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【成才之路】2015届高三数学(文理通用)二轮专题限时检测5 解析几何]


专题限时检测五
时间:60 分钟 满分:100 分

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分;在每小题给出四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.(文)(2013· 泗县双语中学模拟)若直线 2tx+3y+2=0 与直线 x+6ty-2=0 平行,则实 数 t 等于( 1 1 A. 或- 2 2 1 C.- 2 [答案] B 2t 3 2 1 [解析] 由条件知, = ≠ ,∴t= . 1 6t -2 2 (理)(2013· 吉大附中二模)若曲线 y=2x2 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则切线 l 的方程为( ) B.x+4y-9=0 D.4x-y-2=0 ) 1 B. 2 1 D. 4

A.x+4y+3=0 C.4x-y+3=0 [答案] D

1 [解析] y′=4x,直线 x+4y-8=0 的斜率 k=- ,令 4x=4 得 x=1, 4 ∴切点(1,2),∴切线 l:y-2=4(x-1), 即 4x-y-2=0,故选 D. x2 y2 2.(文)(2013· 北京理,6)若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( a b A.y=± 2x 1 C.y=± x 2 [答案] B [解析] 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质. 因为离心率 e= 3,所以 c= 3a,∴b2=c2-a2=2a2,∴b= 2a,因为双曲线的焦点 在 x 轴上,所以渐近线方程为 y=± 2x.选 B. x2 y2 (理)(2013· 绍兴市模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,O 为坐标原点, a b 以 OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于 O,A 两点,若△AOF 的面积为 b2,则双曲 B.y=± 2x 2 D.y=± x 2 )

线的离心率等于( A. 3 3 C. 2 [答案] D

) B. 5 D. 5 2

[解析] ∵A 在以 OF 为直径的圆上,∴AO⊥AF, a b a2c abc ∴AF:y=- (x-c)与 y= x 联立解得 x= 2 2,y= 2 ,∵△AOF 的面积为 b2, b a a +b a +b2 1 abc 5 ∴ · c· =b2,∴e= . 2 a2+b2 2 x2 y2 3. (2013· 天津理, 5)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0) a b 的准线分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3, 则 p=( A.1 C.2 [答案] C c b [解析] ∵e= =2,∴b2=c2-a2=3a2,∴ = 3,双曲线的两条渐近线方程为 y=± 3 a a p 3p p 3p p 1 p x,不妨设 A(- , ),B(- ,- ),则 AB= 3p,又三角形的高为 ,则 S△AOB= × 2 2 2 2 2 2 2 × 3p= 3,∴p2=4,又 p>0,∴p=2. x2 y2 x2 y2 4.(2014· 广东文,8)若实数 k 满足 0<k<5,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的 16 5-k 16-k 5 ( ) A.实半轴长相等 C.离心率相等 [答案] D [解析] ∵0<k<5,∴两方程都表示双曲线,由双曲线中 c2=a2+b2 得其焦距相等,选 D. x2 y2 5.(文)(2014· 大纲全国理,6)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2, a b 离心率为 3 , 过 F2 的直线 l 交 C 于 A、 B 两点, 若△AF1B 的周长为 4 3, 则 C 的方程为( 3 x2 B. +y2=1 3 x2 y2 D. + =1 12 4 ) B.虚半轴长相等 D.焦距相等 ) 3 B. 2 D.3

x2 y2 A. + =1 3 2 x2 y2 C. + =1 12 8

[答案] C c 3 x2 [解析] 根据条件可知 = ,且 4a=4 3,∴a= 3,c=1,b=2,椭圆的方程为 + a 3 3 y2 =1. 2 (理)(2013· 哈六中二模)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的 → 交点为 A,直线 l 与抛物线的准线的交点为 B,点 A 在抛物线的准线上的射影为 C,若AF= → → → FB,BA· BC=36,则抛物线的方程为( A.y2=6x C.y2=12x [答案] D p p [解析] ∵F( ,0),设 A(x0,y0),y0>0,则 C(- ,y0),B(p-x0,-y0),由条件知 p 2 2 p 3p 3p p 3p 2 -x0=- ,∴x0= ,∴y2 0=2p· =3p ,∴y0= 3p,∴B(- ,- 3p),A( , 3p),C(- 2 2 2 2 2 p → → , 3p),∴BA· BC=(2p,2 3p)· (0,2 3p)=12p2=36,∴p= 3, 2 ∴抛物线方程为 y2=2 3x. y2 6.(文)(2013· 苍南求知中学月考)过双曲线 M:x2- 2=1 的左顶点 A 作斜率为 2 的直线 b → → l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B、C,且BC=2AB,则双曲线 M 的离心率 是( ) A. 5 C. 17 [答案] C → → [解析] 由条件知 A(-1,0), ∴l: y=2(x+1), 双曲线渐近线方程为 y=± bx, ∵BC=2AB,
?y=2?x+1?, ? 2 2b ∴B 在 A,C 之间,∴由? 得 B(- , ), b+2 b+2 ?y=-bx, ? ?y=2?x+1?, ? 2 2b 由? 得 C( , ), b - 2 b -2 ? y = bx , ?

