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不等式期末复习讲义

不等式
一、 知识点
1.不等式性质
实数的运算性质与大小顺序之间的关系

a>b a<b a =b

a -b > 0 a -b < 0 a -b=0

用途:a、比较两个实数的大小 b、证明不等式的性质 c、证明不等式和解不等式 比较大小方法: (1)作差比较法(2)作商比较法
不等式的基本性质 ①对称性:a > b ? b > a ②传递性: a > b, b > c ? a > c ③可加性: a > b ?a + c > b + c ④可积性: a > b, c > 0 ?ac > bc; a > b, c < 0 ?ac < bc; ⑤加法法则: a > b, c > d ? a + c > b + d ⑥乘法法则:a > b > 0, c > d > 0 ? ac > bd ⑦乘方法则:a > b > 0, ? an > bn (n∈N) ⑧开方法则:a > b > 0, ? n a ? n b (n ? N ) 2.算术平均数与几何平均数定理: (1)如果 a、b∈R,那么 a2 + b2 ≥2ab(当且仅当 a=b 时等号) a?b ? ab (当且仅当 a=b 时等号) (2)如果 a、b∈R+,那么 2 推广:
2 2 ? a ?b ? a ?b 如果 a , b 为实数,则 ab ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2

重要结论
1)如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ; (2)如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,和 xy 有最大值 S2/4。

? ? ? ? ?

条件为“一正二定三相等” 一正:各项都是正数 二定:求和积定,求积和定 三相等:等号能成立 当等号不成立时,利用下列函数求最值。 a 函数 f(x) ? x ? (a ? 0) 在 (0, a ] x

上递增,在 [ a , ? ? )上递减。
3.证明不等式的常用方法:
比较法:比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因 式或能配成平方和的形式, 则选择作差比较法; 当不等式的两边都是正数且 它们的商能与 1 比较大小,则选择作商比较法;碰到绝对值或根式,我们还 可以考虑作平方差。 综合法: 从已知或已证明过的不等式出发, 根据不等式的性质推导出欲证 的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。 分析法:不等式两边的联系不够清楚,通过寻找不等式成立的充分条件, 逐步将欲证的不等式转化,直到寻找到易证或已知成立的结论。

a?m a 结论:已知 a、b、m都是正数,且 a ? b,则: ? b?m b

4.不等式的解法
(1) 不等式的有关概念 同解不等式: 两个不等式如果解集相同, 那么这两个不等式叫做同解不 等式。 同解变形: 一个不等式变形为另一个不等式时, 如果这两个不等式是同 解不等式,那么这种变形叫做同解变形。 提问:请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形 去分母、去括号、移项、合并同类项 (2) 不等式 ax > b 的解法 ①当 a>0 时不等式的解集是{x|x>b/a}; ②当 a<0 时不等式的解集是{x|x<b/a}; ③当 a=0 时,b<0,其解集是 R;b ? 0, 其解集是 ф 。

(3) 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

(4)绝对值不等式 |x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a} ,几何表示为: ? ? -a 0 a |x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a 或 x>a} ,几何表示为: a≤0 时 结 果如何?

? ? -a 0 a 小结:解绝对值不等式的关键是—去绝对值符号(整体思想,分类讨论)转化为不含绝 对值的不等式,通常有下列三种解题思路: (1)定义法:利用绝对值的意义,通过分类讨论的方法去掉绝对值符号; (2)公式法:| f(x) | > a ? f(x) > a 或 f(x) < -a;| f(x) | < a ? -a<f(x) < a; (3)平方法:| f(x) | > a(a>0) ? f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) ? f2(x) < a2; (4)几何意 义。

(5)分式不等式的解法

f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0, ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 g ( x) g ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0且g(x) ? 0 g ( x)
(6)一元高次不等式的解法 数轴标根法
把不等式化为 f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正) ,然后分解因式,再把根按 照从小到大的顺序在数轴上标出来,从右边入手画线,最后根据曲线写出不等式的解。

(7)含有绝对值的不等式

定理:|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|
? |a| - |b|≤|a+b| 中当 b=0 或|a|>|b|且 ab<0 等号成立 ? |a+b|≤|a| + |b| 中当且仅当 ab≥0 等号成立
推论 1:|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|
4

推广:|a1 + a2 +…+ an| ≤|a1 | +| a2 | +…+ | an| 推论 2:|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|

