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黑龙江省大庆市2013届高三数学下学期开学考试试题 理 新人教A版


大庆实验中学 2012-2013 学年度下学期开学考试 高三数学试题(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ? x (A) A

?

1 ? ?1?, B ? ?x ? 1 ? x ? 0?,则 x
A (C) A ? B (D) A ? B ? ?

B (B) B

(4)命题“ ?x ? R, e x ? 0 ”的否定是 (A) ?x ? R, e ? 0 (B) ?x0 ? R, e 0 ? 0
x
x

(C) ?x0 ? R, e 0 ? 0
x

(D) ?x ? R, e ? 0
x

(6)把边长为1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 CBD ,形成三棱 锥 C ? ABD 的 正 视 图 与 俯 视 图 如 下 图 所 示 , 则 侧 视 图 的 面 积 为 ( )

(A)

1 2

(B)

2 2

(C)

2 4

(D)

1 4

(7)已知数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,?an ? 的前 n 项和 为 Sn ,则使得 Sn 达到最大的 n 是 (A)18 (8)已知椭圆 (B)19 (C)20 (D)21

x2 ? y 2 ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,在长轴 A1 A2 上任取一点 M ,过 M 作垂直于 4


???? ???? ? A1 A2 的直线交椭圆于点 P ,则使得 PF1 ? PF2 ? 0 的点 M 的概率为(
(A)

2 3

(B)

6 3

(C)

2 6 3

(D)

1 2

(9)定义在 R 上的函数 f ( x) ? ?

?lg x ? 2 , x ? 2 ? 1, x?2

若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0
2

恰好有 5 个不同的实数解 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,则 f ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? ( (A) lg 2 (B) lg 4 (C) lg 8 (D)1



1

(10)给出四个命题,则其中正确命题的序号为 ①存在一个△ABC,使得 sinA+cosA=-1; ②△ABC 中,A>B 的充要条件为 sinA>sinB;

5? )图象的一条对称轴; 4 8 ④△ABC 中,若 sin2A=sin2B,则△ABC 一定是等腰三角形.
③直线 x=

?

是函数 y=sin(2x+

(A)①② 10.已知双曲线 0)到直线 (A) [

(B)②③

(C)③④

(D)①④

x2 y2 ? ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,离心率为 e,若点(-1,0)与点(1, a2 b2


x y 4 ? ? 1 的距离之和为 S,且 S ? c ,则离心率 e 的取值范围是( a b 5
(B) [ 2 , 7 ] (C) [ 5 , 7 ] 2 (D) [ 2 , 5 ]

5 , 5] 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题: (15) F , F2 是双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右焦点,点 P 在双曲线左支上不同 a 2 b2

于左顶点的任意一动点,圆 Q 与线段 PF1 延长线,线段 PF2 延长线,线段 F F2 均相切,则 1 圆心 Q 的轨迹方程是 (16)如图,已知 ?ABC 中,?ABC ? 90 ,延长 AC 到点 D ,连接 BD ,若 ?CBD ? 30
? ?

且 AB ? CD ? 1 ,求 AC 的长. 三、解答题: (17) (本小题满分 12 分)已知等比数列 {an } 的各项均为正 数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 {

1 } 的前 n 项和. bn

(18) (本小题满分 12 分)我市某学院为了调查本校学生 201 1 年 9 月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两小时)的天数情 况,随机抽取了 40 名本校学生作为样本,统计他们在该月 30 天内 健康上网的天数, 并将所得数据分成以下六组: 5], 1 O], [O, (5, ?, (25,30],由此画出样本的频率分布直方图,如图所示. (I)根据频率分布直方图,求这 40 名学生中健康上网天数超过 20 天的人数; (Ⅱ)现从这 40 名学生中任取 2 名, Y 为取出的 2 名学生中健 设 康上网天数超过 20 天的人数,求 Y 的分布列及其数学期望 E(Y).

