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2.2.2 对数函数及其性质第1课时 对数函数及其性质 课件(人教A版必修1)

第二章 2.2.2 对数函数及其性质
第一课时 对数函数及其性质

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

●课标展示 1.理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函 数模型. 2.能画出具体对数函数的图象,并通过观察图象探索对

数函数的性质.
3.了解指数函数 y = ax 与对数函数 y= logax 互为反函数 (a >0,且a≠1).

●温故知新
旧知再现 a>0,且a≠1 1.对数式x=logaN中,a的取值范围是 ______________ , N>0 N的取值范围是_____. 0 2.loga1(a>0,且a≠1)=_____. 指数 函数, 3.一般地,我们把函数y=ax(a>0且a≠1)叫做_____ (0,+∞ ) 它的定义域为R,值域为__________ .把指数式 y=ax化为对 数式为x=logay.

新知导学 1.对数函数的定义 logax a>0,且a≠1)叫做对数函 一般地,我们把函数y=_____( (0,+∞) 数,其中x是自变量,函数的定义域是__________ .

[归纳总结]
a≠1.

(1)由于指数函数y=ax中的底数a满足a>0,

且 a≠1 ,则对数函数 y = logax 中的底数 a 也必须满足 a > 0 ,且 (2)对数函数的解析式同时满足:①对数符号前面的系数是 1;②对数的底数是不等于1的正实数(常数);③对数的真数仅

有自变量x.

2.对数函数的图象和性质 一般地,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质如 下表所示:
a>1 图 象 0<a<1

(0,+∞) 定义域:__________ 值域:R




图象过定点_____ (1,0) ,即当x=1时,y=0 在(0,+∞)上是 增函数 _______ 在(0,+∞)上是 减函数 _______

非奇非偶函数

[归纳总结] 对数函数的知识总结: 对数增减有思路,函数图象看底数; 底数只能大于0,等于1来可不行; 底数若是大于1,图象从下往上增;

底数0到1之间,图象从上往下减;
无论函数增和减,图象都过(1,0)点.

3.反函数 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)和指数函数y=ax(a>0, y=x 对称. 且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线_______

●自我检测
1 .函数 f(x) = logax 的图象如图所示,则 a 的取值可能是 ( )

A.10 1 C.3

1 B.2 1 D.4

[答案] A

2.函数y=log4.3x的值域是( A.(0,+∞) C.(-∞,0) D.R

)

B.(1,+∞)

[答案] D

3.已知f(x)=log9x,则f(3)=________.
[答案] 1 2
1 92

[解析] f(3)=log93=log9

1 =2.

4.函数y=lnx的反函数是________. [答案] y=ex

互动课堂

●典例探究

对数函数概念 下列函数表达式中,是对数函数的有( ⑤y=logx(x+2);⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1). )

①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=lnx;

A.1个
C.3个 [答案] C

B.2个
D.4个

[ 解析]

根据对数函数的定义进行判断.由于①中自变量

出现在底数上,∴①不是对数函数;由于②中底数a∈R不能保 证a>0且a≠1,∴②不是对数函数;由于⑤、⑦的真数分别为(x

+2),(x+1),∴⑤、⑦也不是对数函数;由于⑥中log4x系数
虽为2,但可变形为y=log2x,∴⑥也是对数函数;只有③、④、 ⑥符合对数函数的定义.

规律总结:对于对数概念要注意以下两点: (1)在函数的定义中,a>0且a≠1. (2)在解析式y=logax 中,logax的系数必须为 1,真数必须 为x,底数a必须是大于0且不等于1的常数.

1

指出下列函数中,哪些是对数函数? ①y=5x;②y=-log3x;③y=log0.5 x;④y=log3 x;⑤y
2

=log2(x+1).

[解析] ①是指数函数;②中 log3x 的系数为-1,但可变 形为 y=log1 x;∴②是对数函数;③中的真数为 x,但可变形
3

为 y=log

0.5x,∴③是对数函数;⑤中的真数是(x+1),∴⑤不

是对数函数;∴②③④是对数函数.

