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2014年北京市海淀区2014年中考一模数学试卷(纯WORD版,含答案)


北京市海淀区 2014 年中考一模 数学试卷
2014.5

1.本试卷共 6 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分。考试时间 120 分钟。 考 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 生 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 须 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的. ..
1 1. ? 的绝对值是( ) 3

A. ? 3

B. 3

C. ?

1 3

D.

1 3

2.据教育部通报, 2014 年参加全国硕士研究生入学考试的人数约为 1720000.数字 1720000 用科学记数法表示为( )

A. 17.2 ?105

B. 1.72 ?106

C. 1.72 ?105

D. 0.172 ?107

3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(



A

B

C

D

4.一个不透明的盒子中放有 4 个白色乒乓球和 2 个黄色乒乓球,所有乒乓球除颜色外完全 相同,从中随机摸出 1 个乒乓球,摸出黄色乒乓球的概率为( A.
2 3

) D.
1 6

B.

1 2
1

C.

1 3

5.如图,AB 为⊙O 的弦,OC⊥AB 于 C,AB=8,OC=3,则⊙O 的半径长为( A. 7 C.4 ) B.3 D .5
A O C
2

B

6.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数 x 与方差 s : 甲 平均数 x (cm) 方差 s (cm2)
2

乙 560 3.5

丙 561 15.5

丁 560 16.5

561 3.5

根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择( ) A.甲 7.如图,在 B.乙 C.丙 D.丁

ABCD 中,∠ABC 的平分线交 AD 于 E, ) B.130° D.100°

A

E

D

∠BED=150°,则∠A 的大小为( A.150° C.120°

B
P

C

8. 如图, 点 P 是以 O 为圆心, AB 为直径的半圆的中点, AB=2, 等腰直角三角板 45°角的顶点与点 P 重合, 当此三角板绕 点 P 旋转时,它的斜边和直角边所在的直线与直径 AB 分别 相交于 C、 D 两点. 设线段 AD 的长为 x , 线段 BC 的长为 y , 则下列图象中, 能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是 ( )
A C

O

D

B

y

y

y

y

2

2

2

2

1

1

1

1

O

1

2 x

O

1

2 x

O

1

2 x

O

1

2 x

A

B

C

D

2

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.分解因式: xy 2 ? 4x = .

10. 已知关于 x 的方程 x 2 ? 2 x ? a ? 0 有两个不相等的实数根, 则 a 的取值范围是_________. 11.如图,矩形台球桌 ABCD 的尺寸为 2.7m ? 1.6m, 位于 AB 中点处的台球 E 沿直线向 BC 边上的点 F 运 动,经 BC 边反弹后恰好落入点 D 处的袋子中,则 BF 的长度为 m.
A E D 1.6m

B

F 2.7m

C

12.在一次数学游戏中,老师在 A、 B、 C 三个盘子里分别放了一些糖果,糖果数依次为 a 0 ,
b0 , c0 ,记为 G0 ? ( a 0 , b0 , c0 ). 游戏规则如下: 若三个盘子中的糖果数不完全相

同,则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个,给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子 中的糖果数相同,且都多于第三个盘子中的糖果数,则从这两个盘子字母序在前的盘子 中取糖果) ,记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同,游戏结束.
n 次操作后的

糖果数记为 Gn ? ( a n , bn , c n ) . (1)若 G0 ? (4,7,10) ,则第_______次操作后游戏结束; (2)小明发现:若 G0 ? (4,8,18) ,则游戏永远无法结束,那么 G2014 ? ________. 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)
?1 0 13.计算: (3 ? π) ? 2 tan 60 ? ? ( ) ? 27 .

1 3

?4 x ? x ? 9, ? 14. 解不等式组: ?1 ? 3x ? 2 x. ? ? 2
15. 已知 x2 ? 3x ? 4 ? 0 ,求代数式 ( x ? 3)2 ? ( x ? 3)(2 x ? 3) 的值. 16. 如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90? , D 是 AC 上的一点, 且 AD=BC, DE ? AC 于 D, ∠EAB=90? . 求证:AB=AE.
C D A B E

3

17.列方程(组)解应用题: 某市计划建造 80 万套保障性住房,用于改善百姓的住房状况. 开工后每年建造保障 性住房的套数比原计划增加 25%,结果提前两年保质保量地完成了任务. 求原计划每年 建造保障性住房多少万套?