) B.y2=3x D.y2=2 3x

B. 10 D. 37

→ → 再由BC=2AB得 b=4,∴e= 17. (理)(2013· 天津和平区质检)若抛物线 y2=2px 上恒有关于直线 x+y-1=0 对称的两点 A、 B,则 p 的取值范围是( 2 A.(- ,0) 3 ) 3 B.(0, ) 2

2 C.(0, ) 3 [答案] C

2 D.(-∞,0)∪( ,+∞) 3

[解析] 设直线 AB:y=x+b,代入 y2=2px 中消去 x 得,y2-2py+2pb=0,∴y1+y2 x1+x2 y1+y2 =2p,x1+x2=y1+y2-2b=2p-2b,由条件知线段 AB 的中点( , ), 2 2 即(p-b, p)在直线 x+y-1=0 上, ∴b=2p-1, Δ=4p2-8pb=4p2-8p(2p-1)=-12p2 2 +8p>0,∴0<p< . 3 x2 y2 7.(文)(2014· 天津理,5)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y a b =2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( x y A. - =1 5 20 3x2 3y2 C. - =1 25 100 [答案] A [解析] 由于一个焦点在直线 y=2x+10 上,则一个焦点为(-5,0),又由渐近线平行于 b 直线 y=2x+10.则 =2,结合 a2+b2=c2,c=5 得, a x2 y2 ∴a =5,b =20,双曲线标准方程为 - =1,选 A. 5 20
2 2 2 2

)

x y B. - =1 20 5 3x2 3y2 D. - =1 100 25

2

2

x2 y2 (理)(2014· 江西文,9)过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近 a b 线相交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A、O 两点(O 为坐标原点),则双曲 线 C 的方程为( x2 y2 A. - =1 4 12 x2 y2 C. - =1 8 8 [答案] A b [解析] 如图设双曲线的右焦点 F,右顶点 B,设渐近线 OA 方程为 y= x, a ) x2 y2 B. - =1 7 9 x2 y2 D. - =1 12 4

由题意知,以 F 为圆心,4 为半径的圆过点 O,A, ∴|FA|=|FO|=r=4.

b ∵AB⊥x 轴,A 为 AB 与渐近线 y= x 的交点, a ∴可求得 A 点坐标为 A(a,b). ∴在 Rt△ABO 中,|OA|2= OB2+AB2= a2+b2=c=|OF|=4, ∴△OAF 为等边三角形且边长为 4,B 为 OF 的中点,从而解得|OB|=a=2,|AB|=b= 2 3, x2 y2 ∴双曲线的方程为 - =1,故选 A. 4 12 8.(文)(2013· 海淀区期中)抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P(x,y)为该抛物线上的动点, |PF| 又点 A(-1,0),则 的最小值是( |PA| 1 A. 2 C. 3 2 ) B. 2 2

2 2 D. 3

[答案] B [解析] 设 P 点在准线上射影为 B 点,则|PB|=|PF|,显然当直线 AP 与抛物线 y2=4x |PF| 4y 相切时, 取最小值,设 PA:y=k(x+1)(k>0),代入 y2=4x 中消去 x 得,y2= -4,由 Δ |PA| k 16 = 2 -16=0 及 k>0 得 k=1,∴PA:y=x+1,P(1,2),|PA|=2 2,|PB|=2, k ∴ |PF| |PB| 2 = = . |PA| |PA| 2

[点评] 也可以不用判别式法,用导数法求解. (理)(2013· 大兴区质检)抛物线 y=x2(-2≤x≤2)绕 y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋 转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐, 则此正方体的棱长是( )

A.1 C.2 2 [答案] B

B.2 D.4

[解析] 当 x=2 时,y=4, 设正方体的棱长为 a,由题意知( 2 1 a,4-a)在抛物线 y=x2 上,∴4-a= a2,∴a=2. 2 2

二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分,将答案填写在题中横线上.) 9.(文)(2013· 天津六校联考)已知直线 2ax+by=1(其中 a、b 为非零实数)与圆 x2+y2= 1 2 1 相交于 A、 B 两点, O 为坐标原点, 且△AOB 为直角三角形, 则 2+ 2的最小值为________. a b [答案] 4 [解析] ∵△AOB 为等腰直角三角形,⊙O 的半径为 1,∴O 到直线 2ax+by-1=0 的
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2a +b 2a2 b2 2 2 距离为 ,即 = ,∴2a +b =2,∴ 2+ 2=( 2+ 2)( )=2+ 2 + 2≥4, 2 2 2 2 a b a b 2 b 2a 2a +b

2a2 b2 等号在 2 = 2, b 2a 即 b2=2a2=1 时成立,∴所求最小值为 4. x2 y2 (理)(2013· 天津十二区县联考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e= 10,它的 a b 一条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线交点的纵坐标为 6,则正数 p 的值为________. [答案] 4 c bp [解析] 由条件知 = 10, ·=6, a a2 a2+b2 c b 由 = 10得 2 =10,∴ =3,∴p=4. a a a 10.(文)(2014· 吉林市质检)已知点 F 为抛物线 y2=-8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛物 线准线上一动点,A 在抛物线上,且|AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值是________. [答案] 2 13 [分析] 设 O 关于直线 x=2 的对称点为 O′,则|PA|+|PO|=|PA|+|PO′|,故当 P、A、 O′三点共线时取到最小值. [解析] 如图,∵|AF|=4,∴A 到准线距离为 4,又准线方程为 x=2,∴A(-2,4),作点 O 关于直线 x=2 的对称点 O′,则 O′的 坐标为(4,0),连结 AO′与直线 x=2 相交于点 P,则点 P 为所求, |PA|+|PO|=|PA|+|PO′|=|AO′|=2 13. (理)(2013· 苍南求知中学月考)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作一条倾斜角为 α,长度不超过 3 8 的弦,弦所在的直线与圆 x2+y2= 有公共点,则 α 的取值范围是________. 4 π π 2π 3π [答案] [ , ]∪[ , ] 4 3 3 4 [解析] F(1,0),直线 AB:y=tanα(x-1),由条件知,圆心(0,0)到直线 AB 的距离 d=

