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2010年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试卷及答案


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2010 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题
(2010 年 5 月 16 日上午 9:00—11:30) 一、选择题

1.已知 O 为 ?ABC 内一点,若对任意 k ? R ,有 | OA ? OB ? k BC |?| AC | ,则 ?ABC 一 定是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 2.已知 f (1, 1) ? 1 , f (m, n) ? N * ( m, n ? N * )且对任意 m , n ? N * 都有 ① f (m, n ? 1) ? f (m, n) ? 2 ;② f (m ? 1, 1) ? 2 f (m, 1) 则 f (2010, 2008) 的值为( A. 2
2009

??? ??? ? ?

??? ?

????



2010 2010 ? 4014 ? 2007 ? 4014 C. 2 D. 2 2 3.已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 ,集合 M ? {( x, y) | f ( x) ? f ( y) ? 0} ,集合 N ? {( x, y) | f ( x) ? f ( y) ? 0} ,则在平面直角坐标系内集合 M ? N 所表示的区域的面积

? 2007

B. 2

2009





) C. ? D. 2?

? A. 4

? B. 2

4.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这样的两个 m 多面体的内切球的半径之比是一个最简分数 ,那么积 m? n 等于( ) n A.3 B.4 C.6 D.12 5.设函数 f (x) 满足下列条件:① f (x) 是定义在 R 上的奇函数;②对任意的 x1 , x2 ? [1, a] (其中常数 a ? 1 ) ,当 x2 ? x1 时,有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0. 则下列不等式不一定成立的是 ( ) A. f (a) ? f (0) C. f (

1 ? 3a ) ? f (?3) 1? a

1? a ) ? f ( a) 2 1 ? 3a D. f ( ) ? f ( ?a ) 1? a
B. f (

6.圆周上有 10 个等分点,则以这 10 个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中,梯形所占的 比为( ) A.

8 21

B.

4 21
3x , x ? 2

C.

1 126

D.

2 7

二、填空题 1.已知函数 f ( x ) ? ? 2. 不等式 x ?

?

? f ( x ? 1), x ? 2

,则 f (2 ? log3 2) ? _________.

1 ? a ? 2 ? 1 对一切非零实数 x 均成立, 则实数 a x
n n n ?1

的最大值是_________. 3.已知 (ax ? 1) ? an x ? an ?1 x ________.

? ? ? a1 x ? a0( n?N * ) ,点

列 Ai (i, ai ) (i ? 0,1,2,?, n) 部分图象如图所示,则实数 a 的值为

? 恒成立,则常 2 数 B ? A 的最小值为 _________ ;对任意锐角 ?ABC ,均有 sin A ? sin B ? sin C ? M 成立,
4.若 Bx ? sin x ? Ax ( A , B 为常数)对 0 ? x ?
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则 M 的最大值为 _________ . 5.已知圆 O 的半径为 1,半径 OA 、 OB 夹角为 ? ( 0 ? ? ? ? ), ? 为常数,点 C 为圆上动 点,若 OC ? xOA ? yOB ( x, y ? R ),则 x ? y 的最大值为 _________ . 6.以下是面点师一个工作环节的数学模型: 如图, 在数轴上截取与闭区间 [ 0, 4] 对应的线段, 对折后(坐标 4 所对应的点与原点重合)再均匀地拉成 4 个单位长度的线段,这一过程称为 一次操作 (例如在第一次操作完成后, 原来的坐标 1、 变成 2, 3 原来的坐标 2 变成 4, 等等) . 那么原闭区间 [ 0, 4] 上(除两个端点外)的点,在第 n 次操作完成后( n ? 1 ) ,恰好被拉 到与 4 重合的点所对应的坐标为___________________________.

????

??? ?

??? ?

? 0
三、解答题 1. (1)设 x ? 0 , y ? 0 求证:

?
2

?
4

x2 3x ? y ? ; x? y 4
x3 y3 z3 xy ? yz ? zx ? ? ? x? y y?z z?x 2

(2)设 x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 ,求证:

2.已知数列 {an } 满足 a1 ? a ( a ? 0, 且a ? 1 ) ,前 n 项和为 S n ,且 Sn ?
? 记 bn ? an lg | an | ( n ?N ) ,当 a ? ?

a (1 ? an ) , 1? a

7 时,问是否存在正整数 m,使得对于任意正整数 3

n,都有 bn ? bm ?如果存在,求出 m 的值;如果不存在,说明理由.

