tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 高中教育 >>

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.3.2 函数的极值与导数 课时作业]


温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看 比例,答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。

课时提升作业(六)
函数的极值与导数

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.下列结论中,正确的是( A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x0 点附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 C.如果在 x0 点附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 D.如果在 x0 点附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 【解析】选 B.可根据可导函数极值的定义判断. 2.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极 小值,则函数 y=xf′(x)的图象可能是( ) )

【解析】选 C.由函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值可知 x<-2 时,f′(x)<0,则 xf′(x)>0;x>-2 时,f′(x)>0,则-2<x<0 时,xf′(x)<0,x>0 时,xf′(x)>0. 3.(2014·烟台高二检测)已知函数 f(x)=x2-2(-1)klnx(k∈N*)存在极值,则 k 的 取值集合是( )

A.{2,4,6,8,?} C.{1,3,5,7,?}

B.{0,2,4,6,8,?} D.N*

【解题指南】对 k 分奇偶讨论,对原函数求导,进而探求在导数为 0 的左右附 近,导数符号的变化,从而确定是否存在极值点. 【解析】选 A.因为 k∈N*,①当 k 的取值集合是{2,4,6,8,…}时,函数 f(x)=x2-2lnx,所以 f′(x)=2x- = ,由 f′(x)=0 得 x=1.当 x∈(1,

+≦)时,f′(x)>0;当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,所以 x=1 是函数的极值点. ②当 k 的取值集合是{1,3,5,7,…}时,函数 f(x)=x2+2lnx,所以 f′(x)=2x+ = ,由 f′(x)=0 得 x∈?.故此时原函数不存在极值点.故选 A. )

4.若函数 f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则( A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D.b<

【解析】选 A.由 f′(x)=3x2-3b=3(x2-b),依题意,首先要求 b>0,所以 f′(x)=3(x+ ∈(0,1). 【变式训练】若函数 f(x)=sinx-kx 存在极值,则实数 k 的取值范围是( A.(-1,1) C.(1,+∞) B.[0,1) D.(-∞,-1) ) )(x),由单调性分析,x= 有极小值,由 x= ∈ 得 b

【解析】选 A.因为函数 f(x)=sinx-kx,所以 f′(x)=cosx-k,当 k≥1 时, f′(x)≤0,所以 f(x)是定义域上的减函数,无极值;当 k≤-1 时,f′(x)≥0, 所以 f(x)是定义域上的增函数, 无极值; 当-1<k<1 时, 令 f′(x)=0, 得 cosx=k, 从而确定 x 的值,使 f(x)在定义域内存在极值,所以实数 k 的取值范围是(-1,

1).故选 A. 5.(2013·辽宁高考)设函数 f(x)满足 x2f′(x)+2xf(x)= ,f(2)= ,则 x>0 时, f(x)( )

A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 【解析】选 D.由题意知 f′(x)= = ,

令 g(x)=ex-2x2f(x),则 g′(x)=ex-2x2f′(x)-4xf(x) =ex-2(x2f′(x)+2xf(x))=ex=ex .

由 g′(x)=0 得 x=2,当 x=2 时, g(x)min=e2-2〓22〓 =0. 即 g(x)≥0,则当 x>0 时,f′(x)= 无极大值也无极小值. 6.(2013·福建高考)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点, 以下结论一定正确的是 ( A.? x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 【解析】选 D.对于 A 项,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,不一定是最大值点,因 ) ≥0,故 f(x)在(0,+≦)上单调递增,既

此不能满足在整个定义域上值最大; 对于 B 项, f(-x)是把 f(x)的图象关于 y 轴对称, 因此, -x0 是 f(-x)的极大值点; 对于 C 项,-f(x)是把 f(x)的图象关于 x 轴对称,因此,x0 是-f (x)的极小值点; 对于 D 项, -f(-x)是把 f(x)的图象分别关于 x 轴、 y 轴作对称, 因此-x0 是-f(-x) 的极小值点.故选 D. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·营口高二检测)已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=____________. 【解题指南】求导函数,确定函数的单调性,确定函数的极值点,利用函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,可得极大值等于 0 或极小值等于 0, 由此可求 c 的值. 【解析】求导函数可得 y′=3(x+1)(x-1),令 y′>0,可得 x>1 或 x<-1;令 y′ <0,可得-1<x<1;所以函数在(-≦,-1),(1,+≦)上单调递增,(-1,1)上单 调递减,所以函数在 x=-1 处取得极大值,在 x=1 处取得极小值,因为函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,所以极大值等于 0 或极小值等于 0, 所以-1+3+c=0 或 1-3+c=0,所以 c=-2 或 2. 答案:-2 或 2 【变式训练】已知函数 f(x)=x3-2x2+1+ mx-2 有极值,则 m 的取值范围为__. 【解析】f′(x)=3x2-4x+1+ m,要使 f(x)有极值,需使二次方程有两个不等根, 即Δ=(-4)2-4〓3 答案:m<1 8.(2014·徐州高二检测)已知函数 f(x)=x3-3x2,给出下列命题: >0? m<1.