二、常见题型专题总结:
专题一:利用不等式性质,判断其它不等式是否成立 特殊值 1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是( C ) A、若 a>b,则|a|>|b| B、若 a>b,则 1/a<1/b 3 3 C、若 a>b,则 a >b D、若 a>b,则 a/b>1 2、已知 a<0.-1<b<0,则下列不等式成立的是( D ) A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a 3、当 0<a<b<1 时,下列不等式成立的是( D ) A、(1―a)1/b >(1―a)b B、(1+a)a>(1+b)b C、(1―a)b >(1―a)b/2 D、(1―a)a>(1―b)b 4、若 loga3>logb3>0,则 a、b 的关系是( B ) A、0<a<b<1 B、b>a>1 C、0<b<a<1 D、1<b<a 2 2 2 2 a b 5、若 a>b>0,则下列不等式①1/a<1/b;②a >b ;③lg(a +1)>lg(b +1);④2 >2 中成立 的是( A ) A、①②③④ B、①②③ C、①② D、③④ (二)比较大小 1、若 0<α <β <π /4,sinα +cosα =a,sinβ +cosβ =b,则( A ) A、a<b B、a>b C、ab<1 D、ab>2 n n n-1 n-1 2、a、b 为不等的正数,n∈N,则(a b+ab )-(a +b )的符号是( C ) A、恒正 B、恒负 C、与 a、b 的大小有关 D、与 n 是奇数或偶数有关 2 2 2 2 3、设 1<x<10,则 lg x,lgx ,lg(lgx)的大小关系是 lgx >lg x>lg(lgx) 4、设 a>0,a≠1,比较 logat/2 与 loga(t+1)/2 的大小。

5、比较

b a



a b

的大小。

6、若a ? 1,比较M ? a ? 1- a与N ? a- a-1的大小。 a?b 2 a 2 ? b2 ,G= ab,H= ,Q= 2 1/a ? 1/b 2 试 比较A、G、H、Q的大小 。 7、设a、b是不相等的正数, A=
分析:要比较大小的式子较多,为避免盲目性,可先取特殊值估测各式大小关系,然后 用比较法(作差)即可。
5

(三)利用不等式性质判断 P 是 Q 的充分条件和必要条件 1、设 x、y∈R,判断下列各题中,命题甲与命题乙的充分必要关系 ⑴命题甲:x>0 且 y>0, 命题乙:x+y>0 且 xy>0 充要条件 ⑵命题甲:x>2 且 y>2, 命题乙:x+y>4 且 xy>4 充分不必要条件 2、已知四个命题,其中 a、b∈R 2 2 2 2 2 2 2 2 ①a <b 的充要条件是|a|<|b|; ②a <b 的充要条件是|a| <|b| ; ③a <b 的充要条件是(a+b) 2 2 与(a-b)异号;④a <b 的充要条件是(|a|+|b|)与(|a|-|b|)异号.其中真命题的序号是 _ 。 3、 “a+b>2c”的一个充分条件是( C ) A、a>c 或 b>c B、a>c 或 b<c C、a>c 且 b>c D、a>c 且 b<c (四)范围问题 1、设 60<a<84,-28<b<33,求:a+b,a-b,a/b 的范围。 2、若二次函数 y=f(x)的图象过原点,且 1≤f(―1)≤2,3≤f(1)≤3,求 f(―2)的范围。 (五)均值不等式变形问题 1、当 a、b∈R 时,下列不等式不正确的是( D ) A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|) 2、x、y∈(0,+∞),则下列不等式中等号不成立的是( A )

A、x ?

1 ? x

1 x? 1 x

?2

1 1 B、 (x ? ) ? (y ? ) ? 4 x y

C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2 3、已知 a>0,b>0,a+b=1,则(1/a2―1)(1/b2―1)的最小值为( D ) A、6 B、7 C、8 D、9 4、已知 a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求证:1/a+1/b+1/c≥9 5、已知 a>0,b>0,c>0,d>0,求证:

ad ? bc bc ? ad ? ?4 bd ac

1 的代换

(六)求函数最值 1、若 x>4,函数 y ? ? x ?