2
2

对数函数的定义域: 求下列函数的定义域

(1)y=log5(1-x); (2)y=log1-x5; ln?4-x? (3)y= x-3 (4)y= log0.5?4x-3?.

[分析]

函数解析 列关于自变量 → → 得定义域 式有意义 的不等式?组?

[解析] (1)要使函数式有意义,需 1-x>0,解得 x<1, 所以函数 y=log5(1-x)的定义域是{x|x<1}.
? ?1-x>0 (2)要使函数式有意义,需? ? ?1-x≠1

,解得 x<1,且 x≠0,

所以函数 y=log1-x5 的定义域是{x|x<1,且 x≠0}.

? ?4-x>0 (3)要使函数式有意义,需? ? ?x-3≠0

,解得 x<4,且 x≠3,

ln?4-x? 所以函数 y= 的定义域是{x|x<4,且 x≠3}. x -3
? ?4x-3>0 (4)要使函数式有意义, 需? ? ?log0.5?4x-3?≥0

3 , 解得4<x≤1,

3 所以函数 y= log0.5?4x-3?的定义域是{x|4<x≤1}.

规律总结: 定义域是使解析式有意义的自变量的取
值集合,求与对数函数有关的定义域问题时,要注意对数函数 的概念,若自变量在真数上,则必须保证真数大于 0;若自变 量在底数上,应保证底数大于0且不等于1.

2

(1)(2013 ~ 2014 衡 水 高 一 检 测 ) 已 知 函 数 f(x) =
x ? ?3 ,x≤0, ? ? ?log2x,x>0,

1 那么 f(f(8))的值为( 1 B.27 1 D.-27

)

A.27 C.-27

1 (2)(2014· 全国高考山东卷)函数 f(x)= 的定义域为 log2x-1 ( ) A.(0,2) C.(2,+∞) B.(0,2] D.[2,+∞)

[答案] (1)B (2)C

1 1 [解析] (1)f(8)=log28=-3, 1 1 -3 f(f(8))=f(-3)=3 =27. (2)使函数有意义应满足 log2x-1>0 即 log2x>1,∴x>2,故 选 C.

3

考查对数函数的图象
3 (1)函数y=loga(x+1)-2(a>0,且a≠1)的图象

恒过点________. (2)已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象

只能是(

)

[分析]

对数函数的图象 令x+1=1, (1) → 恒过点?1,0? 得x=0

→ 得定点坐标 ?→ 利用函数的性质识别 各选项中 ? (2) —? 利用图象所在的半平面 的图象 ?→ ? 及函数的单调性判断

[解析]

(1)因为函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点

(1,0),则令x+1=1得x=0,此时y=loga(x+1)-2=-2. 所以函数y=loga(x+1)-2(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0, -2). (2) 方法一:若 0 < a < 1 ,则函数 y = ax 的图象下降且过点

(0,1) ,而函数 y = loga( - x) 的图象上升且过点 ( - 1,0) ,以上图
象均不符合. 若a>1,则函数y=ax的图象上升且过点(0,1),而函数y=

loga(-x)的图象下降且过点(-1,0),只有B中图象符合.

方法二:首先指数函数 y = ax 的图象只可能在上半平面, 函数y=loga(-x)的图象只可能在左半平面,从而排除A,C; 再看单调性,y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,排除D.

只有B中图象符合.
[答案] (1)(0,-2) (2)B

3

(1)函数f(x)=4+loga(x-1)(a>0,且a≠1)的图象过一个定 点,则这个定点的坐标是________. (2)(2013 ~ 2014 长 春 高 一 检 测 ) 已 知 f(x) = ax , g(x) = logax(a > 0 且 a≠1) ,若 f(3)g(3) < 0 ,则 f(x) 与 g(x) 在同一坐标系 里的图象是( )

[答案] (1)(2,4)

(2)C

[解析]

(1)因为函数y=loga(x-1)的图象过定点(2,0),所

以f(x)=4+loga(x-1)的图象过定点(2,4). (2)∵a>0且a≠1,∴f(3)=a3>0. 又f(3)g(3)<0,∴g(3)=loga3<0,

∴0< a< 1 ,∴f(x) =ax 在 R上是减函数 g(x) = logax在(0,
+∞)上是减函数,故选C.