18.如图,在平面直角坐标系 中,一次函数 (a 为常数)的图象与 轴相交于点 A,与函 数 的图象相交于点 B , . (1)求点 B 的坐标及一次函数的解析式; (2)若点 P 在 y 轴上,且△PAB 为直角三角形,请直接写出点 P 的坐标.

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90? ,∠ABC=30? ,BC= 2 3 错误!未找到引用源。 ,以 AC 为边在△ABC 的外部作等边△ACD,连接 BD. (1)求四边形 ABCD 的面积; (2)求 BD 的长.
D C

A

B

4

20. 社 会 消 费 品 通常按类别分为:吃类商品、穿类商品、用类商品、烧类商品,其零 售 总 额 是反映居民生活水平的一项重要数据. 为了了解北京市居民近几年的生活水平,小红参考北京统计信息网的相关数据绘制 了统计图的一部分:
北京市 2009 至 2013 年社会消费品
总额/亿元

北京市 2013 年各类社会消费品 零售总额分布统计图
烧类商品 7.2% 吃类商品

零售总额统计图

5310

6229

6900

7703 8.7% 64.1% 用类商品 年份 穿类商品

(1)北京市 2013 年吃类商品的零售总额占社会消费品零售总额的百分比为 ; (2)北京市 2013 年吃类商品零售总额约为 1673 亿元,那么当年的社会消费品零售总额 约为 亿元;请补全条形统计图,并标明相应的数据 ; ....... (3)小红根据条形统计图中的数据,绘制了北京市 2010 至 2013 年社会消费品零售总额 年增长率统计表(如下表),其中 2013 年的年增长率为 (精确到 1%); 请你估算,如果按照 2013 年的年增长率持续增长,当年社会消费品零售总额超过 10000 亿元时,最早要到 年(填写年份).
北京市 2010 至 2013 年社会消费品零售总额年增长率统计表

2010 年 年增长率(精确到 1%) 17%

2011 年 11%

2012 年 12%

2013 年

21.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 与边 BC、AC 分别交于 D、E 两点, DF ? AC 于 F. (1)求证:DF 为⊙O 的切线; (2)若 cosC=

3 ,CF=9,求 AE 的长. 5
D

C F E B O A

5

22.阅读下面材料: 在学习小组活动中,小明探究了下面问题:菱形纸片 ABCD 的边长为 2,折叠菱形 纸片,将 B、D 两点重合在对角线 BD 上的同一点处,折痕分别为 EF、GH.当重合点 在对角线 BD 上移动时,六边形 AEFCHG 的周长的变化情况是怎样的? 小明发现:若∠ABC=60° , ①如图 1, 当重合点在菱形的对称中心 O 处时, 六边形 AEFCHG 的周长为_________; ②如图 2,当重合点在对角线 BD 上移动时,六边形 AEFCHG 的周长 变”或“不变” ). 请帮助小明解决下面问题: 如果菱形纸片 ABCD 边长仍为 2,改变∠ABC 的大小,折痕 EF 的长为 m. (1)如图 3,若∠ABC=120° ,则六边形 AEFCHG 的周长为_________; (2)如图 4,若∠ABC 的大小为 ,则六边形 AEFCHG 的周长可表示为________.
A
A E B F C G D H

(填“改

A E G

E G
D H

A E G

O

B

B H F C

D

B H F C

D

F C

图1

图2

图3

图4

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y ? mx2 ? ( m ? n) x ? n( m ? 0) 的图象与 y 轴正 半轴交于 A 点. (1)求证:该二次函数的图象与 x 轴必有两个交点; (2)设该二次函数的图象与 x 轴的两个交点中右侧的交点为点 B,若 ?ABO ? 45? , 将直线 AB 向下平移 2 个单位得到直线 l,求直线 l 的解析式; (3)在(2)的条件下,设 M ( p, q) 为二次函数图象上的一个动点,当 ?3 ? p ? 0 时, 点 M 关于 x 轴的对称点都在直线 l 的下方,求 m 的取值范围.
y
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

-1

O

1

2

3

4

5

x

6

-2 -3 -4 -5

24.在△ABC 中,AB=AC,将线段 AC 绕着点 C 逆时针旋转得到线段 CD,旋转角为 ? ,且

0? ? ? ? 180?