1 ,当 x ? ____ 时,函数有最_值是 _____ 。 4? x

5、大、-6 2、设 x、y∈R, x+y=5,则 3x+3y 的最小值是( )D A、10 B、 6 3 C、 4 6 D、 18 3

3、下列各式中最小值等于 2 的是( )D

6

A、x/y+y/x

B、

x2 ? 5 x ?4
2

C、tanα +cotα

D、2x+2

-x

4、已知实数 a、b、c、d 满足 a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2 的最小值。 5、已知 x>0,y>0,2x+y=1,求 1/x+1/y 的最小值。 (七)实际问题 1、98(高考)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为 2cm 的无盖长方 体沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 am,高度为 bm, 已知流出的水中该杂质的质量分数与 a、b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60m2,问当 a、b 各为多少米时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B 孔的面积忽略不 计) 。 解一:设流出的水中杂质的质量分数为 y, A 由题意 y=k/ab,其中 k 为比例系数(k>0) 据题设 2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0) a

?b ?

30 ? a 2?a

b B

由 a>0,b>0 可得 0<a<30

?y ?

k k ? ab 30a ? a 2 2?a

令 t=2+a,则 a=t-2 从而

30a ? a 2 30(t ? 2) ? (t ? 2) 2 34t ? t 2 ? 64 64 64 ? ? ? 34 ? (t ? ) ? 34 ? 2 t ? ? 18 2?a t t t t
当且仅当 t=64/t,即 t=8,a=6 时等号成立。∴y=k/ab≥k/18 当 a=6 时,b=3, 综上所述,当 a=6m,b=3m 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 解二:设流出的水中杂质的质量分数为 y,由题意 y=k/ab,其中 k 为比例系数(k>0) 要求 y 的最小值,即要求 ab 的最大值。 据题设 2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0),即 a+2b+ab=30

? a ? 2b ? 2 2ab(当且仅当a ? 2b时等号成立) ? ab ? 2 2ab ? 30,解得- 5 2 ? ab ? 3 2 即0 ? ab ? 18,由a ? 2b及ab ? a ? 2b ? 30解得a ? 6, b ? 3
即 a=6,b=3 时,ab 有最大值,从而 y 取最小值。 综上所述,当 a=6m,b=3m 时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。
7

2、某工厂有旧墙一面长 14 米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形,面积为 126 米 2 的厂房,工程条件是:①建 1 米新墙的费用为 a 元;②修 1 米旧墙的费用为 a/4 元; ③拆去 1 米旧墙用所得材料建 1 米新墙的费用为 a/2 元.经过讨论有两种方案:⑴利用 旧墙的一段 x(x<14)米为矩形厂房的一面边长;⑵矩形厂房的一面长为 x(x≥14).问如 何利用旧墙,即 x 为多少米时,建墙费用最省?⑴⑵两种方案哪种方案最好? 解:设总费用为 y 元,利用旧墙的一面矩形边长为 x 米,则另一边长为 126/x 米。 ⑴若利用旧墙的一段 x 米(x<14)为矩形的一面边长,则修旧墙的费用为 x?a/4 元,剩余 的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x)?a/2 元, 其余的建新墙的费用为(2x+ 2?126/x -14)?a 元,故总费用

a 14 ? x 252 x 36 x? a ? a(2 x ? ? 14) ? 7 a ( ? ? 1) 4 2 x 4 x x 36 ? ? ? 6, 4 x y?
当且仅当 x=12 时等号成立,∴x=12 时 ymin=7a(6-1)=35a。 ⑵若利用旧墙的一段 x 米(x≥14)为矩形的一面边长,则修旧墙的费用为 x?a/4 元,建 新墙的费用为(2x+ 2?126/x-14)?a 元,故总费用

a 252 7 126 x ? a(2 x ? ? 14) ? a ? 2a ( x ? ? 7) 4 x 2 x 126 ?x? ? 2 126, 当x ? 126 时等号成立,但 126 ? 14? 等号不成立。 x y?
设 f(x)=x+126/x, x2>x1≥14,则 f(x2)-f(x1)= x2+126/x2-(x1+126/x1) =(x2―x1)(1―126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x 在[14,+∞)上递增,∴f(x)≥f(14) ∴x=14 时 ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a 综上所述,采用方案⑴,即利用旧墙 12 米为矩形的一面边长,建墙费用最省。 (八)比较法证明不等式 1、已知 a、b、m、n∈R+,证明:am+n+bm+n≥ambn+anbm 变:已知 a、b∈R+,证明:a3/b+b3/a≥a2+b2 2、已知 a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,证明:对任意实数 p、q 恒有 a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq) (九)综合法证明不等式 1、已知 a、b、c 为不全相等的正数,求证:

b?c?a a?c?b a?b?c ? ? ?3 a b c

2、已知 a、b、c∈R,且 a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥1/3 3、已知 a、b、c 为不全相等的正数,且 abc=1,求证:

a? b? c?

