? 1)( x ? a )为偶函数, 则实数a的值为__________ __ 友情提示 由f ( x ) ? ( x ? 1)( x ? a )
则f ( ? x ) ? ( ? x ? 1)(? x ? a ) 又f ( x )为偶函数, 则f ( ? x ) ? f ( x ) 即( x ? 1)( x ? a ) ? ( ? x ? 1)(? x ? a ) ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ? a ? ?1

世纪金榜? 考点自测题5

已知函数f ( x )为定义在R上的偶函数,在 ??,0]上是减函数, ( 且f (2) ? 0,则使得f ( x ) ? 0的x取值范围是 __________ __

课时提能演练( 6 )题3[2010杭州模拟]
友情提示

由f ( x )在(0,? ?)上为增函数且为R上的偶函数 又f ( 2) ? 0, f ( x ) ? f (| x |) ? f ( x ) ? 0 ? f (| x |) ? f ( 2) ?| x |? 2 即 ? 2 ? x ? 2

3.函数奇偶性的判定方法
1)根据定义法判定:
①首先看函数的定义域是否关于原点对称, ②若不对称, 则函数是非奇非偶函数; ③若对称, 再判定 f (-x)=f (x) 或 f (-x)=-f (x).

有时判定 f(-x)=±f(x) 比较困难, f(x) 可考虑判定 f(-x) ? f(x)=0 或判定 f(-x) =?1.

3.函数奇偶性的判定方法
2)借助函数的图象法判定:
3)性质法判定: 在公共定义域内, ①两奇函数之和(差)为奇函数,积(商)为偶函数; ②两偶函数之和(差)为偶函数,积(商)为偶函数; ③一奇一偶函数之积(商)为奇函数.

(注意取商时分母不为零!)

世纪金榜? 考点自测题3

世纪金榜? 考点自测题4

友情提示

取特殊值法!

世纪金榜? 例1变式训练备选题
判断下列函数的奇偶性 : ()f ( x ) ? x 2 ? | x ? a | ?2 1 ( x ? ?1) ?x?2 ? ( )f ( x ) ? ? 0 2 ( ?1 ? x ? 1) ?? x ? 2 ( x ? 1) ? ? x2 ? x ? 4 ( x ? 0) ? ? x ( 3) f ( x ) ? ? x2 ? x ? 4 ?? ( x ? 0) ? x ?

4.函数的周期性
(1)若存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任 意 x,都有 f(x+T)=f(x), 则称函数 f(x) 为周期函数, T 为函数的一 个周期. 若f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则称它为函数的 最小正周期; (2)若周期函数 f(x) 的最小正周期为 T, 则 f(?x)(??0) 也 为周期函数, 且最小正周期为 T ; |?| (3)判断一个函数是否为周期函数主要利用其定义;
(4)周期函数的定义域必为无穷区间;

课时提能演练( 6 )题5
已知函数f ( x )是定义在R上的偶函数, 且满足f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 3,

1 当x ? [0,1]时,f ( x ) ? 2 ? x , 则f ( ?2011 ? _____ ) 友情提示
由f ( x )为定义在R上的偶函数且f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 3 则有f ( ? x ? 1) ? f ( ? x ) ? 3 ① 即f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 3 ② 由①②, 得f ( x ? 1) ? f ( x ? 1)即f ( x ? 2) ? f ( x ) ? f ( x )的周期为T ? 2 ? f ( ?2011 ? f ( ?2010? 1) ? f ( ?1) ? f (1) ? 1 )

( 山东理改编)定义在R上的函数f ( x )满足 09 ? log(21? x ) , x?0 f ( x) ? ? , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0 1 _ 则f ( 2009)的值为__________
友情提示:由 ? 0时, 有f ( x ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) x 也即有f ( x ? 1) ? f ( x ) ? f ( x ? 1) 两式相加: f ( x ? 1) ? ? f ( x ? 2) 即f ( x ? 3) ? ? f ( x ) 故f ( x ? 6) ? ? f ( x ? 3) ? f ( x ) ? f ( x ? 6 ) ? f ( x ) ?函数f ( x )的周期为T ? 6

1)函数的奇偶性在高考中,主要结合函数单调性 及其周期性的题目进行考查,在命题形式上主 要是填空题! 2)在能力要求上重点还是抓住函数相关性质的 灵活运用!

1.判断下列函数的奇偶性: (1+2x)2 (2) f(x)=lg(x+ x2+1); (1) f(x)= 2x ; 偶函数 奇函数 1+x (3) f(x)=log2( 1-x2 + x2-1 +1); (4) f(x)=(1-x) 1-x ; 既奇又偶函数 非奇非偶函数

2.(1)设函数 f(x) 的定义域关于原点对称, 判断下列函数的奇 偶性: ①F(x)= 1 [f(x)+f(-x)]; ②G(x)= 1 [f(x)-f(-x)]; 2 2 偶函数 奇函数 (2)试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数的和. y= 1 (2x-2-x)+ 1 (2x+2-x) 2 2 注:任何一个定义域关于原点对称的函数f(x)均可写成 一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)的和的形式,

f ( x ) ? f (? x ) f ( x ) ? f (? x ) 即有 g( x ) ? , h( x ) ? 2 2

3.已知定义在 R 上的函数 y=f(x) 满足 f(2+x)=f(2-x),

且 f(x)是偶函数, 当 x∈[0, 2]时, f(x)=2x-1, 2x+7 (-4≤x≤-2) 求 x∈[-4, 0]时 f(x) 的表达式. f(x)= -2x-1 (-2<x≤0)
4.若对任意的 x∈R, 都有 f(a+x)=f(a-x), 且 f(b+x)=f(b-x), 其中 b>a. 则 f(x) 是以 2(b-a) 为周期的周期函数.

5.已知 f(x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的 a, b∈R 都满足: f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0), f(1) 的值; (2)判断 f(x) 的奇偶性, 并证明你的结论.

2.(09四川理改编)已知函数f ( x )是定义在实数集R上的不 恒为0的偶函数, 且对任意实数x都有xf ( x ? 1) ? (1 ? x ) f ( x ) 5 0 则f [ f ( )] 的值为 __________ _ 2

提示:本题考查抽象函数解题中赋值法!

1.(09全国卷理Ⅰ改编)已知函数f(x)的定义域为R, 若函数f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则以下判断正确的 序号是________ ①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x+3)是奇函数 ④ f(x)=f(x+2) 分析:由函数f(x+1)与f(x-1)都是奇函数, 则f(-x+1)= -f(x+1), f(-x-1)= -f(x-1), 即f(-x+1)+f(x+1)=0, f(-x-1)+f(x-1)=0, ∴f(x)关于点(1,0)及点(-1,0)对称 即f(x)的一个周期为T=2[1-(-1)]=4 ∴f(-x-1+4)= -f(x-1+4),即f(-x+3)= -f(x+3), 故f(x+3)是奇函数


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