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2015年寒假高中数学联赛预习材料(数论)


QBXT/JY/YXCL2015/1-1-4

(2015 年寒假集中培训课程使用)

2015 年寒假高中数学联赛预习材料
(数论部分)

资料说明

本导学用于学员在实际授课之前,了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的 详细解读。本班型导学共由 4 份书面资料构成。

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2015-1 发布

清北学堂教学研究部

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2015 年寒假高中数学联赛预习材料(数论部分)

知识梳理........................................................................................................................................... 3 整除问题 .................................................................................................................................. 3 1、整数............................................................................................................................. 3 2、整除............................................................................................................................. 3 3、算术基本定理 ............................................................................................................. 4 4、裴蜀定理..................................................................................................................... 4 5、进位制......................................................................................................................... 4 6、高斯函数..................................................................................................................... 5 同余问题 .................................................................................................................................. 5 1、基本定义..................................................................................................................... 5 2、基本性质..................................................................................................................... 6 3、重要定理..................................................................................................................... 6 4、同余方程..................................................................................................................... 6 5、二次剩余..................................................................................................................... 8 不定方程整数解问题............................................................................................................... 8 1、公式法......................................................................................................................... 8 2、奇偶分析法 ............................................................................................................... 10 3、数或式的分解法 ....................................................................................................... 10 4、选择特殊模的方法 ................................................................................................... 10 5、不等式估计法 ........................................................................................................... 10 6、构造法....................................................................................................................... 10 7、换元法....................................................................................................................... 10 8、费尔马无穷递降法 ................................................................................................... 11 阶与原根 ................................................................................................................................ 11 1、阶的基本性质 ........................................................................................................... 11 2、原根存在的条件 ....................................................................................................... 11 格点计算 ................................................................................................................................ 12

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知识梳理
整除问题
整除相关问题是初等数论的基础。本部分需要重点掌握算术基本定理,裴蜀定理,辗转 相除法,高斯函数并对进位制有一定了解。 1、整数 定义:在集合观点下,整数是整数集合的简称,记为 Z。整数对“加、减、乘”三种运 算封闭,对“除、开方”运算不封闭。 分类: a.奇数和偶数 将全体整数分为两类,凡是 2 的倍数的数称为偶数,否则称为奇数。 奇数的平方都可以表示为 8m+1 的形式, 偶数的平方都可以表示为 8m 或 8m+4 的形式。 b.素数和合数 一个大于 1 的自然数,除了 1 和它本身外,不能被其他自然数整除(除 0 以外)的数称 之为素数(质数) ;否则称为合数。 素数有无穷多个。 2、整除 带余除法: 对任意整数 a, b 且 b ≠0 , 存在唯一的数对 q, r, 使 a=bq+r, 其中 0?r<|b|。 这个事实称为带余除法定理,是整除理论的基础。当 r=0 时,则称为 b 整除于 a,记为 b|a., 称 b 为 a 的约数。 公因数:若 c|a,c|b,则称 c 是 a,b 的公因数。若 d 是 a,b 的公因数,d?0,且 d 可被 a,b 的任意公因数整除,则称 d 是 a,b 的最大公因数。若 a,b 的最大公因数等于 1, 则称 a,b 互素。 公倍数: 两个整数公有的倍数称为它们的公倍数, 其中最小的一个正整数称为它们两个 的最小公倍数 最大公约数和最小公倍数的概念可以推广到有限多个整数的情形。 辗转相除法:累次利用带余除法可以求出 a,b 的最大公因数,这种方法常称为辗转相 除法。又称欧几里得算法。 常用性质: 1) (a,b)=1,[a,b]=ab 2) 若 m 是正整数,则 m[a,b]=[ma,mb] 3) 若 m 是整数, a|m,b|m,则 [a,b]|m 4) (a,b)[a,b]=ab 5)若 a| b, b |c ,则 a|c 6)若 a|c,则 ab| bc 7)若 a|b,b|a,则 a=b
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8) 若 ab 互质,若 a|c,b|c,则 ab|c 9) p 为质数,若 p| ab,则 p|a 或 p|b。 10)n 个连续整数中有且只有一个是 n 的倍数。 11)任何 n 个连续整数之积一定是 n 的倍数。 12)设 a 和 b 均与 m 互素,则 ab 也与 m 互素 13)若 b|ac,且 (b,c)=1,则 b|a 14)若 (a,b)=1,则 (ac,b)=(c,b) 15)两个整数分别除以它们的最大公约数,所得的商是互质数。 3、算术基本定理 算术基本定理:任何一个大于 1 的自然数 N,都可以唯一分解成有限个质数的乘积
?1 ?2 ?n N?P , 这里 Pi 质数,其诸方幂 ? i 是正整数。这样的分解称为 N 的标 1 ?P 2 ? ...? P n