1 1 1 ? ? a b c
8

4、已知 a、b∈R+,a+b=1,求证: a ? 1 / 2 ? b ? 1 / 2 ? 2 (十)分析法证明不等式 1、已知 a、b、c 为不全相等的正数,求证:bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c 2、已知函数 f(x)=lg(1/x-1),x1、x2∈(0,1/2),且 x1≠x2,求证:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x ? x2 ? ? f? 1 ? 2 ? 2 ?
3、设实数 x,y 满足 y+x2=0,0<a<1,求证:loga (ax+ay)≤loga2+1/8 (十一)反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式 1、设 f(x)=x2+ax+b,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 1/2。 2、若 x2+y2≤1,求证|x +2xy-y |≤ 2 .
2 2

1 1 4 ? ? a?b b?c a?c a b c + ? ? 4、已知 a、b、c∈R ,且 a+b>c 求证: . 1? a 1? b 1? c
3、已知 a>b>c,求证: 5、已知 a、b、c∈R,证明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立。 分析:整理成关于 a 的二次函数 f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2 2 ∵Δ =(c+3b) -4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)≤0 ∴f(a)≥0 2 2 6、已知:x -2xy + y + x + y + 1=0,求证:1/3≤y/x≤3 n n n 7、在直角三角形 ABC 中,角 C 为直角,n≥2 且 n∈N,求证:c ≥a + b

8、设a n ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1)(n ? N) n(n ? 1) (n ? 1)2 求证: ? an ? 对所有正整数 n都成立。 2 2
(十二)解不等式

1 2 3 ? ? x ?1 x ? 3 x ? 2 a?x ?0 2、解关于 x 的不等式: 2 x ?x?2
1、解不等式: (十三)不等式应用 不等式的应用主要有三个方面:一是能转化为求解不等式(组)的有关问题(如求函数 的定义域、讨论一元二次方程的根的分布等) ;二是能转化为不等式证明的有关问题(如 证明函数的单调性) ;三是能转化为重要不等式的极端情形解决的最值问题。

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1、已知 f(x)的定义域是(0,1] ,则函数 y ? f (lg

x2 ? x ) 的定义域是_____________。 2

[-5,-2)∪( 1,4] 2 2、 已知不等式 ax2+bx+c>0 的解集是{x|α <x<β }(0<α <β ),求不等式 cx +bx+a<0 的解集。 3、设 f ( x) ?

2x (x≥0).⑴求证:f(x)是减函数;⑵求 f(x)的值域。 1? 4x
36 x %, 100

4、由于对某种商品实行征税,其售价比原价上涨 x%,涨价后商品卖出量减少

已知税率为销售金额的 20%. ⑴为实现销售金额和扣除税款的余额 y 不比原销售金额少,求上涨率 x%的取值范围; ⑵x 为何值时,y 最大?(保留一位小数) 解:设原价为 a,销售量为 b,则

36x 36x %) ? (1 ? 20%) ? ab(1 ? x%)(1 ? %) ? 80% 100 100 36x ? y ? ab,? (1 ? x%)(1 ? %) ? 80% ? 1 100 16 ? 31 整理得: 36( x%) 2 ? 64( x%) ? 25 ? 0,? 0 ? x% ? 18 ?2?y ? ab(1 ? x%)(25 ? x%) ? 80% ? 36 ab(1 ? x%)(25 ? x%) 9 125 9 y ? a(1 ? x%) ? b(1 ? 25 ? ? 1 ? x% ? ? x% ? 36 ? 9 ? ? ab? 125 ? 2 ? ? ? ? ?
2

当且仅当 1+x%=25/9-x%,即 x%=8/9. ∴x=88.9 时 y 最大。 (十四)恒成立问题 1、若不等式 a<lg(|x―3|+|x―7|)对于一切实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是( ) A、a≥1 B、a>1 C、0<a≤1 D、a<1 2、关于 x 的不等式 2x-1>a(x-2)的解集为 R,求实数 a 的取值范围。 3、 如果关于 x 的不等式

lg?2ax? ? 1 的解集总包含了区间 (1,2] , 求实数 a 的取值范围。 lg?a ? x ?