D
3.如图,四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O ,?DCO 的平分线 CQ 交线段 OD 于 Q ,连接 AQ ,作 OM ? BC 于

Q

C
O

M , ON ? AQ于N 且 P 为 AB 边 的 中 点 , OB ? OD . OA ? OC ? CD A 求证: PM ? PN.

N

M

P

B
4.在平面直角坐标系内,画出同时满足以下条件的所有矩形: (1)这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合; (2)这些矩形的所有顶点(重复的只计算一次)恰好为 100 个整点(横纵坐标均为整数的 点称为整点) 问:最多能画出多少个这样的矩形,说明你的理由.

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2010 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题参考答案 一、选择题 1.A 2.B 3.C 提示:由已知可得 M={(x,y)|f(x)+f(y)≤0}= 2 2 {(x,y)|(x-2) +(y-2) ≤2},N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0} ={(x,y)|(x-y)(x+y-4)≥0}. 则M ? N ? ?

?( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ?( x ? y )( x ? y ? 4) ? 0

,

作出其交集部分可得如图所示,其面积为圆面积的一半, 即为 ? ( 2) 2 ? ? ,故应选 C. 4.C 提示:利用等体积法,可以求出 5.C 6.D 提示:任选 4 点,共有 C10 ? 210 个凸四边形,其中梯形的两条平行边可以从 5 组平行
4

1 2

m 2 ? ,所以 m? n 等于 6. n 3

于直径的 5 条平行弦中选取,也可以 5 组从不平行于直径的 4 条平行弦中选取,去除矩形, 梯形共有 60 个,所以,梯形所占的比为 二、填空题 1.6 2. 3 。 3.

2. 7
2

1 3

4. 1 ?

?

; 2

5.

1 cos

?
2



6.

j 2
n?2

(这里 j 为 [1, 2 ] 中的所有奇数)

n

三、解答题 1. (1)设 x ? 0, y ? 0, 求证:

x2 3x ? y ? ; x? y 4

(2)设 x ? 0, y ? 0, z ? 0, 求证:

x3 y3 z3 xy ? yz ? zx ? ? ? . x? y y?z z?x 2

x2 3x ? y ( x ? y ) 2 x2 3x ? y ? ? ? 0 ,∴ ? 证明: (1)? . x? y 4 4( x ? y ) x? y 4
(2)由(1)得 类似的 ∴

x3 3x 2 ? xy ? . x? y 4

y3 3 y 2 ? yz z3 3z 2 ? zx ? ? , , y?z 4 z?x 4

x3 y3 z3 3x 2 ? xy ? 3 y 2 ? yz ? 3z 2 ? zx ? ? ? x? y y?z z?x 4
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3( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? xy ? yz ? zx 4 3( xy ? yz ? zx) ? xy ? yz ? zx ? 4 xy ? yz ? zx ? 2 ?
2.已知数列 {an } 满足 a1 ? a ( a ? 0, 且a ? 1 ) ,前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 记 bn ? an lg | an |( n ?N ) ,当 a ? ?
?

a (1 ? an ) , 1? a

7 时,问是否存在正整数 m ,使得对于任意正整数 3

n ,都有 bn ? bm ?如果存在,求出 m 的值;如果不存在,说明理由. a a 解:当 n ? 2 时, Sn ? (1 ? an ) , Sn ?1 ? (1 ? an ?1 ) , 1? a 1? a a a ∴ an ? Sn ? Sn ?1 ? [(1 ? an ) ? (1 ? an ?1 )] ? (an ?1 ? an ) , 1? a 1? a 即 an ? aan ?1 ,又 a1 ? a ? 0 , 所以, {an } 是首相和公比都是 a 的等比数列,
∴ an ? a ,于是 bn ? an lg | an |? na lg | a | .
n
n

7 ? (?1, 0) ,∴ lg | a |? 0 , 3 n 故当 n 为偶数时, bn ? na lg | a |? 0 ,当 n 为奇数时, bn ? 0 . 可见,若存在满足条件的正整数 m ,则 m 为偶数. b2 k ? 2 ? b2 k ? [(2k ? 2) a 2 k ? 2 ? 2ka 2 k ]lg | a |
∵a ? ?

