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潮阳区2015-2016学年度第一学期高二年级期末质量检测文科试卷


潮阳区 2015-2016 学年度第一学期高二年级期末质量检测 文科数学
本试卷满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.抛物线 y = 8x 的焦点到准线的距离是( A.1 B.2 C .4 D.8
2



2.某程序框图如图 1 所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数 是( )
2

A.f(x)=x C.f(x)=e

B.f(x)=

1 x

x

D.f(x)= sinx )

3. 已知直线 l1: ax+y=1 和直线 l2: 9x+ay=1, 则“a+3=0”是“l1∥l2”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

图1
2 4 4
侧 ( 左 )视 图 正(主)视图

4.右图 2 是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的 表面积是( A. 8? ) B. 12? C. 16? D. 32?
俯 视 图

图2

5.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费 者对网上购物的满意情况,某公司随机对 4500 名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况 回答) ,统计结果如表: 满意情况 人数 不满意 200 比较满意 n 满意 2100 非常满意 1000 )

根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( A.

7 15

B.

2 5

C.

11 15

D.

13 15


2 2 6.已知圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? a ? 0 截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是(

A.﹣2

B.﹣4

C.﹣6

D.﹣8 )

7.已知命题 p: ?x ? 0,x ? A.p 是假命题

4 1 ? 4 ;命题 q: ?x0 ? R ?,2 x0 ? ,则下列判断正确的是( x 2
C. (¬p)∧q 是真命题 D.p∧(¬q)是真命题

B.q 是真命题

1

8. 设三次函数 f ( x) 的导函数为 f ' ( x) ,函数 y ? x ? f ' ( x) 的图象的一部分如图 3 所示,则正确的是 ( ) A. f ( x) 的极大值为 f ( 3 ) ,极小值为 f (? 3) B. f ( x) 的极大值为 f (? 3) ,极小值为 f ( 3 ) C. f ( x) 的极大值为 f (?3) ,极小值为 f (3) 图3 D. f ( x) 的极大值为 f (3) ,极小值为 f (?3) 9.在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b ? c ? 值为( A. ? )

1 a , 2 sin B ? 3 sin C ,则 cos A 的 4 1 4


4 9

B.

4 9

C. ?

1 4

D.

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 10.已知 x、y 满足不等式组 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值是( ?y ? 1 ?
A.6 B .4 C.0 D.-2

11. 如图 4,在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点,动点 P 在线段 MN 上运动 时,下列四个结论:①EP∥BD;②EP⊥AC;③EP⊥面 SAC;④EP∥面 SBD 中恒成立的为( A.①② B.②④ C.①③ D.③④
图4



12. 已知点 P 在直线 x+2y﹣1=0 上,点 Q 在直线 x+2y+3= 0 上,PQ 的中点为 M(x0,y0) ,且 y0>x0+2,则

y0 的取值范围是( x0
C. ? ?



A. ? ?

? 1 1? ,? ? ? 2 5?

B. ? ?

? 1 1? ,? ? 2 5? ?

? 1 1? ,? ? 2 5? ?

D. ? ?

? 1 1? ,? ? ? 2 5?

图4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为 . .

14. 若一个正方形的四个顶点都在双曲线 C 上, 且其一边经过 C 的焦点, 则双曲线 C 的离心率是 15. 给出下列四个命题: ① f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
4

) 的对称轴为 x ?

k? 3? ? ,k ? Z ; 2 8

②函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的最大值为 2;

2

③函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 1 的周期为 2π; ④函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? 其中命题正确的是

?

? 2 2? ? ?? ) 在 ?0, ? 上的值域为 ?? , ?. 4 ? 2? ? 2 2 ?
. (写出所有正确命题的编号)

16.在平面直角坐标系中,O 为原点,A(?1,0), B(0, 3),C(3,0), 动点 D 满足 CD ? 1 , 则 OA ? OB ? OD 的最大值 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知{an}为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8 , a2 ? a4 ? 12 . (1)求{an}的通项公式; (2)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,S k ?2 成等比数列,求正整数 k 的值.

18. (本小题满分 12 分) 已知△ ABC 的边 AB 所在直线的方程为 x﹣3y﹣6=0,M(2,0)满足 BM ? MC ,点 T(﹣1,1)在 AC 边所在直线上且满足 AT ? AB ? 0 . (1)求 AC 边所在直线的方程; (2)求△ ABC 外接圆的方程.

19. (本小题满分 12 分) 如图 6,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AD ? 平面 A1 BC ,其垂足 D 落在直 线 A1 B 上. (1)求证: BC ? A1 B ; (2) 若 AD ? 3 ,AB ? BC ? 2 ,P 为 AC 的中点, 求三棱锥 P ? A1BC 的 体积.
A1

图5
C1

B1

D A

P

C

B
20. (本小题满分 12 分) 图6

3

已知函数 f ( x) ? ax ?

a ? 2ln x (a ? R) . x

(1)若 a ? 3 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间;
a (3)设函数 g ( x) ? ? .若至少存在一个 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围. x

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 A、B 为椭圆 C 上的动点,当 PA⊥PB 时,求证:直线 AB 恒过一个定点.并求出该定点的坐标.