准分解式。 应用: 1)一个大于 1 的正整数 N,如果它的标准分解式为: N ? P 1 ?P 2 ? ...? P n 那么 它的正因数个数为(1+a1)(1+a2).....(1+an)。 2)它的全体正因数之和为 d(N)=(1+P1+...P1^an)(1+P2+...P2^a2)...(1+Pn+...+Pn^an) 当 d(N)=2N 时就称 N 为完全数。 是否存在奇完全数,是一个至今未解决之猜想。 3) 利用算术基本定理可以重新定义整数 a 和 b 的最大公因子 (a,b) 和最小公倍数[a,b], 并证明 ab=(a,b)[a,b]. 4、裴蜀定理 若 a,b 是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数 x,y,ax+by 都一定是 d 的倍数, 地,一定存在整数 x,y,使 ax+by=d 成立。 推论:a,b 互质的充要条件是存在整数 x,y 使 ax+by=1. 5、进位制 正整数有无穷多个, 为了用有限的个数符号表示出无限个正整数, 前人发明了进位制。 10 是十进制的基,任何大于 1 的整数 r 均可作为 r 进位制的基。 自然数 N 的 r 进制是把 N 表示成 r 的 n 次多项式的形式。r 进制记数法的基本原 则是“逢 r 进 1” 。 不同进位制的数可以利用辗转相除法相互转换 。十进制数转换成 P 进制数是“除 P 取余”法,a 进制数转为 b 进制数,只需先把 a 进制数转换为十进制数,再由十进制数转 换为 b 进制数。 特别
?1 ?2 ?n

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6、高斯函数 记高斯函数为[ ], [x]表示不超过 x 的最大整数,{x}=x-[x],即 x 的小数部分。要特别注意 当 x 为负数时的情况。高斯函数常常与不等式结合使用 贝蒂瑞利定理:设 a,b 为无理数,且 ab=a+b,则{[an]},{[bn]}为互补数列 常用性质: 1)x=[x]+{x} 2)x-1<[x] ? x<[x]+1 3) [n+x]=n+[x],n 为整数 4)f(x)=[x]是不减函数。 f(x)={x}是周期函数,其周期为任意正整数,最小正周期是 1 5)[x]+[y] ? [x+y] ? [x]+[y]+1 6)如果 n 为正数,则[nx] ? n[x] 7).如果 n 为正数,则[x/n] ? [[x]/n] 8)厄尔米特恒等式:对任 x 大于 0,恒有[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+? ?+[x+(n-1)/n]=[nx]。

同余问题
同余是数论中的重要概念,同余理论是研究整数问题的重要工具之一。本部分介绍同 余的基本概念、剩余类和完全剩余类、同余方程和中国剩余定理。其中同余和剩余类是学习 的重点。 1、基本定义 同余:设 m 是一个给定的正整数,如果两个整数 a,b 用 m 除所得的余数相同,则称 a,b 对模 m 同余,记作 a≡b( mod m)。对模 m 同余是整数的一个等价关系。 等价定义: (1)若 m|a? b,则称 a,b 对模 m 同余 (2)若 a=b+mt(t ∈Z),则称 a,b 对模 m 同余 剩余类:设 m∈N?,把全体整数按其对模 m 的余数 r(0?r?m? 1)归于一类,记为,每 一类均称为模 m 的剩余类(又叫同余类) 。同一类中任一数称为该类中另一数的剩余。剩余 类 Kr 是数集 Kr={qm+r} ( m 是模,r 是余数,q∈Z) , 也 即 Kr ={a|a∈Z,a≡r( mod m)}, 它是一个公差为 m 的(双边无穷)等差数列。 完全剩余系:设 是模 m 的(全部)剩余类,从每个 Kr 中任取一个数 Ar ,这 m 个数 组成一个组称为模 m 的一个完全剩余系,简称完系。 简化剩余系:若整数 A1,A2,...,Am 模 n 分别对应 0,1,2,...,n-1 中所有 m 个与 n 互素的自 然数,则称集合{A1,A2,...,Am}为模 n 的一个简化剩余系,简称缩系, 缩系性质:若{A1,A2,...,Am}为模 n 的一个缩系,(k,n)=1,则{k*A1,k*A2,...,k*Am}也为模 n 的 一个缩系 m 为一正整数, 欧拉函数: 把 中与 m 互质的数的个数叫做 m 的欧拉函数, 记为 ? (m)。
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2、基本性质 1)反身性 a≡a (mod m) 2)对称性 若 a≡b(mod m),则 b≡a (mod m) 3)传递性 若 a≡b (mod m),b≡c (mod m),则 a≡c (mod m) 4)同余式相加 若 a≡b (mod m),c≡d(mod m),则 a+c≡b+d (mod m) 5)同余式相乘 若 a≡b (mod m),c≡d(mod m),则 ac≡bd (mod m) 6)幂运算如果 a ≡ b (mod m),那么 a^n ≡ b^n (mod m) 7)若 a ≡ b (mod m),n|m,则 a ≡ b (mod n) 8)若 a ≡ b (mod mi) (i=1,2...n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn] 表示 m1,m2,...,mn 的最小公倍数 3、重要定理