解:由题设可知,原不等式在(1,2]中总成立,∴a>0 且 a+x>1 原不等式等价于 lg(2ax)<lg(a+x),等价于 2ax<a+x,等价于(1-2a)x+a>0 设 f(x)=(1-2a)x+a,则 f(x)>0 在(1,2]中总成立,故有
10

4、设对 x∈R 有

3x 2 ? 2 x ? 2 ? n(n ? N ) 恒成立,试求 n 的值。 x2 ? x ?1 (3 ? n) x 2 ? (2 ? n) x ? (2 ? n) ? 0(1) x2 ? x ?1

分析:原不等式等价于

由题意不等式(1)的解集为 R 又 x2+x+1 恒大于零, 所以不等式 (1) 等价于(3-n)x2+(2-n)x+(2-n)>0 (2) 故 不等式(2)的解集为 R,从而有

所以 n<2,又 n∈N,所以 n=0 或 1 5、若 f(x)=(m2-1)x2+(m+1)x+1>0 对于一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。

x 2 ? 2x ? a 6、已知函数 f ( x) ? x
⑴当 a=1/2 时,求函数 f(x)的最小值; ⑵若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。 (十五)绝对值不等式定理中等号成立的问题 1、解关于 x 的不等式|x+log2x|=x+|log2x| 2、证明:|x+1/x|≥2 (十六)绝对值不等式的证明 2 1、设 a∈R,函数 f(x)=ax +x-a(-1≤x≤1). ⑴若|a|≤1,求证|f(x)|≤5/4; ⑵若函数 f(x)有最大值 17/8,求实数 a 的值。 2、已知|x-a|<ε /2a,|y-b|<ε /2|a|,且 0<y<A,求证:|xy-ab|<ε 3、

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(十七)探索性问题 1、是否存在自然数 k,使得不等式

1 1 1 1 ? ? ??? ? 2k ? 5 对一切 n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1

正整数 n 都成立,若存在,求出 k 的最大值;若不存在,说明理由。 解:令

1 1 1 ? ??? ,对任意的n ? N ? n ?1 n ? 2 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 2 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? ? 3n ? 2 3n ? 3 3n ? 4 n ? 1 3n ? 2 3n ? 4 3n ? 3 ∴ + 2 f(n+1)>f(n),即 f(n)在 N 上是增函数,∴f(n)的最 ? ?0 3(n ? 4)(n ? 2)(n ? 3) 小值是 f(1) f ( n) ?
又 f(1)=1/2+1/3+1/4=13/12 故对一切正整数 n 使得 f(n)>2a-5 的充要条件是 13/12>2a-5,∴a<73/24 故所求自然数 a 的最大值是 3。 2、已知抛物线 y=f(x)=ax2+bx+c 过点(-1,0) ,问是否存在常数 a、b、c,使得不等式 x 2 ≤f(x)≤(1+x )/2 对于一切实数 x 都成立? 2 解:假设存在常数 a、b、c,使得 x≤f(x)≤(1+x )/2 对一切实数 x 恒成立, 令 x=1 有 1≤f(1)≤1,∴f(1)=1,即 a+b+c=1 ① ∵抛物线过点(-1,0)∴a-b+c=0 ②
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解①②得:b=1/2,c=1/2-a,∴f(x)=ax +x/2+1/2-a 2 2 2 由 x≤f(x)≤(1+x )/2 得 2x≤2ax +x+1-2a≤1+x

2

∴a=1/4,

三、数学思想与方法
(一)分类讨论的思想: 1、设 f(x) = 1+logx3,g(x)=2logx2,其中 x>0 且 x≠1,试比较 f(x)与 g(x)的大小。 2、解关于 x 的不等式

x?a ?0 ( x ? 1)(x ? 1)