3 ,且点 P(﹣2,0)在椭圆 C 上. 2

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,⊙O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E,AD 是⊙O 的直径,EF∥CB,EF 交 AD 的延长线于点 F,FG 切⊙O 于点 G,连接 AG、DG . (1)求证:△DEF∽△EAF; (2)如果 FG=1,求 EF 的长. F B

C E O

A

D 图7

G

潮阳区 2015-2016 学年度第一学期高二年级期末质量检测
4

文科数学答案
一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 7~12 DDCABA 1~6 CDABCB

12. 解析:设 P(x1,y1) ,

y0 ,∴Q(2x0﹣x1,2y0﹣y1) ? k ,则 y0=kx0,∵PQ 中点为 M(x0,y0) x0

∵P,Q 分别在直线 x+2y﹣1=0 和 x+2y+3=0 上, ∴x1+2y1﹣1=0,2x0﹣x1+2(2y0﹣y1)+3=0, ∴2x0+4y0+2=0 即 x0+2y0+1=0, ∵y0=kx0, ∴x0+2kx0+1=0 即 x 0 ? ?

1 , 1 ? 2k 1 5k ? 1 ?0 )> 2 即 1 ? 2k 2k ? 1

又∵y0>x0+2,代入得 kx0>x0+2 即(k﹣1)x0>2 即(k﹣1) (? ∴?

1 1 ?k?? 2 5

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 若 x ? 1 ,则x ? 1. 14.

5 ?1 2

15. ① ②

16.

7 ?1

16. 解析:设点 D( x, y) ,则 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 ,又

OA ? OB ? OD ? (?1 , 0) ? (0,3) ? ( x, y) ? ( x ? 1, y ? 3)
? OA ? OB ? OD ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ,问题转化为圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 上的点与点 (1,? 3) 间的距
离的最大值,故最大值为 (3 ? 1) ? (0 ? 3 ) ? 1 ?
2 2

7 ?1

三、解答题: (解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设等差数列{an}的公差等于 d, 则由题意可得 ? -----------------1 分

?2a1 ? 2d ? 8 , ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2,d ? 2 .-----------------4 分 ∴{an}的通项公式 an =2+(n﹣1)2=2n.-----------------6 分 (2) 由(1)可得 {an}的前 n 项和为 S n ?

n(a1 ? a n ) ? n(n ? 1) 2
5

-----------------8 分

2 ∵若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,∴ ak ? a1 ? S k ?2



-----------------10 分 故 k=6.-----------------12 分

∴4k =2(k+2) (k+3) ,

2

k=6 或 k=﹣1(舍去) ,

18. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ AT ? AB ? 0 ,∴AT⊥AB, 又 T 在 AC 上,∴AC⊥AB,△ ABC 为直角三角形,-----------------2 分 又 AB 边所在直线的方程为 x﹣3y﹣6=0, ∴直线 AC 的斜率为﹣3. -----------------4 分 又∵点 T(﹣1,1)在直线 AC 上, ∴AC 边所在直线的方程为 y﹣1=﹣3(x+1) ,即 3x+y+2=0.-----------------6 分 (2)AC 与 AB 的交点为 A, ∴由 ?

?x ? 3 y ? 6 ? 0 ,解得点 A 的坐标为(0,﹣2) ,-----------------8 分 ?3x ? y ? 2 ? 0

∵ BM ? MC , ∴M(2,0)为 Rt△ ABC 斜边上的中点,即为 Rt△ ABC 外接圆的圆心,-----------------9 分 又 r ? AM ?

(2 ? 0) 2 ? ?0 ? 2? ? 2 2 ,-----------------11 分
2

从而△ ABC 外接圆的方程为(x﹣2) +y =8.-----------------12 分

2

2

19. (本小题满分 12 分) (1)证明:? 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,

? A1 A ? 平面 ABC ,
又 BC ? 平面 ABC ,? A1 A ? BC ----------------------------------------2 分

A1

C1

B1

? AD ? 平面 A1BC ,且 BC ? 平面 A1BC , ? AD ? BC .


AA1 ? 平面 A1 AB , AD ? 平面 A1 AB , A1 A ? AD ? A ,

D A

P C

? BC ? 平面 A1 AB ,----------------------------5 分
又 A1 B ? 平面 A1 BC ,? BC ? A1 B -----------------------------------6 分 (2)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 A ? AB .
6

B

? AD ? 平面 A1BC ,其垂足 D 落在直线 A1B 上,? AD ? A1 B .
在 Rt ??ABD 中, AD ? 3 , AB ? BC ? 2 , sin ?ABD ?
0

AD 3 0 , ?ABD ? 60 ? AB 2

在 Rt??ABA1 中, AA 1 ? AB ? tan 60 ? 2 3 --------------------------------8 分

AB ? 平面 A1 AB ,从而 BC ? AB 由(1)知 BC ? 平面 A 1 AB ,

S ?ABC ? ?

1 1 AB ? BC ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2

? P 为 AC 的中点, S ?BCP ?