2

(19) (本小题满分 12 分)17.如图所示的长方体 ABCD ? A B1C1D1 中,底面 ABCD 是边 1 长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,BB1 ? 2 ,M 是线段 B1D1 的 中点. (Ⅰ)求证: BM // 平面 D1 AC ; (Ⅱ)求证: D1O ? 平面 AB1C ; (Ⅲ)求二面角 B ? AB1 ? C 的大小. (21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? b ln x ,其中 b 为常数. (Ⅰ)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)当 b ? 0 时,求 f ( x ) 的极值点并判断是极大值还是极小值; (Ⅲ)求证对任意不小于 3 的正整数 n ,不等式

1 1 ? ln( n ? 1) ? ln n ? 都成立.: 2 n n

四、选做题.请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 直线 AB 经过⊙ O 上的点 C , 并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙ O 交直线 OB 于 E ,D , 连接 EC, CD . (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线; (Ⅱ)若 tan ?CED ?

1 , ⊙ O 的半径为 3 ,求 OA 的长. 2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ? ? y ? 3 sin ? ?

( ? 为参数) ,定点 A 0, ? 3 , F1 , F2 是圆锥曲线 C 的左,右焦点 (Ⅰ)以原点为极点, x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点 F 且平行于直线 1

?

?

AF2 的直线 l 的极坐标方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E , F 两点,求弦 EF 的长 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集;

3

(Ⅱ)若 ?x ? R , f ( x ) ? t ?
2

11 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

大庆实验中学 2012-2013 学年度下学期开学考试 数学试题(理科) 一、选择题: (1)C(2)D(3)C(4)B (5)A(6) D(7)C(8)B(9)C(10)B (11) A(12)A 二、填空题: (13) (14) (15) x ? a ? y ? ?a,或y ? a ? (16) 3 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

1 . 由条件可知 q ? 0 , 9 1 1 1 故 q ? . 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a1q ? 1 , 由 所以 a1 ? . 故数列 {an } 的通项式为 an ? n . 3 3 3
(17)1) ( 设数列 {an } 的公比为 q, a32 ? 9 2 6 由 aa
3 2 2 得 a3 ? 9a4 ? q ?

(2) b ? log a ? log a ? ? ? log a n 3 1 3 2 3 n



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

2n 1 . } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

(18)解:(Ⅰ)连接 D1O ,如图,∵ O 、 M 分别是 BD 、 B1D1 的中点, BD1D1B 是 矩形, ∴四边形 D1OBM 是平行四边形,∴ D1O // BM . ∵ D1O ? 平面 D1 AC , BM ? 平面 D1 AC , ?2 分

4

∴ BM // 平面 D1 AC .?????????? 4 分 (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接 D1O ,则点 O(1,1, 0) 、 D1 (0,0, 2) , ∴ OD1 ? (?1, ?1, 2) ∵ OD1 ? OB1 ? (?1, ?1, 2) ? (1,1, 2) ? 0 , OD1 ? AC ? (?1, ?1, 2) ? (?2,2,0) ? 0 ∴ OD1 ? OB1 , OD1 ? AC ,即 OD1 ? OB1 , OD1 ? AC , 又 OB1 ? AC ? O ,∴ D1O ? 平面 AB1C . (Ⅲ)∵ CB ? AB , CB ? BB1 ,∴ CB ? 平面 ABB1 , ∴ BC ? (?2,0,0) 为平面 ABB1 的法向量. ∵ OD1 ? OB1 , OD1 ? AC , ∴ OD1 ? (?1, ?1, 2) 为平面 AB1C 的法向量. ????????8 分

???? ?

???? ???? ?

???? ??? ? ?

???? ?

????

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

????

???? ?

??? ?

???? ?

1 , 2 ??? ???? ? ? ? ? ∴ BC 与 OD1 的夹角为 60 ,即二面角 B ? AB1 ? C 的大小为 60 .?14 分
∴ cos ? BC , OD1 ?? (19)解: (Ⅰ)由图可知,健康上网天数未超过 20 天的频率为

??? ???? ? ?

(0.01 ? 0.02 ? 0.03 ? 0.09) ? 5 ? 0.15 ? 5 ? 0.75 , ············ 2 分
∴ 健康上网天数超过 20 天的学生人数是

40 ? (1 ? 0.75) ? 40 ? 0.25 ? 10 . ················· 4 分
(Ⅱ)随机变量 Y 的所有可能取值为 0,1,2. ············· 5 分

所以 Y 的分布列为

Y P

0

1

2

29 52

5 13

3 52

··············· 11 分 ∴ E(Y)=0×

29 5 3 1 +1× +2× = . ··············· 13 分 52 13 52 2

5

(20) 20. (满分 12 分) (21) . 解: (1)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,

1 1 2( x ? ) 2 ? b ? b 2x 2 ? 2x ? b 2 2 ( x ? 0) f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? x x x 1 ? 当 b ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0,??) 上单调递增. 2
(2)当 b ? 0 时 f ?( x) ? 0 有两个不同解,

4分

x1 ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b ? , x2 ? ? 2 2 2 2 1 1 ? 2b ? ? 0 ? (0,??),舍去, 2 2 1 1 ? 2b ? ? 1 ? (0,??) , 2 2

x1 ?