|tanα| 3 2 ≤ 2 ,∴- 3≤tanα≤ 3.(1) 1+tan α 将 y=k(x-1)代入 y2=4x 中消去 y 得, k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 2k2+4 4 ∴x1+x2= 2 ,y1+y2=k(x1+x2-2)= , k k k2+2 2 ∴AB 的中点坐标为 P( 2 , ), k k k2+2 ∵|AB|≤8,∴P 到准线的距离 2 +1≤4, k ∴|k|≥1,∴|tanα|≥1,(2) π π 2π 3π 由(1)(2)得 ≤α≤ 或 ≤α≤ . 4 3 3 4 三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.(本小题满分 13 分)(文)在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(2,0) 作直线与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,如图,设动点 A(x1,y1)、B(x2, y2). (1)求证:y1y2 为定值; (2)若点 D 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ADB 面积的最小值. (3)求证:直线 l:x=1 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值. [解析] (1)当直线 AB 垂直于 x 轴时,y1=2 2,y2=-2 2,因此 y1y2=-8. 当直线 AB 不垂直于 x 轴时, 设直线 AB 的方程为 y=k(x-2),
? ?y=k?x-2? 由? 2 ,得 ky2-4y-8k=0,∴y1y2=-8. ?y =4x ?

因此有 y1y2=-8 为定值. (2)∵C(2,0),∴C 点关于原点的对称点 D(-2,0), 1 ∴DC=4,S△ADB= DC· |y1-y2|. 2 1 当直线 AB 垂直于 x 轴时,S△ADB= ×4×4 2=8 2; 2 当直线 AB 不垂直于 x 轴时, 4 由(1)知 y1+y2= ,因此 k |y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2= 1 ∴S△ADB= ×4×|y1-y2|>8 2. 2 16 +32>4 2, k2

综上,△ADB 面积的最小值为 8 2. x1+2 y1 (3)AC 中点 E( , ), 2 2
2 AC= ?x1-2?2+y1 ,

因此以 AC 为直径的圆的半径 1 1 1 2 r= AC= ?x1-2?2+y1 = x2 +4, 2 2 2 1 x1+2 |x1| AC 中点 E 到直线 x=1 的距离 d=| -1|= , 2 2 ∴所截弦长为 2 r2-d2=2 =2(定值). (理)(2014· 福建文, 21)已知曲线 Γ 上的点到点 F(0,1)的距离比它到直线 y=-3 的距离小 2. (1)求曲线 Γ 的方程; (2)曲线 Γ 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A.直线 y=3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M、 N.以 MN 为直径作圆 C, 过点 A 作圆 C 的切线, 切点为 B.试探究: 当点 P 在曲线 Γ 上运动(点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?证明你的结论. [解析] (1)设 S(x,y)为曲线 Γ 上任意一点, 依题意,点 S 到 F(0,1)的距离与它到直线 y=-1 的距离相等, 所以曲线 Γ 是以点 F(0,1)为焦点,直线 y=-1 为准线的抛物线, 所以曲线 Γ 的方程为 x2=4y. (2)当点 P 在曲线 Γ 上运动时,线段 AB 的长度不变,证明如下: 1 由(1)知抛物线 Γ 的方程为 y= x2, 4 1 设 P(x0,y0),(x0≠0),则 y0= x2 , 4 0 1 由 y′= x,得切线 l 的斜率 2 1 k=y′|x=x0= x0, 2 1 所以切线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0), 2 1 1 2 即 y= x0x- x0 . 2 4 1 1 ? ?y=2x0x-4x2 0 1 由? ,得 A( x0,0). 2 ?y=0 ?
2 x1 +4 |x1| 2 -? ? 4 2

1 1 ? ?y=2x0x-4x2 0 1 6 由? ,得 M( x0+ ,3), 2 x0 ? ?y=3 1 3 又 N(0,3),所以圆心 C( x0+ ,3), 4 x0 1 1 3 半径 r= |MN|=| x0+ |, 2 4 x0 |AB|= |AC|2-r2 = 1 1 3 1 3 [ x0-? x0+ ?]2+32-? x0+ ?2 2 4 x0 4 x0

= 6. 所以点 P 在曲线 Γ 上运动时,线段 AB 的长度不变. [点评] 本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系 等,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般 思想、化归与转化思想.本题第(1)问也可用直接法求解. x2 y2 12.(本小题满分 13 分)(文)(2013· 内江市一模)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 a b 2 3 3 e= ,过点 A(0,-b)和点 B(a,0)的直线与原点的距离为 . 3 2

(1)求双曲线方程; (2)直线 y=kx+m(k≠0)与该双曲线交于不同两点 C、D,且 C、D 两点都在以 A 为圆心 的同一个圆上,求 m 的取值范围. 2 3 c 2 3 [解析] (1)∵e= ,∴ = , 3 a 3 x y 直线 AB 方程为: - =1,即 bx-ay-ab=0, a b ∴ |-ab| a +b
2 2=

3 3c ,∴ab= , 2 2

又 c2=a2+b2,∴a= 3,b=1,

x2 ∴双曲线方程为: -y2=1. 3 x ? ? 3 -y2=1, (2)联立? 消去 y 可得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0, ? ?y=kx+m 由 1-3k2≠0 及 Δ=36k2m2-4(1-3k2)(-3m2-3)>0, 得 m2+1>3k2,且 3k2≠1, 设 C(x1,y1),D(x2,y2),CD 中点 E(x0,y0), ∴x1+x2= 6km 3km m ,∴x0= ,y = , 1-3k2 1-3k2 0 1-3k2
2