1 S ?ABC ? 1 -----------------------10 分 2
1 3 2 3 ---------------------12 分 3

? VP? A BC ? VA ? BCP ? S?BCP ? A1 A ? ?1? 2 3 ?
1
1

1 3

20. (本小题满分 12 分) 解:函数的定义域为 ? 0, ??? , --------------------------------1 分

1 2 ax2 ? 2x ? a . --------------------------------2 分 ) ? ? x2 x x2 1 (1)当 a ? 3 时,函数 f ( x) ? 3( x ? ) ? 2ln x , f (1) ? 0 , f ?(1) ? 4 . x f ?( x) ? a(1 ?
所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 4( x ? 1) , 即 4x ? y ? 4 ? 0 . (2)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . ①当 a ? 0 时, h( x) ? ax2 ? 2x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减.--------------------------------4 分
2 ②当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a ,

--------------------------------3 分

(ⅰ)若 0 ? a ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得 x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? ;--------------------------------5 分 a a

由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? .--------------------------------6 分 a a
7

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a
--------------------------------7 分

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 单调递减区间为 ( , ). a a

(ⅱ)若 a ? 1 , h( x) ? 0(不恒为 0)在 (0, ??) 上恒成立,则 f ?( x) ? 0 (不恒为 0)在 (0, ??) 上恒成立, 此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增. (3)因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , 则 ax0 ? 2ln x0 ,等价于 a ? --------------------------8 分

2 ln x0 . x0

令 F ( x) ?

2 ln x ,等价于“当 x ? ?1,e? 时, a ? F ? x ?min ”. --------------------------------9 分 x
2(1 ? ln x) . x2
--------------------------------10 分

对 F ( x) 求导,得 F ?( x) ?

因为当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. --------------------------------11 分 所以 F ( x)min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 .
--------------------------------12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (1)设椭圆的方程为:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,----------------- 1 分 a2 b2

由题意得
2

c 3 , a ? 2 ,所以 c ? 3 ,----------------- 2 分 ? a 2
2 2

又 b ? a ? c ? 1,所以椭圆的方程为:



----------------- 3 分

(2)①当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 AB:y=kx+m,A(x1,y1)B(x2,y2) ,

?x 2 ? 4 y 2 ? 4 由? , ? y ? kx ? m
得(1+4k )x + 8kmx + 4(m ﹣1)= 0,----------------- 4 分 由韦达定理得,
2 2 2

x1 ? x2 ? ?

4(m 2 ? 1) 8km x x ? , ,----------------- 5 分 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
8

? PA⊥PB

? PA? PB ? ?x1 ? 2??x2 ? 2? ? y1 y2
? 1 ? k 2 x1 x2 ? ?2 ? km??x1 ? x2 ? ? m 2 ? 4
? 1? k 2
2

?
?

?

? 4(m
2

? 1) ? 8km ? ?2 ? km? ? m 2 ? 4 ? 0 ,-----------------7 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2

∴12k +5m ﹣16km = 0, 即(6k﹣5m) (2k﹣m)=0, 解得 m ? 当m ?

6 k或m ? 2k ,----------------- 8 分 5

6 6 ? 6 ? k 时, AB :y ? kx ? k 恒过定点 ? ? ,0 ? ;----------------- 9 分 5 5 ? 5 ?

当 m=2k 时,AB:y=kx+2k 恒过定点(﹣2,0) ,不符合题意舍去;-----------------10 分 ②当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 AB: x ? ? 则 AB 与椭圆 C 相交于 A? ? , ?

6 , 5

? 6 ? 5

4? ? 6 4? ? , B? ? , ? 5? ? 5 5?

∴ PA ? PB ? ? , ?

?4 ?5

4? ?4 4? ?4? 2 ? 4? ?4? ? ? ? , ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 0 , 5? ?5 5? ?5? ? 5? ?5?

∴PA⊥PB,满足题意, 综上可知,直线 AB 恒过定点,且定点坐标为 ? ?

? 6 ? ,0 ? .-----------------12 分 ? 5 ?

22. (本小题满分 10 分)

(1)证明:∵EF∥CB, ∴∠C=∠DEF. -----------------1 分 ∵∠C=∠EAF,∴∠DEF=∠EAF. -----------------2 分 ∵∠EFD=∠AFE,-----------------3 分 ∴△DEF∽△EAF. -----------------4 分 (2)解:连接 OG. ∵FG 切⊙O 于点 G, ∴OG⊥FG. ∴∠OGD+∠DGF=90°. -----------------5 分 ∵AD 是⊙O 的直径, ∴∠AGD=90°. ∴∠GAF+∠ODG=90°. -----------------6 分
9

C E B D F O

A

G

∵OD=OG,∴∠OGD=∠ODG. ∴∠DGF=∠GAF. -----------------7 分 ∵∠DFG=∠GFA,∴△DFG∽△GFA. ∴

DF FG 2 ? . ∴ FG ? DF ? FA .-----------------8 分 GF FA DF EF ? . EF AF
2 2

∵△DEF∽△EAF. ∴ ∴ EF ? DF ? FA .-----------------9 分
2

∴ EF ? FG . ∴EF=FG=1.

-----------------10 分

10


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