,连接 AD、BD.

(1)如图 1,当∠BAC=100°, ? ? 60? 时,∠CBD 的大小为_________; (2)如图 2,当∠BAC=100°, ? ? 20? 时,求∠CBD 的大小; (3)已知∠BAC 的大小为 m( 60? ? m ? 120? ) ,若∠CBD 的大小与(2)中的结果 相同,请直接写出 ? 的大小.
A

A

D
B C

B
D

C

图1

图2

25. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P (a, b) ,若点 P ' 的坐标为( a ? 为常数,且 k ? 0 ) ,则称点 为点 P 的“ k 属派生点” . 例如: P (1,4)的“2 属派生点”为 P '(1 ?

b , ka ? b ) (其中 k k

4 , 2 ? 1 ? 4) ,即 P ' (3,6) . 2

(1)①点 P(-1,-2)的“2 属派生点” P ' 的坐标为____________; ②若点 P 的“k 属派生点” P ' 的坐标为(3,3),请写出一个符合条件的点 P 的 坐标____________; (2)若点 P 在 x 轴的正半轴上,点 P 的“k 属派生点”为 点,且△ 为等腰直角三角 形,则 k 的值为____________; (3)如图, 点 Q 的坐标为(0, 4 3 ),点 A 在函数

y??

4 3 ( x ? 0) 的图象上, 且点 A 是点 B 的 “? 3 x
7

属派生点”,当线段 B Q 最短时,求 B 点坐标.

海淀区九年级第二学期期中测评
数学试卷答案及评分参考
2014.5 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 1 D 2 B 3 A 4 C 5 D 6 A 7 C 8 C

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9 10 11 0.9 12

x( y ? 2)( y ? 2)

a ?1

3;

(11,9,10)

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)
?1 13. 解: (3 ? π)0 ? 2 tan 60 ? ? ( ) ? 27

1 3

=1 ? 2 3 ? 3 ? 3 3 …………………………………………………………………4 分 =4 ? 3 . ……………………………………………………………………………5 分

14. 解: ?1 ? 3x

?4 x ? x ? 9, ① ? ? 2 x. ② ? ? 2

由①,得 x ? ?3 , ……………………………………………………………………2 分 由②,得 x ? 1 , ……………………………………………………………………4 分 ∴原不等式组的解集为 ?3 ? x ? 1 . …………………………………………………5 分 15. 解: ( x ? 3)2 ? ( x ? 3)(2 x ? 3)
=x2 ? 6 x ? 9 ? 2 x2 ? 3x ? 9
=3 x 2 ? 9 x.

……………………………………………………………………………3 分

8

x2 ? 3x ? 4 ? 0,
? x 2 ? 3x ? 4.
2 ………………………………………………………5 分 ∴原式 ? 3 x ? 3x =3 ? 4=12.

?

?

16. 证明: ∵∠EAB=90? , ∴∠EAD+∠CAB =90? . ∵∠ACB=90? , ∴∠B+∠CAB =90? . ∴∠B=∠EAD. ∵ED ? AC, ∴∠EDA=90? . ∴∠EDA=∠ACB.

E

C D A B

……………………………………………………………………1 分

………………………………………………………………2 分

在△ACB 和△EDA 中,
??B ? ?EAD, ? ? BC ? AD, ??ACB ? ?EDA, ?

∴△ACB≌△EDA .

……………………………………………………………4 分

∴AB=AE. …………………………………………………………………………5 分 17. 解:设原计划每年建造保障性住房 x 万套. 根据题意可得: ………………………………………1 分

80 80 ? ? 2 . ……………………………………………2 分 x (1 ? 25%) x 解方程,得 x ? 8 . …………………………………………………………………3 分 x ? 8 经检验: 是原方程的解,且符合题意. ………………………………………4 分
答:原计划每年建造保障性住房 8 万套. ……………………………………………5 分 2 1) 在 y ? ( x ? 0) 的图象上, 18.解: (1)∵B (m, x ∴ m ? 2. ∴B (2 , 1) . …………………………………………………………………………1 分
9

∵B (2 , 1) 在直线 y ? ax ? a (a 为常数)上, ∴ 1 ? 2 a ? a, ∴ a ? 1. ……………………………………………………………………………2 分 …………………………………………………3 分

∴一次函数的解析式为 y ? x ? 1.