由题意知 AE 垂直平分 CD, m +1 1-3k2 ∴kAE· k=-1,即 · k=-1,∴3k2=4m+1, 3km 1-3k2 代入 m2+1>3k2 得 m2+1>4m+1,∴m<0 或 m>4, 1 这时 3k2≠1,又∵4m+1=k2>0,∴m>- , 4 1 ∴m 的取值范围是(- ,0)∪(4,+∞). 4 x2 y2 (理)(2013· 全国大纲理,21)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、 a b F2,离心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 6 (1)求 a、b; (2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、 右两支分别交于 A、 B 两点, 且|AF1|=|BF1|, 证明: |AF2|、 |AB|、|BF2|成等比数列. a2+b2 c [解析] (1)由题设知 =3,即 2 =9,故 b2=8a2. a a 所以 C 的方程为 8x2-y2=8a2. 将 y=2 代入上式,求得 x=± 由题设知,2 1 a2+ . 2

1 a2+ = 6,解得 a2=1. 2

所以 a=1,b=2 2. (2)由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x2-y2=8 ①

由题意可设 l 的方程为 y=k(x-3),|k|<2 2,代入①并化简得, (k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 9k2+8 6k2 x1≤-1,x2≥1,x1+x2= 2 ,x1· x2= 2 . k -8 k -8
2 2 于是|AF1|= ?x1+3?2+y2 1= ?x1+3? +8x1-8=-(3x1+1), 2 2 |BF1|= ?x2+3?2+y2 2= ?x2+3? +8x2-8=3x2+1.

由|AF1|=|BF1|得,-(3x1+1)=3x2+1, 2 6k2 2 即 x1+x2=- ,故 2 =- , 3 3 k -8 4 19 解得 k2= ,从而 x1· x2=- . 5 9
2 2 由于|AF2|= ?x1-3?2+y2 1= ?x1-3? +8x1-8=1-3x1, 2 2 |BF2|= ?x2-3?2+y2 2= ?x2-3? +8x2-8=3x2-1.

故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|· |BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. 因而|AF2|· |BF2|=|AB|2,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列. 13.(本小题满分 14 分)(文)(2013· 德阳市二诊)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭 x2 y2 圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点(1,e),其中 e 为椭圆的离心率.F1、F2 是椭圆的两焦点,M a b 为椭圆短轴端点且△MF1F2 为等腰直角三角形.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设不经过原点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,第一象限内的点 P(1,m)在椭圆 上,直线 OP 平分线段 AB,求:当△PAB 的面积取得最大值时直线 l 的方程. x2 y2 [解析] (1)∵椭圆 2+ 2=1 经过(1,e), a b 1 e2 ∴ 2+ 2=1, a b c 1 c2 又 e= ,∴ 2+ 2 2=1,解之得 b2=1, a a ab x2 ∴椭圆方程为 2+y2=1. a 又△MF1F2 为等腰直角三角形,

∴b=c=1,a= 2, x2 故椭圆方程为 +y2=1. 2 x2 (2)由(1)可知椭圆的方程为 +y2=1, 2 故 P(1, 2 ), 2

由题意,当直线 l 垂直于 x 轴时显然不合题意. 设不经过原点的直线 l 的方程 y=kx+t(t≠0)交椭圆 C 于 A(x1,y1),B(x2,y2), x ? ? 2 +y2=1, 由? 消去 y 得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0, ?y=kx+t. ? Δ=(4kt)2-4(1+2k2)· (2t2-2)=16k2-8t2+8>0, 4kt 2t ∴x1+x2=- ,y +y =k(x1+x2)+2t= , 1+2k2 1 2 1+2k2 x1x2= 2t2-2 , 1+2k2 2 x 且 OP 平分线段 AB, 2
2

直线 OP 方程为 y= ∴

2t 2 -4kt 2 = × ,解得 k=- . 2 1+2k2 2 1+2k2

∴|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = ?1+k2??4-2t2?, 又∵点 P 到直线 l 的距离 d= | 2-t| 1+k2 =h,

1 1 ∴S△PAB= |AB|h= ? 2-t?2?4-2t2?. 2 2 设 f(t)=( 2-t)2(4-2t2) =-2t4+4 2t3-8 2t+8, 由直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点可得- 2<t< 2. 求导可得 t=- 2 27 时 f(t)在(- 2, 2)上有最大值 ,此时 S△PAB 取得最大值, 2 2 2 2 x- . 2 2

此时直线 l 的方程 y=-

x2 y2 (理)(2013· 保定市一模)设 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M、N 分 a b 别为其短轴的两个端点,且四边形 MF1NF2 的周长为 4,设过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 4 两点,且|AB|= . 3

(1)求|AF2|· |BF2|的最大值; (2)若直线 l 的倾斜角为 45° ,求△ABF2 的面积. [解析] (1)因为四边形 MF1NF2 为菱形,又其周长为 4,故 a=1. 由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4a=4, 4 8 又因为|AB|= ,所以|AF2|+|BF2|= , 3 3 所以|AF2|· |BF2|≤( |AF2|+|BF2| 2 16 )= , 2 9

4 当且仅当|AF2|=|BF2|= 时,等号成立. 3 (此时 AB⊥x 轴,故可得 A 点坐标为(- 得 b= 3 2 y2 , ),代入椭圆 E 的方程 x2+ 2=1, 3 3 b

6 6 4 <1,即当且仅当 b= 时|AF2|=|BF2|= ), 3 3 3

16 所以|AF2|· |BF2|的最大值为 . 9 (2)因为直线 l 的倾斜角为 45° ,所以可设 l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2, y2 由(1)知椭圆 E 的方程为 x2+ 2=1. b y=x+c, ? ? 所以,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点坐标满足方程组? 2 y2 ? ?x +b2=1.