分析:①当 a<-1 时,原不等式的解集为{x|x≤a 或-1<x<1}

②当-1<a<时,原不等式的解集为{x|x<-1 或 a≤x<1}

③当 a>1 时,原不等式的解集为{x|x<-1 或 1<x≤a} ④当 a=1 时,原不等式的解集为{x|x<-1 } ⑤当 a=-1 时,原不等式的解集为{x|x<1 且 x≠-1} (二)数形结合的思想 1、关于 x 的方程 x2―x―(m+1)=0 只在[-1,1]上有解,则实数 a 的取值范围是( ) A、 [-5/4,+∞) B、(―5/4,―1) C、 [-5/4,1] D、(-∞,1] 2、设 k、a 都是实数,关于 x 的方程|2x―1|=k(x―a)+a 对于一切实数 k 都有解,求实数 a 的取值范围。 3、已知 0<a<1,0<b<1.求证: + ≥

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分析 观察待证式左端,它的每个根式都使我们想到 Rt△ABC 中的等式 a +b =c , 激起我们构造平面图形利用几何方法证明这个不等式的大胆想法. 如图 27-3,作边长为 1 的正方形 ABCD,分别在 AB、AD 上取 AE=a,AG=b,过 E、G 分别作 AD、AB 的平行线,交 CD、BC 于 F、H,EF、GH 交于 O 点.由题设条件及作图可知, △AOG、△BOE、△COF、△DOG 皆为直角三角形. ∴ OC= 再连结对角形 AC,BD,易知 AC=BD= ∴ ,OA+OC≥AC,OB+OD≥BD, ≥

2

2

2

(三)函数与方程的思想 1、函数 f(x)=lg(x2+ax+1)的值域为 R,求实数 a 的取值范围。 2、已知 f ( x) ? lg

1 ? 2 x ? 3x ? 4 x a ,若 f(x)在(-∞,1]有意义,求实数 a 的取值范 4

围。 3、设不等式 mx2―2x<m―1 对于满足|m|≤2 的一切实数 m 都成立,求 x 的取值范围。 2 分析:设 f(m)=(x ―1)m+2x―1,则对于满足|m|≤2 的一切实数 m 都有 f(m)<0 ∴f(-2)<0 且 f(2)<0 4、已知 x、y、z∈(0,1) ,求证:x(1-y) + y(1-z) + z(1-x) < 1 证明:构造函数 f(x)= x(1-y) + y(1-z) + z(1-x)-1 即 f(x) = (1-y-z)x + y(1-z) + z-1 当 1-y-z = 0,即 y + z = 1 时, f(x) = y(1-z) + z-1 = y + z -1-yz = -yz < 0
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当 1-y-z ≠ 0 时,f(x)为一次函数,又 x∈(0,1) ,由一次函数的单调性,只 需证明 f(0) < 0, f(1) < 0 ∵y、z∈(0,1) ∴f(0) = y(1-z) + z-1 = (y-1)(z-1) < 0 f(1) = (1-y-z) + y(1-z) + z-1 =-yz < 0 ∴对任意的 x∈(0,1)都有 f(x) < 0 即 x(1-y) + y(1-z) + z(1-x) < 1 (四)转化与化归思想 1、关于 x 的方程 4x+(m-3)?2x+m=0 有两个不等的实数根,求实数 m 的取值范围。 (五)换元的思想 1、解不等式: 2 x ? 5 ? x ? 1 变:关于 x 的不等式 ax ? 5 ? x ? b 的解集为[-5/2,2) ,求实数 a、b 的值。 2、 (六)1 的代换 1、已知 a、b∈R+,a+b=1,x、y∈R,求证:ax2+by2≥(ax+by)2 2、已知 x、y 都是正数,a、b 都是正常数,且 a/x + b/y = 1,求证:

x ? y ? ( a ? b)2
3、已知 x、y 都是正数,且 x + y = 1,求证:(1 + 1/x)(1 + 1/y)≥9 4、已知 x、y∈R ,且 1/x + 9/y = 1,求 x + y 的最小值。 5、若 0<x<1,a>0,b>0,求 a/x + b/(1-x)的最小值是。 6、已知 a,b 是正数,且 a + b = 1,求证:(ax + by)(ay + bx)≥xy 分析:∵a,b 是正数,且 a + b = 1 ∴(ax + by)(ay + bx) = a2xy + abx2 + aby2 + b2xy = (a2 + b2)xy+ ab(x2 + y2) = (1-2ab)xy+ ab(x2 + y2) = xy+ ab(x2 + y2-2xy) = xy + ab(x-y)2 ≥xy (七)特殊与一般的思想 1、已知 a、b、c ∈R,函数 f (x) = ax2 + bx + c, g(x) = cx2+bx + a, 当|x| ≤1 时,有|f(x)≤2。 (1)求证:|g(1)| ≤ 2; (2)求证:当|x| ≤ 1 时,|g(x)|≤ 4. 证: (1)∵当|x| ≤1 时,|f(x)|≤2,∴|f(1)|≤2 又|f(1)|=|g(1)| ∴|g(1)|≤2 2 (2)∵f(x)= ax +bx+c ∴f(1)= a+b+c,f(―1)= a―b+c, f(0)= c
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+