欧拉定理:设 a,m∈N,(a,m)=1,则 a ?(m) ≡1(mod m)(注:φ(m)指模 m 的简系个数,如果

1m 是素数,φ(m)=m-1; m ? P 1 ?P 2 ? ...? P n , 则φ(m)=m (
推论:

?1

?2

?n

1 1 1 )( 1 )..( 1 )) p2 pn p1

费马小定理:若 p 为质数,则 a^p ≡ a (mod p) 即 a p-1 ≡ 1 (mod p) 中国剩余定理 (孙子定理) : 设 n ? 2, m1 , m2 ,..., mn 是两两互质的正整数, 记 M ? ? mi ,

M i ? M / mi (i=1,2,...,n)则同余方程 x ? ci (mod mi ) 有且只有解 x≡∑Mi ? i ci (mod M)
其中 Mi ? i ≡1(mod M),i=1,2,...n 威尔逊定理:设 p 是素数,则(p? 1)!≡? 1(mod p) 4、同余方程

n n ?1 设 f(x) ? an x ? an ?1 x ? ... ? a0 为 x 的整系数多项式

一元 n 次同余方程:同余式 f(x)≡0 (mod m), ai ? 0 (mod m)叫做一元 n 次同余方程 同余方程的解: 若 c 满足 f(c)≡0, 则 x≡c(mod m) 叫做同余方程 f(x)≡0(mod m)的一个 解 1)一次同余方程 定义:x ≡b(mod m), m 不整除 a 称为一次同余方程

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定理:若(a,m)=1,则 ax ≡b(mod m)有一个解。 定理:若(a,m)= d >1,d 不整除 b,则 ax ≡b(mod m)无解,其中 a 不同余 0(mod m) 定理:若(a,m)=d>1 ,d|b,则 ax ≡b(mod m)有 d 个解,若 ? x≡ ? (mod m1 ) 的一个解 x ≡ r+k m1 (mod m), k=0,1...,d-1 其中 ? = 为 x≡r(mod m1 ), 则 d 个解为: 推论:一次同余方程 ax ≡b (mod m),(a,m)=1 的解法 解法 1:因 (a, m) = 1,则存在二数 s,t,使得 as+mt =1,即 as ≡1(mod m),由此有 asx ≡bs (mod m),于是 x≡bs(modm)为原方程的解 解法 2:原方程变形为 x≡b /a (modm)( b /a 仅只是形式上的记号),然后用与 m 互质 的数陆续乘右端的分子分母,直至把分母绝对值变成 1(通过分子分母各对模 m 取余数) 而得到解 解法 3: 利用欧拉定理。 因 a ?(m) ≡1(modm) , 由 ax ≡b(modm)可得 a ?(m) x≡b? a?(m) -1 (modm),从而有解。x≡b a?(m) -1 (modm) 2) 一次同余方程组 定义 :若数 r 同时满足 n 个同余方程: f k ( x) ? 0(mod mk ) ,k=1,2...n ,则 r 叫做这 n 个同余方程组成的同余方程组的解 定理 :对同余方程组

b m a , ? = , m1 = . d d d

x ? c1 (mod m1 ) x ? c2 (mod m2 )
(1) 若 d 不整除 c1 ? c2,则此同余方程组无解 (2) 若 d|c1 ? c2,则此同余方程组有对模 M 的一类剩余解。 定理 :p 为素数, ? ? ? , 同余方程组

x ? c1 (mod p1 ) x ? c2 (mod p2 ) 的解就是 x ? c1 (mod p1 ) 的解(即有解时等价)
定理:设 N ? P 1 ?P 2 ? ...? P n ,则 x ? a(mod n)等价于方程组
?1 ?2 ?n
?

?

?

x ? a(mod p1 1 )
。 。 。

?

x ? a(mod pn n )

?