化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0, -2c 1-2b2 则 x1+x2= ,x x = , 1+b2 1 2 1+b2 因为直线 l 的斜率为 1,所以|AB|= 1+k2|x1-x2|, 4 8 即 = 2|x1-x2|,所以 =(x1+x2)2-4x1x2, 3 9

2 2 8 4?1-b ? 4?1-2b ? 2 2 1 = , 2 2- 2 ,得 b = ,b= 9 ?1+b ? 2 2 1+b

所以 c=

2 2 ,l 的方程为:y=x+ , 2 2

F2 到 l 的距离 d=1, 1 1 4 2 所以 S△ABC= |AB|×1= × ×1= . 2 2 3 3

一、选择题 1.(文)“a=2”是“直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] C [解析] 若 a=2,则直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1,反之也成立,即“a=2”是 “直线 ax+2y=0 平行于直线 x+y=1”的充要条件,故应选 C. (理)若直线 l1:x-ay+1=0 与直线 l2:(a+4)x+(2a-1)y-5=0 互相垂直,则直线 l1 的倾斜角为( A.45° C.60° [答案] D [解析] ∵l1⊥l2,∴1×(a+4)-a(2a-1)=0, ∴a=-1 或 2, ∴l1 的方程为 x+y+1=0 或 x-2y+1=0, ∴l1 的倾斜角为 135° 或 30° . 2.(文)已知圆 O 的方程是 x2+y2-8x-2y+10=0,则过点 M(3,0)的最短弦所在的直线 方程是( ) B.x-y-3=0 D.2x+y-6=0 ) B.135° D.30° 或 135° B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.x+y-3=0 C.2x-y-6=0 [答案] A

[解析] 圆 O 的方程是 x2+y2-8x-2y+10=0,即(x-4)2+(y-1)2=7, 圆心 O(4,1),设过点 M(3,0)的最短弦所在的直线为 l,∵kOM=1,∴kl=-1, ∴l 的方程为:y=-1· (x-3),即 x+y-3=0. (理)已知动圆 C 经过点 F(0,1)并且与直线 y=-1 相切,若直线 3x-4y+20=0 与圆 C 有公共点,则圆 C 的面积( )

A.有最大值为 π C.有最大值为 4π [答案] D

B.有最小值为 π D.有最小值为 4π

[解析] 如图所示,由圆 C 经过点 F(0,1),并且与直线 y=-1 相切,可得点 C 的轨迹 为抛物线 x2=4y,显然以抛物线 x2=4y 上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线 3x-4y+ 20=0 相交,且此圆可无限大,即圆 C 的面积不存在最大值,设圆 C 与 3x-4y+20=0 相切 3x0-4y0+20 于点 A,其圆心为(x0,y0),则由 AC=PC 可得 d= =y0+1(点 C 在直线 3x-4y 5 3x0-x2 10 0+20 1 2 +20=0 的右方),即 = x0+1,解得 x0=-2 或 x0= (舍去),当 x0=-2 时, 5 4 3 圆心 C 面积为(-2,1),此时圆 C 的半径为 2,即可得圆 C 的面积的最小值为 4π,故应选 D.

x2 y2 3.(文)以双曲线 - =1 的离心率为半径,右焦点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线 4 m 相切,则 m 的值为( 1 A. 3 C.1 [答案] D x2 y2 [解析] 以双曲线 - =1 的离心率为半径, 右焦点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线 4 m 相切, ∴ m= m+4 4 ,解得 m= ,故选 D. 2 3 ) 2 B. 3 4 D. 3

x2 y2 (理)(2012· 山东文,11)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 C2: a b x2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= y 3 C.x2=8y [答案] D [解析] 本题考查双曲线离心率、抛物线方程等. a2+b2 由双曲线离心率为 2 知 2 =4,即 b2=3a2, a 16 3 B.x2= y 3 D.x2=16y )

∴b= 3a,∴双曲线的渐近线方程 y=± 3x, P 由抛物线焦点 F(0, )到双曲线渐近距离为 2 知, 2 p | 3×0- | 2 =2,∴p=8,∴抛物线方程为 x2=16y. 2 4.抛物线 C 的顶点为原点,焦点在 x 轴上,直线 x-y=0 与抛物线 C 交于 A、B 两点, 若 P(1,1)为线段 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为( A.y=2x2 C.x2=2y [答案] B [解析]
?y2 ? 1=2px1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程为 y =2px,则? 2 ,两式相减可得 ?y2=2px2 ?
2

)

B.y2=2x D.y2=-2x

y1-y2 2p= ×(y1+y2)=kAB×2=2,即可得 p=1,∴抛物线 C 的方程为 y2=2x,故应选 B. x1-x2 x2 y2 5.(文)已知抛物线 y2=mx(m<0)与双曲线 - =1 有一个相同的焦点,则动点(m,n) 8 n 的轨迹是( ) B.双曲线的一部分 D.直线的一部分