(1)f(x)是增函数,无极值; (2)f(x)是减函数,无极值; (3)f(x)的递增区间是(-∞,0),(2,+∞); (4)f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值. 其中正确命题是________. 【解题指南】对函数 f(x)=x3-3x2 求导,由 f′(x)>0 得其单调增区间,f′(x)<0 得其单调减区间,问题即可得到解决. 【解析】 因为 f′(x)=3x2-6x, 由 f′(x)>0 得 x>2 或 x<0, 由 f′(x)<0 得 0<x<2, 所以 f(x)的增区间为(-≦, 0)及(2, +≦), 减区间为(0, 2), 所以(3)正确; f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值,(4)正确;而(1)(2)均错误. 答案:(3)(4) 9.(2014·石家庄高二检测)若函数 f(x)=x3+x2-ax-4 在区间(-1,1)上恰有一个 极值点,则实数 a 的取值范围为_____. 【解题指南】首先利用函数的导数与极值的关系,由于函数 f(x)=x3+x2-ax-4 在 区间(-1,1)上恰有一个极值点,所以 f′(-1)f′(1)<0,故可求实数 a 的取值 范围. 【解析】由题意,f′(x)=3x2+2x-a, 则 f′(-1)f′(1)<0,即(1-a)(5-a)<0, 解得 1<a<5,另外,当 a=1 时,函数 f(x)=x3+x2-x-4 在区间(-1,1)上恰有一个 极值点,当 a=5 时,函数 f(x)=x3+x2-5x-4 在区间(-1,1)没有极值点. 答案:[1,5) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

10.(2014·南京高二检测)已知函数 f(x)=kx3-3x2+1(k≥0). (1)求函数 f(x)的单调区间. (2)若函数 f(x)的极小值大于 0,求 k 的取值范围. 【解析】(1)当 k=0 时,f(x)=-3x2+1, 所以 f(x)的单调增区间为(-≦,0],单调减区间为[0,+≦). 当 k>0 时,f′(x)=3kx2-6x=3kx 所以 f(x)的单调增区间为(-≦,0], (2)当 k=0 时,函数 f(x)不存在极小值. 当 k>0 时,依题意 f = - +1>0, , ,单调减区间为 .

即 k2>4,由条件 k>0,所以 k 的取值范围为(2,+≦). 11.(2013·福建高考)已知函数 f(x)=x-alnx(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程. (2)求函数 f(x)的极值. 【解题指南】对函数求导,根据导数即切线斜率,求出切线方程;欲求极值, 先求单调性,要注意对参数 a 进行讨论. 【解析】函数 f(x)的定义域为(0,+≦),f′(x)=1- . (1)当 a=2 时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1- (x>0), 所以 f(1)=1,f′(1)=-1, 所以 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0. (2)由 f′(x)=1- = ,x>0 可知:

①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+≦)上的增函数,函数 f(x)无极值.

②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 因为 x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+≦)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-alna,无极大值. 综上:当 a≤0 时,函数 f(x)无极值, 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-alna,无极大值.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·哈尔滨高二检测)已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴相切于(1, 0)点,则 f(x)( )

A.极大值是 ,极小值是 0 B.极大值为 0,极小值为 C.极大值为 0,极小值为D.极大值为 ,极小值为【解题指南】对函数求导可得,f′(x)=3x2-2px-q,由 f′(1)=0,f(1)=0 可求 p,q,进而可求函数的导数,然后由导数判断函数的单调性,进而可求函数的 极值. 【解析】选 A.对函数求导可得,f′(x)=3x2-2px-q, 由 f′(1)=0,f(1)=0 可得 所以 f(x)=x3-2x2+x. 由 f′(x)=3x2-4x+1=0, 得 x= 或 x=1, 当 x≥1 或 x≤ 时, 函数单调递增; 当 <x<1 时,函数单调递减,所以当 x= 时,f(x)取极大值 ,当 x=1 时,f(x)取极小值 解得

0,故选 A. 2.函数 f(x)=2sinx-x,则有( A.x= 是极小值点 C.x= 是极大值点 ) B.x= 是极小值点 D.x= 是极大值点 =0,由图象可知,在 x= 左侧 f′(x)>0,

