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一、


第一章
考纲导读

集合

(一)集合的含义与表示 1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。 (二)集合间的基本关系 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 2.在具体情境中,了解全集与空集的含义. (三)集合的基本运算 1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 3.能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算。 高考导航 根据考试大纲的要求,集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及,高考命题热点有以下两个方面: 一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查,题型多以选择、填空 题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体,以集合的语言和符号为表现形式, 结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现。

第 1 课时
基础过关

集合的概念

一、集合 1.集合是一个不能定义的原始概念 ,描述性定义为:一般地,把一些能够 .........

的、

的 .集合

对象看成一个整体,就说 是由这些对象的 构成的集合,简称 中的每一个对象叫做这个集合的 . 2.集合中的元素属性具有: (1) 确定性; (2) ; (3) . 3. 集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种, 有限集常用 无限集常用 表示,图示法常用于表示集合之间的相互关系. 【思考 1】⑴空集是有限集还是无限集?怎样理解空集? ⑵区间表示也称作集合的第四种表示,想想它的适用范围是什么? 二、元素与集合的关系 4.元素与集合是属于和 的从属关系 ,若 a 是集合 A 的元素,记作 ....

表示,

,若 a 不是

集合 B 的元素,记作 .但是要注意元素与集合是相对而言的. ??? 1、 2?? 、 3?? ? 【思考 2】怎样理解“元素与集合是相对而言的”这句话?有没有集合 ??? 、 ? 三、集合与集合的关系 5.集合与集合的关系用符号 表示. 6.子集:若集合 A 中 都是集合 B 的元素,就说集合 A 集合 B (或集合 B 包含 集合 A ),记作 . 7. 相等: 若集合 A 中 都是集合 B 的元素, 同时集合 B 中 都是集合 A 的元素, 就说集合 A 等于集合 B ,记作 . 8.真子集:如果 就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 . 9. 若集合 A 含有 n 个元素, 则 A 的子集有 个, 真子集有 个, 非空真子集有 个. 10.空集 ? 是一个特殊而又重要的集合,它不含任何元素,? 是任何集合的 ,? 是任何 非空集合的 ,解题时不可忽视 ? . 【思考 3】你能否运用所学过的知识,给出子集个数的计算公式? 典型例题
-1-

例 1:若 M ? x x ? ?1 ,则下列选项正确的是(

?

A. 0 ? M
A. x x ? 3 ? 3
2

B. ?0?? M

?



C. ? ? M

2

D. ?0? ? M
C. x ? x 2 ? 0

变式训练 1:下列集合中,是空集的是(

? 例 2:(1) P ? ?x x
?

?

B. ( x, y ) y ? ? x , x, y ? R
2

? ? 变式训练 2: 若 A ? ?x ? 2 ? x ? 5?,B ? ? m ? 1, 2m ?1? ,B ? A ,则 m 的取值范围为
(2) A ? x ? 2 ? x ? 5 , B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 , B ? A ,则 m 的取值范围为 例 3:(2011 安徽)设集合 A ? ?1, 2,3, 4,5,6? , B ? ?4,5,6,7,8? ,则满足 S ? A 且 S 合 S 的个数是( )

? 2 x ? 3 ? 0 , S ? ?x ax ? 2 ? 0?, S ? P ,则 a 的值为

?

?

?

?

?

?

D. x x 2 ? x ? 1 ? 0, x ? R


?

?
. .

B ? ? 的集

C. 49 D. 8 2 变式训练 3: (2011 浙江) 设 a, b, c 为实数,f ( x) ? ( x ? a)( x ? bx ? c) , g ( x) ? (ax ? 1)(cx2 ? bx ? 1) ,
记集合 S ? x f ( x ) ? 0, x ? R , T ? x g ( x ) ? 0, x ? R ,若 S , T 分别为集合 S , T 的元素个 数,则下列结论不可能的是( )

A. 57

B. 56

?

?

?

?

A. S ? 1 且 T ? 0

B. S ? 1 且 T ? 1

C. S ? 2 且 T ? 2

D. S ? 2 且 T ? 3

例 4:(2010 湖南)若规定 E ? ?a1, a2 , 集,其中 k ? 2
i1 ?1

, a10? 的子集 ?ai1 , ai2 ,

, ain 为 E 的第 k 个子集,第 k 个子

?

⑴ ?a1 , a3? 是 E 的第

?2

i2 ?1

?

?2

in ?1

,则

个子集;

⑵ E 的第 211 个子集为 . x? y, xy ? S , 变式训练 4:(2010 四川)设 S 为实数集 R 的非空子集.若对任意 x ,y ? S , 都有 x ? y , 则称 S 为封闭集.下列命题: ①集合 S ? a ? b 3 a,b为整数 为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S ? T ? R 的任意集合 T 也是封闭集. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号)

?

?

归纳小结 1.本节的重点是集合的基本概念和表示方法,对集合的认识,关键在于化简 给定的集合,确定集合 .. 的元素,并真正认识集合中元素的属性,特别要注意代表元素的形式 ,不要将点集和数集混淆. ......... 2.利用相等集合的定义解题时,特别要注意集合中元素的互异性 ,对计算的结果要加以检验 . .............. .. 3.注意空集 ? 的特殊性,在解题时,若未指明集合非空,则要考虑 集合为空集的可能性 . .. ......... 4.要注意数学思想方法在解题中的运用,如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中 的应用.

-2-


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