A.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 [答案] C

m [解析] 据题意得 8+n=( )2,∴m2=16(n+8)(m<0,n>0),方程表示的曲线为抛物线 4 的一部分. (理)半径不等的两定圆 O1、O2 没有公共点,且圆心不重合,动圆 O 与定圆 O1 和定圆 O2 都内切,则圆心 O 的轨迹是( A.双曲线的一支 C.双曲线的一支或椭圆 [答案] C [解析] 设⊙O1、⊙O2、⊙O 的半径分别为 r1、r2、R,且 r1>r2>0,当⊙O1 与⊙O2 外离 时,由条件知⊙O1 与⊙O2 都内切于⊙O,∴|OO1|=R-r1,|OO2|=R-r2,∴|OO2|-|OO1|= r1-r2,0<r1-r2<|O1O2|,∴点 O 的轨迹是以 O1、O2 为焦点的双曲线靠近 O1 点的一支;当⊙ O2 内含于⊙O1 时,应有⊙O 内切于⊙O1,⊙O2 内切于⊙O, ∴|OO1|=r1-R,|OO2|=R-r2,∴|OO1|+|OO2|=r1-r2,∵O1 与 O2 不重合,且 r1>r2, ∴r1-r2>|O1O2|,∴点 O 的轨迹为以 O1、O2 为焦点的椭圆,故选 C. x2 y2 6.(2014· 太原市模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,椭圆 C 与过原点的 a b ) B.椭圆 D.双曲线或椭圆

4 直线相交于 A、B 两点,连接 AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则椭圆 C 的离 5 心率为( 1 A. 2 5 C. 7 [答案] C [解析] 利用椭圆的定义、 几何性质求解. 在△ABF 中, 由余弦定理可得 36=100+|BF|2 4 4 -20|BF|× ,解得|BF|=8.又在△BOF 中,由余弦定理得|OF|2=64+25-80× =25,所以 c 5 5 =5.设椭圆右焦点是 F′,则由椭圆对称性可得|BF|=|AF′|,所以 2a=|AF|+|AF′|=14,a c 5 =7,则离心率 e= = ,故选 C. a 7 x2 y2 7.(文)(2013· 吉大附中二模)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、 a b |AF1| 5 F2,点 A 在双曲线上,且 AF2⊥x 轴,若 = ,则双曲线的离心率等于( |AF2| 3 A.2 C. 2 [答案] A [解析] 设|AF2|=3x,则|AF1|=5x, ∴|F1F2|=4x,∴c=2x, 由双曲线的定义知,2a=|AF1|-|AF2|=2x, c ∴a=x,∴e= =2. a x2 y2 (理)(2013· 德阳市二诊)已知 P 点是 x2+y2=a2+b2 与双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)在 a b 第一角限内的交点,F1、F2 分别是 C 的左、右焦点,且满足|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心 率 e 为( A.2 C. 10 2 ) B. D. 6 2 5 2 B.3 D. 3 ) ) B. 2 2

5 D. 8

[答案] C [解析] 设|PF2|=x,则|PF1|=3x, ∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=10x2=4c2, ∴c= 10 x, 2

由双曲线的定义知,2a=|PF1|-|PF2|=2x, c 10 ∴a=x,∴e= = ,故选 C. a 2 x2 y2 8.过原点 O 作直线 l 交椭圆 2+ 2=1(a>b>0)于点 A、B,椭圆的右焦点为 F2,离心率 a b 为 e.若以 AB 为直径的圆过点 F2,且 sin∠ABF2=e,则 e=( 1 A. 2 C. 2 3 B. D. 2 2 3 2 )

[答案] B [解析] 记椭圆的左焦点为 F1,依题意得|AB|=2c,四边形 AF1BF2 为矩形,sin∠ABF2 |AF2| |AF2| = = =e,|AF2|=2ce,|AF1|2=(2a-|AF2|)2=(2a-2ce)2,|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,(2a |AB| 2c -2ce)2+(2ce)2=(2c)2,由此解得 e= 二、填空题 x2 y2 9.(文)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有公共焦点,且双曲线上的点 a b 到坐标原点的最短距离为 1,则该双曲线的离心率为________. [答案] 2 x2 y2 [解析] ∵抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),∴双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)中 c=2, a b c 又 a=1,∴e= =2. a x2 y2 (理)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线,垂足恰好落在曲线 a b x2 y2 + =1 上,则双曲线的离心率为________. b2 a2 [答案] [ 解析 ] a 2 b 不妨设双曲线的一个焦点为 (c,0) , (c>0) ,一条渐近线方程为 y = x ,由 a a2 ab x2 y2 a4 a2b2 得垂足的坐标为( , ),把此点坐标代入方程 2+ 2=1,得 2 2+ 2 2 c c b a bc ac 2 ,选 B. 2

?y-0=-b?x-c? ? b ?y=ax

c =1,化简,并由 c2=a2+b2 得 a=b,∴e= = 2. a x2 y2 10.(文)(2013· 福建理,14)椭圆 Γ: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,焦距 a b

为 2c, 若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1, 则该椭圆的离 心率等于________. [答案] 3-1

[解析] 本题考查了椭圆离心率的求解. c 2 如图,由题意易知 F1M⊥F2M 且|MF1|=c,|MF2|= 3c,∴2a=( 3+1)c,∴ = a 3+1 = 3-1.