【解析】选 C.f′(x)=2cosx-1,f′

在 x= 右侧 f′(x)<0,所以 x= 是极大值点,故选 C. 3.(2014·杭州高二检测)设函数 f(x)=x3-4x+a,0<a<2.若 f(x)的三个零点为 x1, x2,x3,且 x1<x2<x3,则( A.x1>-1 C.x2>0 ) B.x2<0 D.x3>2

【解题指南】 利用导数研究函数的单调性, 利用导数求函数的极值, 再根据 f(x) 的三个零点为 x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,求得各个零点所在的区间,从而得出结 论. 【解析】选 C.因为函数 f(x)=x3-4x+a,0<a<2, 所以 f′(x)=3x2-4,令 f′(x)=0 可得 x=〒 因为在 在 上, 上, f ′ (x)>0. 故函数在 上是增函数. 是极小值. , <x2< , x3> . 上是增函数,在 上,f′(x)>0; .

f ′ (x)<0 ;在

上是减函数,在 故f 是极大值,f

再由 f(x)的三个零点为 x1, x2, x3, 且 x1<x2<x3, 可得 x1<根据 f(0)=a>0,且 f =a<0,

可得

>x2>0.故选 C.

4.(2014·铁岭高二检测)已知函数 f(x)= x3+ ax2+2bx+c(a,b,c∈R),且函数 f(x)在区间(0,1)内取得极大值,在区间(1,2)内取得极小值,则 z=(a+3)2+b2 的取值范围为( A. C.(1,2) 【解析】选 B.f′(x)=x2+ax+2b, 因为函数 f(x)在区间(0,1)内取得极大值, ) B. D.(1,4)

在区间(1,2)内取得极小值,所以



画出可行域如图所示,z=(a+3)2+b2 为可行域内的点到(-3,0) = , 距离的最大值为 2(最大、 .

的距离的平方, 由图可知, 距离的最小值为 小值均取不到),所以 z=(a+3)2+b2 的取值范围为 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

5.若函数 f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为________. 【解析】f′(x)=3x2-4cx+c2,f′(2)=c2-8c+12=0,c=2 或 6,c=2 时 f(x)在 x=2 处取极小值,c=6 时 f(x)在 x=2 处取极大值,故常数 c 的值为 6.

答案:6 6.(2014·广州高二检测)已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)·(x-a),若 f(x) 在 x=a 处取到极大值,则 a 的取值范围是____________. 【解题指南】 f(x)在 x=a 处取到极大值, 分析可得有 x<a 时, f′(x)>0, x>a 时, f′(x)<0,分 3 种情况讨论 x>a 时与 x<a 时的 f′(x)的符号,综合可得答案. 【解析】因为 f′(x)=a(x+1)(x-a)且 f(x)在 x=a 处取到极大值, 则必有 x<a 时,f′(x)=a(x+1)(x-a)>0,且 x>a 时, f′(x)=a(x+1)(x-a)<0, 当 a≥0 时,不成立, 当-1<a<0 时,有 x<a 时,f′(x)>0,x>a 时, f′(x)<0,符合题意; 当 a≤-1 时,有 x<a 时,f′(x)<0,x>a 时,f′(x)>0,f(x)在 x=a 处取到极小 值,不合题意, 综合可得:-1<a<0. 答案:(-1,0) 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.设函数 f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知 g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数. (1)求 b,c 的值. (2)求 g(x)的单调区间与极值. 【解析】(1)f′(x)=3x2+2bx+c, 所以 g(x)=f(x)-f′(x) =x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)

=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c. 又 g(x)是奇函数,所以 g(0)=-c=0, 由 g(-x)=-g(x)得 b-3=0, 所以 b=3,c=0. (2)由(1)知,g(x)=x3-6x, 所以 g′(x)=3x2-6, 令 g′(x)=0,得 x=〒 令 g′(x)>0,得 x<令 g′(x)<0,得所以(-≦,),( , 或 x> . , )是函数 g(x) 处,取得极小值 ;

<x<

,+≦)是函数 g(x)的递增区间,(处取得极大值为 4 ;在 x=

的递减区间,函数 g(x)在 x=为-4 .

【举一反三】若把题目中“g(x)=f(x)-f′(x)”改为“g(x)=f(x)+f′(x)” ,如 何求 b,c 的值? 【解析】f′(x)=3x2+2bx+c, g(x)=f(x)+f′(x)=x3+bx2+cx+(3x2+2bx+c)=x3+(b+3)x2+(c+2b)x+c. 又 g(x)是奇函数,所以 g(0)=c=0, 由 g(-x)=-g(x)得 b+3=0. 所以 b=-3,c=0. 【变式训练】(2013·重庆高考)设 f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中 a∈R,曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值.