? 2a 2 k [( k ? 1) a 2 ? k ]lg | a | ? 2a 2 k [ k ( a 2 ? 1) ? a 2 ? ? 2a 2 k (a 2 ? 1)(k ?
当a ? ?

a2 ?1 ]lg | a | a2 ?1

a2 ) lg | a | (k ? N ? ). 1 ? a2

7 2 2k 2 2 时, a ? 1 ? ? , 2a (a ? 1) lg | a |? 0 . 3 9 2 a 7 ? 又 2 1? a 2 7 当 k ? 时, b2 k ? 2 ? b2 k ,即 b8 ? b10 ? b12 ? ? ; 2 7 当 k ? 时, b2 k ? 2 ? b2 k ,即 b8 ? b6 ? b4 ? b2 . 2 故存在正整数 m ? 8 ,使得对于任意正整数 n ,都有 bn ? bm .
3. 如图, 四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O ,?DCO 的平分线 CQ 交线段 OD 于 Q , 连接 AQ ,作 OM ? BC于M,ON ? AQ于N . 且 P 为 AB 边的中点, OA ? 求证: PM ? PN.
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OB ? OD OC ? CD

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证明:? CQ 平分 ?DCO

?

DQ DC , ? QO CO QO ∴ CO ? ? DC DQ OB ? OD 又 OA ? , OC ? CD ∴ OA ? (OC ? CD) ? OB ? OD



D


将①代入②,得

Q C DQ ? QO ∴ OA ? ( )CD ? OB ? OD N DQ O DO ∴ OA ? ? CD ? OB ? OD M DQ A X 1 ∴ OA ? ? CD ? OB , DQ Y CO ∴ OA ? ? OB P QO 即 OA ? OC ? OQ ? OB ,∴ A, Q, C, B 四点共圆. 得 ?QAO ? ?CBO B 分别取 OA, OB 的中点 X , Y ,连接 NX , PX , MY , PY , 则 OXPY 为平行四边形. 1 ∴ NX ? AO ? XO ? PY , 2 ?PXN ? ?NXO ? ?OXP ? 2?QAO ? ?OXP ? 2?CBO ? ?OYP ? ?MYO ? ?OYP ? ?MYP 1 PX ? YO ? OB ? MY 2 ∴ ?PXN ≌ ?MYP ∴ PM ? PN .

4.在平面直角坐标系内,画出同时满足以下条件的所有矩形: (1)这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合; (2)这些矩形的所有顶点(重复的只计算一次)恰好为 100 个整点(横、纵坐标均为 整数的点称为整点) 问:最多能画出多少个这样的矩形,说明你的理由. 证明: (1)先证明这样的矩形不超过 2025 个. 任取定 100 个整点。设 O 为所取定的 100 个整点中的一个,我们称以 O 为一个顶点, 另外三个也取自 100 个整点,且边均与两坐标轴平行或重合的矩形为“好的” 。下证:至多 有 81 个“好的”矩形。 事实上,过 O 作平行于两坐标轴的直线 l1 ,l 2 ,并设 l1 \ {O} 上有 m 个点取自所取定的 100 个整点, l 2 \ {O} 上有 n 个点取自所取定的 100 个整点,设点 P 为所取定的 100 个整点 中的一个,且不在 l1 和 l 2 上,则至多有一个“好的”矩形以 P 为其一个顶点,而这样的点 至多有 99 ? m ? n 个,且每一个“好的”矩形必有一个顶点为这样的点,于是 ①若 m ? n ? 18 ,则“好的”矩形至多有 99 ? m ? n ? 81 个; Q ②若 m ? n ? 18, 考虑点对 ( P, Q) , 其中 P ? l1 \ {O} , ? l 2 \ {O} , 可知每一对 ( P, Q) 至多形成一个“好的”矩形,故“好的”矩形的个数 ? mn ? m(18 ? m) ? 9 ? 9 ? 81 个。
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综上可知,对所取定的 100 个整点中的任意一点 O ,以 O 为其一个顶点的“好的”矩 形至多 81 个,于是,满足条件的矩形的个数 ?

81 ? 100 ? 2025 (这里除以 4 是因为每个矩 4

形有 4 个顶点) 。 (2)设点集 A ? {( x, y) | 1 ? x ? 10,1 ? y ? 10, x, y ? N} ,取点集 A 中的 100 个点, 则恰好可以画出满足题设的 2025 个矩形。 综上可知最多能画出 2025 个这样的矩形.

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