(理)设抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过点 P(1,4)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,且 → → 点 P 恰为 AB 的中点,则|AF|+|BF|=________. [答案] 10
2 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 x1+x2=2,且 x2 1=4y1,x2=4y2,两式相减

y1-y2 x1+x2 1 整理得, = = ,所以直线 AB 的方程为 x-2y+7=0,将 x=2y-7 代入 x2=4y 4 2 x1-x2 → → 整理得 4y2-32y+49=0,所以 y1+y2=8,又由抛物线定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2=10. 三、解答题 x2 y2 11.(文)已知 F1、F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆上位于第一象限 a b → → → → 内的一点,点 B 也在椭圆上,且满足OA+OB=0(O 为坐标原点),AF2· F1F2=0.若椭圆的离 心率等于 2 . 2

(1)求直线 AB 的方程; (2)若△ABF2 面积等于 4 2,求椭圆的方程. → → [解析] (1)由OA+OB=0 知,直线 AB 经过原点, → → 又由AF2· F1F2=0,知 AF2⊥F1F2. 因为椭圆的离心率等于 2 c 2 1 ,所以 = ,b2= a2, 2 a 2 2

故椭圆方程可以写为 x2+2y2=a2. 1 设点 A 的坐标为(c,y),代入方程 x2+2y2=a2,得 y= a, 2

所以点 A 的坐标为(

2 1 a, a), 2 2 2 , 2 2 x. 2

故直线 AB 的斜率 k=

因此直线 AB 的方程为 y=

(2)连接 AF1、BF1,由椭圆的对称性可知 S△ABF2=S△ABF1=S△AF1F2, 1 1 所以 · 2c·a=4 2,解得 a2=16,b2=16-8=8, 2 2 x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 16 8 (理)(2013· 陕西文,20)已知动点 M(x,y)到直线 l:x=4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A、B 两点,若 A 是 PB 的中点,求直线 m 的斜 率. [解析] (1)设 M 到直线 l 的距离为 d, 根据题意, d=2|MN|, 由此得|4-x|=2 ?x-1?2+y2, x2 y2 化简得 + =1, 4 3 x2 y2 所以,动点 M 的轨迹方程为 + =1. 4 3 (2)由题意,设直线 m 的方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). x2 y2 将 y=kx+3 代入 + =1 中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0, 4 3

其中,△=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0, 24k 由根与系数的关系得,x1+x2=- ,① 3+4k2 x1x2= 24 .② 3+4k2

又因为 A 是 PB 的中点,故 x2=2x1,③ 将③代入①,②,得 -8k 2 8k 12 12 3 2 x1=- )= ,且 k2> , 2,x1= 2,可得( 2 3+4k 3+4k 3+4k2 3+4k2 3 3 3 3 解得 k=- 或 k= ,所以,直线 m 的斜率为- 或 . 2 2 2 2

12.(文)曲线 C 是中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线,已知它的一个焦点 F 的坐标为 (2,0),一条渐近线的方程为 y= 3x,过焦点 F 作直线交曲线 C 的右支于 P、Q 两点,R 是 弦 PQ 的中点. (1)求曲线 C 的方程; (2)当点 P 在曲线 C 右支上运动时,求点 R 到 y 轴距离的最小值. x2 y2 [解析] (1)设所求双曲线 C 的方程为 2- 2=1,(a>0,b>0) a b

c=2, ? ?b 由题意得:?a= 3, ? ?a +b =c
2 2

2

?a=1, ? 解得?b= 3, ? ?c=2

y2 所以,所求曲线 C 的方程为 x2- =1. 3 (2)若弦 PQ 所在直线斜率 k 存在,则设其方程为 y=k(x-2) y=k?x-2? ? ? 由? 2 y2 , x - =1 ? 3 ? 消去 y 得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0, 设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),

?x +x = 4k >0, k -3 则? 4k +3 ?x x = k -3 >0,
2 1 2 2 2 1 2 2

Δ=16k4+4?3-k2??4k2+3?>0, 解得 k2>3,

x1+x2 2k2 6 此时点 R 到 y 轴的距离|xR|=| |= 2 =2+ 2 , 2 k -3 k -3 而当弦 PQ 所在直线的斜率不存在时,点 R 到 y 轴的距离为 2, 所以,点 R 到 y 轴距离的最小值为 2. y2 (理)(2014· 上海八校调研)已知点 F1、F2 为双曲线 C:x2- 2=1(b>0)的左、右焦点,过 b F2 作垂直于 x 轴的直线,在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M,且∠MF1F2=30° .圆 O 的方程是 x2 +y2=b2.

(1)求双曲线 C 的方程; (2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 P1、P2,求 → → PP1· PP2的值; (3)过圆 O 上任意一点 Q(x0,y0)作圆 O 的切线 l 交双曲线 C 于 A、B 两点,AB 的中点为 → → M,求证:|AB|=2|OM|. [解析] (1)设 F2、M 的坐标分别为( 1+b2,0),( 1+b2,y0), y2 0 因为点 M 在双曲线 C 上,所以 1+b2- 2=1, b 即 y0=± b2,所以|MF2|=b2, 在 Rt△MF2F1 中,∠MF1F2=30° ,|MF2|=b2, 所以|MF1|=2b2, 由双曲线的定义可知|MF1|-|MF2|=b2=2, y2 故双曲线 C 的方程为 x2- =1. 2 (2)由条件可知两条渐近线方程为 l1: 2x-y=0,l2: 2x+y=0. 设双曲线 C 上的点 P(x0,y0),两渐近线的夹角为 θ, y= 2x 的倾斜角为 α,则 sin2α-cos2α 2-1 1 cosθ=cos(π-2α)= 2 = = . sin α+cos2α 2+1 3 点 P 到两条渐近线的距离分别为 |PP1|= | 2x0-y0| | 2x0+y0| ,|PP2|= , 3 3

y2 2 因为 P(x0,y0)在双曲线 C:x2- =1 上,所以 2x2 0-y0=2, 2 → → | 2x0-y0| | 2x0+y0| 所以PP1· PP2= · cos(π-θ) 3 3
2 |2x2 1 2 0-y0| = · (- )=- . 3 3 9

→ → (3)证明:由题意,要证|AB|=2|OM|,即证 OA⊥OB. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),切线 l 的方程为 x0x+y0y=2. ①当 y0≠0 时,切线 l 的方程代入双曲线 C 的方程中,
2 2 2 化简得(2y2 0-x0)x +4x0x-(2y0+4)=0,