而x2 ?

此时 f ?( x ) , f ( x ) 随 x 在定义域上的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0, x2 )
?


x2
0
极小值

( x2, ?) ?

?


由此表可知:? b ? 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点 , x ?
2

1 1 ? 2b , ? 2 2

8分

(3)由(2)可知当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? ln x , 此时 f ( x ) 有惟一极小值点 x ?

1 1 ? 2b 1 ? 3 ? ? 2 2 2

且 x ? (0,

1? 3 1? 3 )时,f ' ( x) ? 0, f ( x)在(0, )为减函数 2 2

6

1 4 1? 3 ? ? , n 3 2 1 1 1 ? 恒有 f(1) ? f (1 ? ),即恒有 0 ? 2 ? ln(1 ? ) n n n 1 ?当 n ? 3 时恒有ln(n ? 1) ? ln n ? 2 成立 n ? 当 n ? 3 时, ? 1 ? 1 ? 0

11 分

令函数 h( x) ? ( x ? 1) ? ln x (x ? 0)

则 h' ( x ) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x

? x ? 1 时,h' ( x) ? 0 ,又h( x)在x ? 1处连续? x ? [1,??)时h( x)为增函数 1 1 1 ? h(1 ? ) ? h(1) 即 ? ln(1 ? ) ? 0 n n n 1 1 ? ln(n ? 1) ? ln n ? ln(1 ? ) ? n n 1 1 综上述可知 n ? 3 时恒有 ? ln(n ? 1) ? ln n ? 2 n n ?n ? 3 时 1 ? 1?
四、(本小题满分 10 分) . 证明: (1)如图,连接 OC,? OA ? OB, CA ? CB,? OC ? AB

1 n

14 分

? OC 是圆的半径, ? AB 是圆的切线.-------------------------------3 分
(2) ED 是直径,? ?ECD ? 90? ,? ?E ? ?EDC ? 90? 又 ?BCD ? ?OCD ? 90 , ?OCD ? ?ODC,? ?BCD ? ?E, 又?CBD ? ?EBC ,
?

? ?BCD ∽ ?BEC ,?

BC BD ? ? BC 2 ? BD ? BE ,-----------5 分 BE BC

CD 1 ? , EC 2 BD CD 1 ?BCD ∽ ?BEC , ? ? -----------------------7 分 BC EC 2 tan ?CED ?
设 BD ? x, 则BC ? 2 x, ? BC ? BD ? BE ? (2x) ? x( x ? 6) ? BD ? 2 --------9 分
2 2

? OA ? OB ? BD ? OD ? 2 ? 3 ? 5 .------------------------10 分
23. (本小题满分 10 分)

7

24. (本小题满分 10 分)







1



1 ? ? ? x ? 3, x ? ? 2 ? 1 ? f ( x) ? ?3 x ? 1,? ? x ? 2 2 ? ? x ? 3, x ? 2 ? ?



----------------------------------------------------------2 分 当x? ? 当?

1 ,? x ? 3 ? 2, x ? ?5,? x ? ?5 2

1 ? x ? 2,3x ? 1 ? 2, x ? 1,?1 ? x ? 2 2

当 x ? 2, x ? 3 ? 2, x ? ?1,? x ? 2 综上所述

?x | x ? 1或x ? ?5?

.----------------------5 分

(2)易得 f ( x ) min ? ? 则只需 f ( x) min 综上所述

5 11 2 ,若 ?x ? R , f ( x ) ? t ? t 恒成立, 2 2 5 11 1 ? ? ? t 2 ? t ? 2t 2 ? 11t ? 5 ? 0 ? ? t ? 5 , 2 2 2

1 ? t ? 5 .------------------------------10 分 2

8


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