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高三数学综合测试题4


高三数学综合测试题
一. 填空题: 1. 集合 A={ z | z ? 2. 函数 y ?
2

(四)

q , 其中 p ? q ? 5, p, q ? N }, 用列举法表示集合 A= p



x ?1 x ?1

x?0

x?0
3

的反函数是 .



3.已知 lg ( x ? 10) ? lg( x ? 10) ? 4 ,则 x = 4.函数 y ? sin(2 x ?
?? ?? ??

3? ? ) cos(2 x ? ) 的最小正周期 T= 4 4
??



5. | a | ? | b |?| a ? b | 成立的充要条件是 . 6. 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形, 底面边长是 a , 则正棱锥的全面积是

. . . .

n ?1 k? 7.已知 sin x ? tgx ,其中 x ? , (k ? Z ) ,则整数 n 的值为 2 2 2 8.抛物线 y ? ?4 x 上的点到直线 y ? 4 x ? 5 的最短距离是 1 2 9.在复数范围内分解因式: ? x ? x ? 3 ? 2

10.盒内装着标有 1 至 9 号的大小相同的球,若随机取出 5 个,则号码之和是奇数的概率 是 . 二. 选择题: 11.如果 x ? R ,那么 (1? | x |)(1 ? x) 是正数的充要条件是( ) (A)| x |<1; (B) x <-1 或-1< x <1; (C)| x |>1; (D) x <-1. 12.已知 ( x ?
2

1
3

x

) n 的展开式中第三项的二项式系数是 66,则展开式里含 x 3 的项为
3 3 3 3



) (A)220 x ; (B)-220 x ; (C)110 x ; (D)-110 x .

13.函数 y ?

2? 1 ? arccos( x ? 1) 的定义域是( 3 2



(A) [1,??) ; (B)[1,4]; (C)[0,4]; (D) (2 ? 3,4] . 14.以 y ? ? 3x 为渐近线,一个焦点在 F(0,2)的双曲线方程为( (A) x ?
2 2 2
2 2 2



x y x y2 y y 2 ? ? 1; ? ? ?1 . ? 1; (B) x ? (C) (D) ? ?1 ; 2 2 3 3 3 3
2

15.函数 y ? cos ( x ?

?

(A)周期是 2 ? 的奇函数; (B)周期是 ? 的偶函数; (C)周期是 ? 的奇函数; (D)周期是 2 ? 的偶函数. 16.已知两条相交直线 a 和 b,a∥平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系是( ) (A)b∥ ? ; (B)b 与 ? 相交; (C)b ? 与 ? ; (D)b∥ ? 或 b 与 ? 相交. 17.已知 P:b ? 4ac ? 0(a, b, c ? R, a ? 0) ,Q:方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )有实根, 则 P 是 Q 的( )条件 (A)充要; (B)充分非必要; (C)必要非充分; (D)非充分非必要. 18.如果命题“坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 的点都在曲线上”是错的,那么下列各命题中正 确的是( )
2

12

) ? sin 2 ( x ?

?

12

) ? 1 是(



2

(A)坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 的点都不在曲线上; (B)坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 的点有些在曲线上,有些不在曲线上; (C)曲线上的点的坐标不都满足方程 F ( x, y) ? 0 ; (D)一定有不在曲线上的点,其坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 . 19.函数 y ?

3x ? 4 的图象( x?2
'



(A)关于点(2,-3)对称;

(B)关于点(-2,3)对称; (C)关于直线 x =-2 对称; (D)关于直线 y =3 对称. 20. 平移坐标轴, 使新坐标原点在 O (2, , 3) 则圆 x ? y ? 4 x ? 6 y ? 0 在新坐标系 x O y
2 2 ' ' '

中的方程是(
'2 '2 '



(A) x ? y
'2 '2

'2

? 13 ;
'2

(B) x ? y ? 4 x ? 9 ? 0 ; (C) x ? y

? 25 ; (D) x '2 ? y '2 ? 8 x ' ? 3 ? 0 .

三. 解答题: 21.如图,甲、乙两塔相距 120 米,在甲塔 A 点测得乙塔的仰角为 ? ,在乙塔 C 点测得甲 塔的仰角为 2 ? ,又在两塔正中一点 M 测得两塔的仰角互余,求甲乙两塔 AB、CD 的高 B 度. D 2? C M

?

A

22.如图,已知正三棱锥 S-ABC,自底面顶点 A 向其所对侧面 SBC 作垂线,垂足 O 在平 面 SBC 内,连接 SO 并延长交 BC 于 D. (1)求证:BC 垂直于平面 SAD. (2)设

SO 1 ? ,求三棱锥 S-ABC 的侧面与底面 ABC 所成的二面角的度数. SD 4 S
O A D B C

23.如图,过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的顶点作两条互相垂直的弦 OA、OB.
2

(1)设 OA 的斜率为 k ,试用 k 表示点 A、B 的坐标. (2)求弦 AB 中点 M 的轨迹方程.