2y2 4x0 0+4 所以 x1+x2=- 2 2,x1x2=- 2 2, 2y0-x0 2y0-x0 2-x0x1 2-x0x2 又 y1y2= · y0 y0

1 = 2[4-x0(x1+x2)+x2 0x1x2] y0
2 8-2x0 = 2 2, 2y0-x0

2y2 8-2x2 0+4 0 → → 所以OA· OB=x1x2+y1y2=- 2 2+ 2 2 2y0-x0 2y0-x0
2 4-2?x0 +y2 0? = =0; 2 2y2 0-x0

②当 y0=0 时,易知上述结论也成立, → → 即OA· OB=x1x2+y1y2=0. → → 综上所述,OA⊥OB,所以|AB|=2|OM|. x2 y2 13.(文)(2013· 吉大附中二模)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的短轴长为 2,且与抛物线 a b y2=4 3x 有共同的一个焦点,椭圆 C 的左顶点为 A,右顶点为 B,点 P 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AP、BP 与直线 y=3 分别交于 G、H 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 GH 的长度的最小值; (3)在线段 GH 的长度取得最小值时, 椭圆 C 上是否存在一点 T, 使得△TPA 的面积为 1, 若存在求出点 T 的坐标,若不存在,说明理由. [解析] (1)由已知得,抛物线的焦点为( 3,0),则 c= 3,又 b=1,由 a2-b2=c2,可得 a2=4. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 3 (2)直线 AP 的斜率 k 显然存在,且 k>0,故可设直线 AP 的方程为 y=k(x+2),从而 G( k -2,3). y=k?x+2?, ? ?2 由?x 得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0. 2 + y = 1. ? ?4 16k2-4 设 P(x1,y1),则(-2)x1= , 1+4k2 2-8k2 4k 所以 x1= ,从而 y1= . 1+4k2 1+4k2 2-8k2 4k 即 P( , ), 1+4k2 1+4k2 1 又 B(2,0),则直线 PB 的斜率为- . 4k

1 ? ? ?y=-4k?x-2?, ?x=-12k+2, 由? 得? ?y=3. ? ? ?y=3. 所以 H(-12k+2,3). 3 3 故|GH|=| -2+12k-2|=| +12k-4|. k k 3 又 k>0, +12k≥2 k 3 · 12k=12. k

3 1 当且仅当 =12k,即 k= 时等号成立. k 2 1 所以当 k= 时,线段 GH 的长度取最小值 8. 2 1 (3)由(2)可知,当 GH 的长度取最小值时,k= . 2 则直线 AP 的方程为 x-2y+2=0,此时 P(0,1),|AP|= 5. 2 5 若椭圆 C 上存在点 T,使得△TPA 的面积等于 1,则点 T 到直线 AP 的距离等于 , 5 2 5 所以 T 在平行于 AP 且与 AP 距离等于 的直线 l 上. 5 1 设直线 l:y= x+t. 2

?y=2x+t, 则由? x ? 4 +y =1.
2 2

1

得 x2+2tx+2t2-2=0.

Δ=4t2-8(t2-1)≥0.即 t2≤2. 由平行线间的距离公式,得 解得 t=0 或 t=2(舍去). 可求得 T( 2, 2 2 )或 T(- 2,- ). 2 2 |2-2t| 2 5 = , 5 5

x2 y2 (理)(2013· 江西八校联考)设椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,下 a b 顶点为 A,线段 OA 的中点为 B(O 为坐标原点),如图.若抛物线 C2:y=x2-1 与 y 轴的交 点为 B,且经过 F1、F2 点.

(1)求椭圆 C1 的方程; 4 (2)设 M(0, - ), N 为抛物线 C2 上的一动点, 过点 N 作抛物线 C2 的切线交椭圆 C1 于 P、 5 Q 两点,求△MPQ 面积的最大值. [解析] (1)由题意可知 B(0,-1),则 A(0,-2),故 b=2. 令 y=0 得 x2-1=0 即 x=± 1,则 F1(-1,0),F2(1,0),故 c=1. 所以 a2=b2+c2=5, x2 y2 于是椭圆 C1 的方程为: + =1. 5 4 (2)设 N(t,t2-1),由于 y′=2x 知直线 PQ 的方程为: y-(t2-1)=2t(x-t). 即 y=2tx-t2-1. 代入椭圆方程整理得:4(1+5t2)x2-20t(t2+1)x+5(t2+1)2-20=0, Δ=400t2(t2+1)2-80(1+5t2)[(t2+1)2-4] =80(-t4+18t2+3), 5t?t2+1? 5?t2+1?2-20 x1+x2= , x x = , 1 2 1+5t2 4?1+5t2? 故|PQ|= 1+4t2|x1-x2| = 1+4t2· ?x1+x2?2-4x1x2 5· 1+4t2· -t4+18t2+3 = . 1+5t2 设点 M 到直线 PQ 的距离为 d,则 4 1 | -t2-1| |t2+ | 5 5 d= . 2 = 1+4t 1+4t2 1 所以,△MPQ 的面积 S= |PQ|· d 2

1 = 2 = ≤

1 t2+ 5 5· 1+4t2· -t4+18t2+3 · 1+5t2 1+4t2

5 5 -t4+18t2+3= -?t2-9?2+84 10 10 5 105 84= . 10 5

当 t=± 3 时取到“=”,经检验此时 Δ>0,满足题意. 综上可知,△MPQ 的面积的最大值为 105 . 5


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