(2)P 点的坐标为(0,1)或(0,3) . ……………………………………………5 分

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19. 解: (1)∵在△ABC 中,∠ACB=90? ,∠ABC=30? , BD ? 2 3 , ∴ cos ?ABC ? ∴ AB ?

BC 1 , AC ? AB , ?BAC ? 90 ? ?ABC ? 90 ? 30 ? 60 . AB 2

BC 2 3 1 ? ? 4, AC ? ? 4 ? 2 . …………………………1 分 cos ?ABC cos 30 2

∵△ACD 为等边三角形, ∴ AD ? CD ? AC ? 2 , ?DAC ? 60 . 过点 D 作 DE ? AC 于 E , 则
D C

DE ? AD sin ?DAC ? 2 ? sin 60 ? 3 .
∴ S四边形ABCD ? S△ABC ? S△ACD
F
A

E
B

1 1 AC ? BC ? AC ? DE 2 2 1 1 ? ? 2? 2 3 ? ? 2? 3 ? 3 3 . 2 2 (2)过点 D 作 DF ? AB 于 F . ?

………………………………………3 分

∵ ?DAF ? 180 ? ?BAC ? ?DAC ? 180 ? 60 ? 60 ? 60 , ∴ DF ? AD ? sin ?DAF ? 2sin 60 ? 3 .

AF ? AD ? cos ?DAF ? 2cos 60 ? 1 . ………………………………………4 分
∴ BF ? AB ? AF ? 4 ? 1 ? 5 . ∵ DF ? AB , ∴在 Rt△BDF 中, BD2 ? DF 2 ? BF 2 ? ( 3)2 ? 52 ? 28 . ∴ BD ? 2 7 . …………………………………………………………………5 分

10

20. 解: (1)20.0%; ……………………………………………………………………1 分 (2)8365; ……………………………………………………………………………2 分
北京市 2009 至 2013 年社会消费品
总额/亿元

零售总额统计图
8365

5310

6229

6900

7703

………………………………………………3 分

年份

(3)9%,2016.

…………………………………………………………………………5 分

21. 解: (1)连接 OD, AD . ∵ AB 是⊙ O 的直径, ∴ ?ADB ? 90 . 又∵ AB ? AC , ∴ D 为 BC 的中点. 又∵ O 为 AB 的中点, ∴ OD // AC . ∵ DF ? AC , ∴ DF ? OD . 又∵ OD 为⊙ O 的半径, ∴ DF 为⊙O 的切线.………………………………………………………………2 分 (2)∵ DF ? AC , CF ? 9 ,

CF . CD CF 3 ? 9 ? ? 15 .…………………3 分 ∴ CD ? cos C 5
∴ cos C ?

C

D

F

E

11

B

O

A

∵ ?ADB ? 90 , ∴ ?ADC ? 90 .

CD . AC CD 3 ? 15 ? ? 25 . . ……………………………………………………4 分 ∴ AC ? cos C 5
∴ cos C ? 连接 BE . ∵ AB 是⊙ O 的直径, ∴ ?AEB ? 90 . 又∵ DF ? AC , ∴ DF // BE .