24.已知数列{ a n }中, S n 是它的前 n 项的和,且 S n?1 = 4 a n +2( n =1,2,?) a1 =1. , (1)设 bn = a n ?1 -2 a n ( n =1,2,?) ,求证:数列{ bn }是等比数列.

an ( n =1,2,?) ,求证:数列{ c n }是等差数列. 2n (3)求数列{ a n }的通项公式及前 n 项和的公式.
(2)设 c n ?

高三数学综合测试题
一. 填空题: 1. { , , } ; 2. y ? ? 4,
?? ?? ??

(四)

1 4

3 2 2 3

?x ? 1 ?x ? 1
??

? , x ? ?1 ; 3. x =9990 或 x =-9.9; 4. T ? ; ,x ? 1 2
3? 3 2 19 17 ; a ; 7.0 或 2; 8. 4 68

5. | a | ≥ | b | 且 | a | 、 | b | 方向相同; 6. 9. ?

1 11 ( x ? 1 ? 5i)( x ? 1 ? 5i) ; 10. . 2 21

二. 选择题: 11.B; 12.B; 13.B; 14.B; 15.C; 16.D; 17.A; 18.D; 19.B; 20.D. 三. 解答题: 21.解:设∠AMB= ? ,则∠CMD=90 - ? .
0

∵AB=AC ? tg 2? =AM ? tg? ,∴ tg? =2 tg 2? 又 CD=AC ? tg? =CM ? ctg? ,∴ ctg? ? 2tg? . ? 4tg? ? tg 2? ? 1 ,

8tg 2? 1 3 ? 1 ,得 tg? ? , tg 2? = , 2 1 ? tg ? 3 4
∴AB=90(米) ,CD= 40(米) 22.解: (1)如图,AO⊥平面 SBC,∴AO⊥BC.又 SA⊥BC, ∴BC⊥平面 SAD. (2)∵S-ABC 是正三棱锥,∴D 为 BC 的中点, ? SD⊥BC,AD⊥BC, A ∴∠SDA 是二面角 S-BC-A 的平面角. 过点 S 作平面 ABC 的垂线,垂足为 O1 . ∵S-ABC 是正三棱锥,AD⊥BC,∴点 O1 在 AD 上, S O C

O1
B

D

O D OD 1 , ? O1 D= AD.令∠SDA= ? ,则 0 0 < ? <90 0 ,且 cos ? ? 1 ? SD AD 3 O D OD SO 1 OD 3 1 2 ∴ cos ? ? 1 ? ,∵ ? ,则 ? , ? cos2 ? ? . SD AD SD 4 SD 4 4 1 ∵0 0 < ? <90 0 ,∴ cos ? ? , ? =60 0 . 2
即:三棱锥 S-ABC 的侧面与底面 ABC 所成的二面角的度数为 60 0 . 23.解: (1)直线 OA 的方程为 y = k x ,解方程组 ? 得 xA =

?y ? kx
2 ? y ? 2 px



2p 2p , yA = . 2 k k

1 ? 1 ?y ? ? x 直线 OB 的方程为 y = ? x ,解方程组 ? k , k ? y 2 ? 2 px ? 2 得 x B = 2 pk , y B = ? 2 pk . 2p 2p 2 ∴A( 2 , ) ,B( 2 pk , ? 2 pk ) . k k 2 (2)点 M 的轨迹方程为 y ? p( x ? 2 p) ( p ? 0 ) .

24.解: (1)∵ S n?1 = 4 a n +2,∴ S n ? 2 = 4 a n ?1 +2, 相减得 an? 2 = 4 a n ?1 -4 a n( n =1, ?) 即 an? 2 -2 a n ?1 = 2 a n ?1 -2 a n ) 2, , ( . ∵ bn = a n ?1 -2 a n ( n =1,2,?) , ∴ bn ?1 =2 bn , b1 ? a 2 ? 2a1 ? 3

? 数列{ bn }是以 3 为首项,2 为公比的等比数列.故 bn =3 ? 2 n ?1 . a a a a ? 2a b (2)∵ c n ? n ( n =1,2,?) ,∴ c n ?1 ? c n ? n ?1 ? n ? n ?1 n ?1 n ? nn 1 , n n ?1 n 2 2 2 2 2? 3 将 bn =3 ? 2 n ?1 代入得 c n ?1 ? c n ? ( n =1,2,?) , 4 1 3 1 ∴数列{ c n }是以 为首项, 为公差的等差数列,故 c n ? (3n ? 1) . 2 4 4 1 n n?2 (3)∵ c n ? (3n ? 1) ,∴ a n = 2 ? c n ? (3n ? 1) ? 2 ( n =1,2,?) . 4 n ?1 当 n ≥2 时, S n = 4 a n ?1 +2= (3n ? 4) ? 2 +2. 由于 S1 ? a1 ? 1也适合此等式, n ?1 ∴数列{ a n }的前 n 项和的公式为: S n = (3n ? 4) ? 2 +2.


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