(2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 【解题指南】直接根据曲线在(1,f(1))处的切线过点(0, 6)求出 a 的值,直 接求导得出函数的单调区间与极值. 【解析】(1)因为 f(x)=a(x-5)2+6lnx, 所以 f′(x)=2a(x-5)+ . 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-16a=(6-8a)(x-1), 因为点(0,6)在切线上, 所以 6-16a=8a-6,得 a= . (2)由(1)知,f(x)= (x-5)2+6lnx(x>0), f′(x)=x-5+ = ,

令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0, 故 f(x)在(0,2),(3,+≦)上为增函数; 当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 由此可知 f(x) 在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln2 ,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3. 8.(2014·江西高考)已知函数 f(x)=(x2+bx+b) (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值. (2)若 f(x)在区间 上单调递增,求 b 的取值范围. (b∈R).

【解题指南】(1)b=4 时,函数解析式具体,对函数求导,列表求函数的极值即可. (2)f(x)在区间 上单调递增即 f′(x)≥0 对 x∈ 恒成立,即转化为不等

式恒成立问题求解即可. 【解析】(1)当 b=4 时,f(x)=(x2+4x+4) f′(x)=(2x+4) = = = . ,x∈ ,

令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表: x f′(x) f(x) (-≦,-2) ↘ -2 0 极小值 (-2,0) + ↗ 0 0 极大值 ↘

所以 f(x)的极小值为 f(-2)=0,f(x)的极大值为 f(0)=4. (2)因为 f′(x)= ∈ ,f(x)在区间 上单调递增,所以 f′(x)≥0 对 x 恒成立.

恒成立,即 5x2+(3b-2)x≤0 对 x∈ 恒成立. 恒成立, ,

即 5x+3b-2≤0 对 x∈ 即 b≤- x+ 对 x∈ 令 g(x)=- x+ ,x∈ 则 g(x)>g

= .所以 b≤ .

关闭 Word 文档返回原板块


推荐相关:

...人教A版选修2-2)练习:1.3.2 函数的极值与导数 课堂达标.doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.3.2 函数的极值与导数 课堂达标 - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴...


...2)练习:1.3.3 函数的最大(小)值与导数 课时作业.doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.3.3 函数的最大(小)值与导数 课时作业 - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动...


...2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.3.2 函数的极值与....doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.3.2 函数的极值与导数 课时作业] - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标...


...选修2-2)练习:1.3.3 函数的最大(小)值与导数 课堂达标].doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.3.3 函数的最大(小)值与导数 课堂达标] - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,...


【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1章 导数及其...1≤a≤1,-1≤b≤1,则函数 y= x3-ax2+bx+5 有极值的概 率为( A. ...


2014-2015学年高中数学人教A版选修2-2第一章 1.3.3函数....ppt

2014-2015学年高中数学人教A版选修2-2第一章 1.3.3函数的最大(小)值与...1.3.2(二) 1.3.2 【学习要求】 利用导数研究函数的极值(二) 1. 理解...


...2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.7.2 定积....doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.7.2 定积分在物理中的应用 课时作业 - 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标...


【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:...2. (2014泉州高二检测)函数 y=2x2,则自变量从...若函数 g(x) 仅在 x=0 处 有极值,...


【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:1.6 微积分基本...1 +(- )| 12 =- . x 2 【误区警示】对于分段函数求积分可根据定积分的...


【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:...令 F′(x)=- +1= =0(x>0), 得惟一的极值...上是减函数; 当 0<a<4 时,y′>0,...


【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)练习:...(400-h2)h, 令 V′=0,得惟一极值点 h= ,...A.8 B. ) C.-1 D.-8 【解题指南】...


【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修1-....doc

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修1-2)练习:4.1


【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)....doc

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习:1.3.2函数的极值与导数] - 选修 2-2 第一章 1.3 1.3.2 ) 1.函数 f(x)的定义域...


【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.3.2 ....doc

2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.3.2 函数的极值与导数_数学_高中教育_教育专区。【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.3....


【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习:1.....doc

2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习:1.3.2函数的极值与导数 - 选修 2-2 第一章 1.3 1.3.2 ) 1.函数 f(x)的定义域为 R,导函数...


【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)....doc

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习:1.3.3函数的最大(小)值与导数] - 选修 2-2 22 A. 27 C.-1 [答案] C 第一章 1....


【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-....ppt

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:1.4 生活中的优化问题举例 - 1.4 生活中的优化问题举例 一、如何判断函数的单调性?...


...】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-1练习:3.3 ....doc

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-1练习:3.32课时 函数的极值与导数]_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教...


...】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第3....doc

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:312课时 函数的极值] - 第章 §1 第 2 课时 、选择题 1.下列各点是函数 y=1...


【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.3.3 ....doc

2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.3.3 函数的最大(小)值与导数_数学_高中教育_教育专区。【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com