●误区警示 易错点 忽略对数函数的定义域致错
4 求函数y=

log x-1的定义域.
2

1

[错解]
2

要使函数有意义,应有log1 x-1≥0,
2

∴log1 x≥1, 1 ∵y=log1 x为减函数,∴x≤2, 2 1 ∴函数的定义域为(-∞, ]. 2

[辨析]

解决有关对数式的问题时,一定要牢记真数大于
2

0,底数大于 0 且不等于 1 的限制条件,本题中,若log1 x 有意 义应有 x>0.

[正解] 要使函数有意义,须log1 x-1≥0,
2

1 ∴log1 x≥1,∴0<x≤2. 2
? 1? ∴定义域为?0,2?. ? ?

已知函数y=f(x),x,y满足关系式lg(lgy)=lg(3-x),求函
数y=f(x)的表达式及定义域、值域. [错解] ∵lg(lgy)=lg(3-x),∴lgy=3-x, 1 ∴y=103-x,定义域为R,值域为(0,+∞).
[错因分析] 错解没有注意到对数函数的定义域,即已知

? ?lgy>0, 关系式成立的前提为? ? ?3-x>0.

[正解] ∵lg(lgy)=lg(3-x),
? ?lgy>0, ∴lgy=3-x,且? ? ?3-x>0,

∴y=103-x,x<3, ∴y>103-3=1, ∴y=f(x)的定义域为(-∞,3),值域是(1,+∞).

随堂测评

1.下列函数中,是对数函数的个数为(

)

①y = logax2(a>0 ,且 a≠1) ;② y = log2x - 1 ;③ y = 2log8x ; ④ y = logxa(x>0 , 且 x≠1) ; ⑤ y = log5x ; ⑥ y = logax(a>0 , a≠1). A.1 B.2

C.3
[答案] C [ 分析]

D.4
解答本题可根据对数函数的定义寻找其满足的条

件.

[解析] ⑤⑥为对数函数.③中函数可变形为 y=log

8x;

①中真数不是自变量 x,不是对数函数;②中对数式后减 1,∴ 不是对数函数;④中底数是自变量 x,而非常数 a,∴不是对数 函数.故选 C.

2.(2013~ 2014 重庆市第 49 中学期中试题)函数 f(x)= x+1+ln(4-x)定义域为( A.[-1,4) C.(-1,4) ) B.(-1.+∞) D.(4,+∞)

[答案] A
[解析]
? ?x+1≥0 要使函数有意义满足? ? ?4-x>0



∴-1≤x<4,故选 A.

3.当 a> 1 时,在同一坐标系中,函数y = a -x 与 y =logax 的图象是( )

[答案] A

4 .设集合 A = {x|y = lgx} , B = {y|y = lgx} ,则下列关系中 正确的是( C.A=B ) B.A∩B=? D.A?B A.A∪B=A

[答案] D
[解析] A={x|y=lgx}={x|x>0}, B={y|y=lgx}={y|y∈R}

∴A?B.

5 .函数 f(x) =- 5log4(x - 1) + 2(a > 0 ,且 a≠1) 的图象恒 过定点P,则点P的坐标是________. [答案] (2,2) [解析] 令x-1=1,得x=2,

∵f(2)=2,∴f(x)的图象恒过定点(2,2).

6.已知对数函数f(x)=(m2-m-1)log(m+1)x,求f(27).
[解析] ∵f(x)是对数函数,

?m2-m-1=1, ? ∴?m+1>0, ?m+1≠1, ?

解得 m=2.

∴f(x)=log3x,∴f(27)=log327=3.

课后强化作业
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