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5、二次剩余 若(a,m)=1,x 2 ≡ a(mod m)有解,则称 a 为模 m 的二次剩余(或平方剩余) ; 否 则,称 a 为模 m 二次非剩余(或平方非剩余) 欧拉给出了判别条件:若 p 是奇素数, (a,p)=1,则 a 是模 p 的二次剩余的充分必 要条件为 a
p -1 2 p -1 2

≡1(mod p ) ;a 是模 p 的二次非剩余的充分必要条件为 a

≡-1(modp)。

勒让德符号 :(

q )≡q p

p -1 2

(mod p )=1 或-1

高斯二次互反定律若 p,q 为不同的奇素数,则 (

p q (p -1)(q-1) ) ( )=(-1) 4 q p

不定方程整数解问题
所谓不定方程(组) ,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制(如 整数,正整数或有理数)的方程(组) 。 对于一个一般得不定方程(组) ,除个别情况下,通常没有一个统一的解法,而且有许 多不定方程) (组) ,目前还无法判断其是否有解,因此,必须对给定的不定方程(组)的具 体形式进行分析,确定解题方向。下面介绍几种常见的方法。 1、公式法 (1) 一次不定方程 在不定方程和不定方程组中,最简单地不定方程是整系数方程 ax+by+c=0,(a>b,b≠0) 通常称之为二元一次不定方程。 定理 1:二元一次不定方程 ax+by=c,(a,b,c∈Z)有正整数解的充要条件是 (a,b)|c 定理 2: 若 (a,b) = 1,且 x0 , y0 为 ax+by+c=0,(a>b,b≠0)之一解, 则其全部解为 x = x0 + bt , y = y0 ? at ( t∈Z)

(2) 佩尔(pell)方程 二元二次不定方程本质上归结为(双曲型)方程 x 2 ? dy2 =c 的研究,其中 d,c 都是整 数,d >0 且非平方数,而 c≠0. 一般形式可写为 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 特别的, x ? dy
2 2

=1 称为佩尔方程。

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定理 1: 佩尔方程必有一组正整数解 定理 2: 佩尔方程有无穷多组正整数解。且设(x 1 ,y 1 )是佩尔方程的正整数解(x,y)中使 x+

d y 最小的解,则佩尔方程的全部正整数解为(x 1 +

d y 1 ) n =x n +

d yn

实际上有递推关系成立 x n =2x 1 x n -1 -x n -2 , y n = 2x 1 y n -1 -y n -2 定理 3:对于 x 2 ? dy2 =c,若存在一组解( x0 , y0 ) ,且 x 2 ? dy2 =1 的解为(x 1 ,y 1 ),则全 部正整数解为( x0 ? d y0 )(x 1 + (3)勾股方程 x 2 ? y 2 ? z 2 方程 x 2 ? y 2 ? z 2 满足(x,y)=1,z|y 的全部正整数解(x,y,z)可以表示为 x=a 2 -b 2 , y=2ab,z=a 2 +b 2 ,其中,a,b 是满足 a>b>0,a,b 一奇一偶,且(a,b)=1 的任意整数。 (4)平方数问题 定理 1:若素数 P ? 1 (mod4) ,则 p 必可表示成两平方数之和 定理 2:若正整数 N 可以表示成两个整数的平方之和,则在它的标准分解式
?1 ?2 ?n N?P 1 ?P 2 ? ...? P n 中形如 4k+3 的素因子幂次必为偶数。

d y 1 ) n =x n +

d yn

定理 3: (拉格朗日四平方和定理)任一正整数可表示为 4 个整数平方之和 定理 4:形如 4 M (8K+7)的正整数不可表示为 3 个整数平方之和 此外,整数的幂次还有一些简单的性质和结论 1) 平方数的个位素质只能是 0,1,2,4,5,6,9 2) 偶数的平方数是 4 的倍数,奇数的平方数被 8 除余 1,即任何平方数被 4 除 的余数只能是 0 或 1. 3) 奇数平方的十位数字是偶数 4) 十位数字是奇数的平方数的个位数一定是 6 5) 不能被 3 整除的数的平方被 3 除余 1,能被 3 整除的数的平方也能被 3 整除。因 而,平方数被 9 除的余数为 0,1,4,7,且此平方数的各位数字的和被 9 除的余数也只能 是 0,1,4,7 6) 平方数的约数的个数为奇数 7) 任何四个连续整数的乘积加 1,必定是一个平方数 (5)xy= zt 设(x,z)=a,则 x=ac,z=ad,其中(c,d)=1,故 acy=adt ,即 cy=dt ,因(c,d)=1,所以 d |y, 设 y = bd,则 t = bc,因此方程 xy= zt 的正整数解可以表示为 x=ac,y=bd,z=ad,t =bc(a,b,c,d∈Z+,(c,d)=1)