∴a= [f(1)+f(-1) -2f(0)]/2,b= [f(1)-f(-1)]/2 ∵|x|≤1 时|f(x)|≤2 ∴|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2,|f(0)|≤2 2 ∴|g(x)|=|cx +bx+a| 2 =|x f(0)+[f(1)-f(-1)]x/2+[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2| 2 =|(x -1)f(0)+(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2| 2 ≤|(x -1)f(0)|+|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2| 2 ≤|(x+1)/2||f(1)| +|(x-1)/2||f(-1)|+|(1-x )||f(0)| ≤x+1+1-x+2 = 4 2 小结:对于二次函数 f(x)=ax +bx+c c=f(0) 2a=f(1)+f(-1)-2f(0) 2b=f(1)―f(―1) 2、 已知 a、 b、 c ∈R,函数 f (x) = ax2 + bx + c, g(x) = ax + b, 当-1≤x≤1 时, 有|f(x)≤1。 (1) 证明:|c|≤1; (2)证明:当-1≤x≤1 时,|g(x)|≤2; (3)设 a>0,-1≤x≤1 时,g(x)的最 大值为 2,求 f(x)的解析式。 ①证明:∵-1≤x≤1 时,有|f(x)|≤1,∴当 x = 0 时,有 f (0) = c, 即|c| = |f(0)|≤1,故|c|≤1。 ②证明:欲证当-1≤x≤1 时,有|g(x)|≤2,即证-1≤x≤1 时,-2≤g(x)≤2。对 a 分类讨论 当 a>0 时, ∵g(x)在[-1,1]上是增函数,∴-a+b≤g(x)≤a+b, ∵a+b = f(1)-c ≤|f(1)| + |c|≤2, -a +b = -[f(-1)-c]≥-[|f(-1)|+|c|]≥-2, ∴-2≤g(x)≤2,即|g(x)|≤2。 当 a<0 时, ∵g(x)在[-1,1]上是减函数,∴a+b≤g(x)≤-a+b, ∵a+b = f(1)-c ≥-[|f(1)|+|c|]≥-2 , -a +b = -[f(-1)-c] ≤|f(-1)|+ |c|≤2,, ∴-2≤g(x)≤2,即|g(x)|≤2。 综上所述,有|g(x)|≤2。 ③∵a>0,∴g(x)在[-1,1]上是增函数, ∴x=1 时,g(x)取最大值 2,即 a+b=2。 ∴f(1)-f(0)=a+b=2, ∴-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,即 c= f(0)=-1, ∵-1≤x≤1 时,f(x)≥-1= f(0), ∴x = 0 为函数 f(x)图象的对称轴, ∴b = 0, 故 a=2,所以 f(x)=2x2-1。 2 ②另解:∵f(x)= ax +bx+c ∴f(1)= a+b+c,f(―1)= a―b+c, f(0)= c ∴a= [f(1)+f(-1) -2f(0)]/2,b= [f(1)-f(-1)]/2
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∵|x|≤1 时|f(x)|≤1 ∴|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1 ∴|g(x)|=|ax+b| =|[f(1)+f(-1)-2f(0)]x/2+[f(1)-f(-1)]/2| =|(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2-xf(0)| ≤|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2|+|-xf(0)| ≤|(x+1)/2||f(1)| +|(x-1)/2||f(-1)|+|-x||f(0)| ≤(x+1)/2+(1-x)/2+1= 2 3、是否存在满足下列条件的二次函数 f(x): ⑴当|x|≤1 时,|f(x)|≤1;⑵f(2)>7。若存在,求出解析式;若不存在,说明理由。 2 4、设 f(x)=x +bx+c(b、c 为常数),定义域为[-1,1] ,⑴设|f(x)|的最大值为 M,求 证:M≥1/2;⑵求出⑴中当 M=1/2 时,f(x)的表达式。

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