CF CD ? ? 1. EF BD ∴ EF ? CF ? 9 . ∴ AE ? AC ? EF ? CF ? 25 ? 9 ? 9 ? 7 . ……………………………………5 分
∴ 22. 解:①6;………………………………………………………………………………1 分 ②不变. ……………………………………………………………………………2 分 (1) 4+2 3 ; ……………………………………………………………………3 分 (2) 4+4sin ? . ………………………………………………………………5 分

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23. 解: (1)令 mx2 ? (m ? n)x ? n =0 ,则
?=(m ? n)2 ? 4mn=(m ? n)2 . ………………………………………………………1 分

∵二次函数图象与 y 轴正半轴交于 A 点, ∴ A(0, n) ,且 n ? 0 . 又 m ? 0 ,∴ m ? n ? 0 . ∴ ?=(m ? n)2 ? 0 . ∴该二次函数的图象与 x 轴必有两个交点.………………………………………2 分 n (2)令 mx2 ? (m ? n)x ? n =0 ,解得: x1 ? 1, x2 ? . m 由(1)得

n ? 0 ,故 B 的坐标为(1,0). ………………………………………3 分 m

又因为 ?ABO ? 45 ,所以 A(0,1) ,即 n=1 . 则可求得直线 AB 的解析式为 y ? ? x ? 1 . 再向下平移 2 个单位可得到直线 l : y ? ? x ? 1 . …………………………………4 分 (3)由(2)得二次函数的解析式为 y ? mx2 ? (m ? 1) x ? 1
2

12

∵M ( p, q) 为二次函数图象上的一个动点, ∴ q ? mp2 ? (m ? 1) p ? 1 . ∴点 M 关于 x 轴的对称点 M ? 的坐标为 ( p, ?q) . ∴点 M ? 在二次函数 y ? ?mx2 ? (m ? 1) x ? 1 上. ∵当 ?3 ? p ? 0 时,点 M 关于 x 轴的对称点都在直线 l 的下方, 当 p ? 0 时, q ? 1 ;当 p ? ?3 时, q ? 12m ? 4 ; ……………………………5 分 结合图象可知: ?(12m ? 4) ? 2 ,

1 解得: m ? ? ,………………………………………………………………………6 分 2 1 ∴ m 的取值范围为 ? ? m ? 0 .……………………………………………………7 分 2
24.解: (1)30°;……………………………… ………………………………………1 分 (2)如图作等边△AFC,连结 DF、BF. . ∴AF=FC=AC, ∠FAC=∠AFC=60° ∵∠BAC=100° ,AB=AC, . ∴∠ABC=∠BCA =40° ACD =20 ∵∠ °, . ∴∠DCB=20° ∴∠DCB=∠FCB=20° . ① ∵AC=CD,AC=FC, ∴DC=FC. ② ∵BC=BC,③ ∴由①②③,得 △DCB≌△FCB, ∴DB=BF, ∠DBC=∠FBC. ∵∠BAC=100° , ∠FAC=60° , . ∴∠BAF=40° ACD =20 ∵∠ °,AC=CD, . ∴∠CAD=80° . ∴∠DAF=20° . ④ ∴∠BAD=∠FAD=20° ∵AB=AC, AC=AF, ∴AB= AF. ⑤ ∵AD= AD,⑥ ∴由④⑤⑥,得 △DAB≌△DAF. ∴FD= BD. ∴FD= BD=FB. . ∴∠DBF=60° . ………………………………………………………………………4 分 ∴∠CBD=30° (3) ? ? 120? ? m ,

A

D
B C

F

? =60° 或

? ? 240? ? m .

……………………………7 分

13

25. 解: (1)①(-2,-4);

……………………………………………………………1 分

②答案不唯一,只需横、纵坐标之和为 3 即可,如(1,2) .……………3 分 1; ……………………………………………………………………………5 分 (2)± (3)设 B(a,b). ∵B 的“ - 3 属派生点”是 A, b ∴ A(a? , ? 3a ? b ). ………………6 分 3 ∵点 A 还在反比例函数 y ? ? ∴(a ? ∴(b∵ b∴ b∴b ?
b 3 )(- 3a ? b)=-4 3 .

4 3 的图象上, x

3a)2 =12 . 3a ? 0 3a ? 2 3 . 3a ? 2 3 .

∴B 在直线 y ? 3x ? 2 3 上.…………………7 分 过 Q 作 y ? 3x ? 2 3 的垂线 Q B1,垂足为 B1, ∵ Q 0, 4 3 ,且线段 BQ 最短, ∴ B 即为所求的 点, B 1

?

?

3 7 3) .…………………………………………………………8 分 ∴易求得 B( , 2 2
注:其他解法请参照给分.

14


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