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2、奇偶分析法 整数分为奇数和偶数两类,所以解不定方程可以从未知数、系数的奇偶性入手,讨论 取值的可能情形, 一方面可以达到缩小未知数的取值范围, 得出方程的解或证明方程无整数 解等;另一方面又可用 2n 或 2n±1 代入方程,使方程变形成更便于讨论的等价方程,从这 两个方面可以看出,奇偶分析方法的使用范围是很广泛的。 3、数或式的分解法 这种方法的目的是增加方程的个数。先把方程变形、分解,将含未知数的代数式化为 积的形式, 把常数写成标准分解式, 然后利用整数的唯一分解定理将原方程转换成若干个方 程组求解。 4、选择特殊模的方法 选择某些特殊的数 m 作为模来讨论解的可能情况是解不定方程的一种重要方法。 这种方法主要表现在两个方面: 1)讨论方程某部分关于模 m 的余数的可能情况; 2)利用方程两边关于模 m 同余,来讨论未知数的取值范围。 特别地,当 m=2 时, 这种方法称为奇偶分析法。 5、不等式估计法 通过对所考察量的放大、缩小得到未知数取值条件的不等式,解这些不等式就得到未 知数取值范围,从而达到求解目的。 一般地,当方程的一个含未知数项的次数比其他项都高时,或者当某一个未知数的各 项关于该未知数相同时,可考虑通过除以一式,将方程变形为带分式的形式,并通过不等式 估计求解。 6、构造法 对于某些存在性命题,常采用构造法,构造一些数学模型来解决。 7、换元法 若能判断不定方程的未知数之间有倍数关系,则常使用换元法消去未知数或倍数,使 方程简化。

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8、费尔马无穷递降法 费尔马无穷递降法的逻辑步骤如下: (1)若一个命题 P(n)对若干个正整数 n 正确,则在这 n 个数中必有一最小者。 (2) 若 P(n)对于某 n 正确,则有一正整数 n'<n,使 P(n')也正确 若以上两步骤都获得 证明,则命题 P(n)不成立 费尔马无穷递降法可解决两方面问题 (1) 证明不定方程无解 (2)证明不定方程有无限多解,并给出求全部解的方法。

阶与原根
1、阶的基本性质 定义 1:设 m > 1,(a, m) = 1,则使 a r ? 1 (mod m) 成立的最小的正整数 r,称为 a 对模 m 的指数,记为?m(a),在不致误会的情况下,简记为?(a)。 由 Euler 定理,恒有?m(a) ? ?(m)。 若 a ? b (mod m),(a, m) = 1,则显然有?m(a) = ?m(b)。 定义 2:若?m(a) = ?(m),则称 a 是模 m 的原根。 定理 1 定理 2 推论 定理 3 记? = ?m(a),则 a0, a1, ?, a ? ? 1 对模 m 两两不同余。 r 与 r?是正整数, 设? = ?m(a), 则 a r ? a r ? (mod m) 的充要条件是 r ? r ? (mod ?)。 特别地,a r ? 1 (mod m)的充要条件是??r。 ?m(a)??(m)。 设 k 是非负整数,则

? m (a k ) ?
推论 定理 4 定理 5

? m (a) 。 (? m (a), k )

若?m(a) = kl,k > 0,l > 0,则?m(ak) = l。 等式?m(ab) = ?m(a)?m(b)与(?m(a), ?m(b)) = 1 是等价的。 b, 设 m 是正整数。 对任意的整数 a, 一定存在整数 c, 使得?m(c) = [?m(a), ?m(b)]。

2、原根存在的条件 定理 1 模 m 有原根的必要条件是 m = 1,2,4,p?或 2p?,其中 p 是奇素数,? ? 1。

定理 2 设 p 是奇素数,m = 2,4,p?,2p?,则模 m 有原根。

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定理 3

设 m > 1,?(m)的所有不同的素因数是 p1, p2, ?, pk,(g, m) = 1,则 g 是模 m
? ( m)
pi

的原根的充要条件是 g

? ?

1 (mod m),1 ? i ? k。

格点计算
1、格点多边形的面积必为整数或半整数(奇数的一半) 。 2、格点关于格点的对称点为格点。 3、格点多边形面积公式 设某格点多边形内部有格点 a 个,格点多边形的边上有格点 b 个,该格点多边形面积 为 S,则根据匹克公式有 S=a+b/2-1。 4、格点正多边形只能是正方形。 5、格点三角形边界上无其他格点,内部有一个格点,则该点为此三角形的重心。

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