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2012--2016年浙江圆锥曲线小题高考题


7. (5 分) (2016?浙江理)已知椭圆 C1:

+y =1(m>1)与双曲线 C2:

2

﹣y =1(n>0)

2

的焦点重合,e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率,则( ) A.m>n 且 e1e2>1 B.m>n 且 e1e2<1 C.m<n 且 e1e2>1 【解答】解:∵椭圆 C1:
2 2 2

D.m<n 且 e1e2<1

+y =1(m>1)与双曲线 C2:

2

﹣y =1(n>0)的焦点重合,

2

∴满足 c =m ﹣1=n +1, 2 2 2 2 即 m ﹣n =2>0,∴m >n ,则 m>n,排除 C,D 2 2 2 2 2 2 则 c =m ﹣1<m ,c =n +1>n , 则 c<m.c>n, e1= ,e2= ,

则 e1?e2= ? =



则(e1?e2) =( ) ?( ) =

2

2

2

=

=

=1+ ∴e1e2>1, 故选:A.

=1+

=1+

>1,

9. (4 分) (2016?浙江理)若抛物线 y =4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距 离是 9 .

2

【解答】解:抛物线的准线为 x=﹣1, ∵点 M 到焦点的距离为 10, ∴点 M 到准线 x=﹣1 的距离为 10, ∴点 M 到 y 轴的距离为 9. 故答案为:9.

(2016 文科) 设双曲线 x ﹣
2

=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,若点 P 在双曲线上,且△ F1PF2 为锐角三 .

角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 【考点】双曲线的简单性质. 【解答】解:如图,
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由双曲线 x ﹣ ∴

2

=1,得 a =1,b =3, .

2

2

不妨以 P 在双曲线右支为例,当 PF2⊥x 轴时, 把 x=2 代入 x ﹣
2

=1,得 y=±3,即|PF2|=3,

此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8; 由 PF1⊥PF2,得 又|PF1|﹣|PF2|=2,① 两边平方得: ∴|PF1||PF2|=6,② 联立①②解得: 此时|PF1|+|PF2|= . ) . , , ,

∴使△ F1PF2 为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是( 故答案为: ( ) .

(2015 理)5.如图,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点
2

其中点 A, B 在抛物线上, 点 C 在 y 轴上, 则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比是 ( A, B, C ,



A.

BF ? 1 AF ? 1

B.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

C.

BF ? 1 AF ? 1

D.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

解析过程:

S ?BCF BC xB BF ? 1 ? ? ? ,故选 A. S ?ACF AC x A AF ? 1

7. (5 分) (2015?浙江文科)如图,斜线段 AB 与平面 α 所成的角为 60°,B 为斜足,平面 α 上的动点 P 满足∠PAB=30°,则点 P 的轨迹是( )

A.直线

B.抛物线

C.椭圆

D.双曲线的一支

考点: 圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意,∠PAB=30°为定值,可得点 P 的轨迹为一以 AB 为轴线的圆锥侧面与平面 α 的交线,则答案可求. 解答: 解:用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当 平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线. 此题中平面 α 上的动点 P 满足∠PAB=30°, 可理解为 P 在以 AB 为轴的圆锥的侧面上, 再由斜线段 AB 与平面 α 所成的角为 60°,可知 P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义. 故可知动点 P 的轨迹是椭圆. 故选:C.
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15. (4 分) (2015?浙江文科)椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点 F(c,0)关于直线 y=

x 的对称点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出 Q 的坐标,利用对称知识,集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系,然后求解 离心率即可.
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解答:

解:设 Q(m,n) ,由题意可得



由①②可得:m=

,n=

,代入③可得:

, 解得 e (4e ﹣4e +1)+4e =1, 6 2 可得,4e +e ﹣1=0. 6 4 4 2 2 即 4e ﹣2e +2e ﹣e +2e ﹣1=0, 2 4 2 可得(2e ﹣1) (2e +e +1)=0 解得 e= . .
2 4 2 2

故答案为:

点评: 本题考查椭圆的方程简单性质的应用,考查对称知识以及计算能力. (2014 理文)16、设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线 线分别交于 点 A, B ,若点 P(m,0) 满足 PA ? PB ,则该双曲线的离心率是__________

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 两条渐近 a 2 b2

b ? ?am ?bm ? 解:渐近线方程y ? ? x, 分别于x ? 3 y ? m ? 0, 联立得A ? , ?, a ? a ? 3b a ? 3b ?

?am ?bm bm ? ? ?am ? a ? 3b ? a ? 3b a ? 3b ? a ? 3b ? ? ?am bm ? B? , , ? ?,由 PA = PB 得,设AB中点Q ? 2 2 ? a ? 3b a ? 3b ? ? ? ? ?

PQ与已知直线垂直,解得2a 2 ? 8b2 ?

c 5 ? a 2

x2 (2013 理)9.(2013 浙江,文 9)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 的公共 4
焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离 心率是( ).

A. 2 答案:D

B. 3

C.

3 2

D.

6 2

解析:椭圆 C1 中,|AF1|+|AF2|=2a=4,|F1F2|=2c= 2 3 .又四边形 AF1BF2 为矩形, ∴∠F1AF2=90° ,∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,∴|AF1|= 2 ? 2 ,|AF2|= 2 ? 2 ,∴双曲 线 C2 中,2c= 2 3 ,2a=|AF2|-|AF1|= 2 2 ,故 e ?

3 6 ,故选 D. ? 2 2

(2013 理)15.设 F 为抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两 点 A, B ,点 Q 为线段 AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________。
?y=k(x+1), 【答案解析】 ±1 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), 联立? 2 消去 y 得 k2x2+(2k2?4)x+k2=0, ? y =4x. 2k2?4 xA+ xB 2 2 由韦达定理,xA+ xB =? k2 ,于是 xQ= 2 =k2?1,把 xQ 带入 y=k(x+1),得到 yQ=k ,根据

|FQ|=

? 22?2? +?2? =2,解出 k=±1. ? k ? ? k?

2

2

(2012 理)8.如图,F1,F2 分别是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)的左右焦点,B 是虚轴的 a 2 b2

端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交 于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A.
2 3 3

B.

6 2

C. 2

D. 3

b b 【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ= ,kMN=﹣ . c c
b ? ? y= c ( x+c) b ac bc b ? 直线 PQ 为:y= (x+c),两条渐近线为:y= x.由 ? ,得:Q( , ); a c?a c?a c ? y= b x ? a ? b ? y= ( x+c) ? ? ac bc bc ? ac b ? c 由? ,得:P( , ).∴直线 MN 为:y- =﹣ (x- ), c ? a c ? a c ? a c ?a b c ? y=- x ? a ?

令 y=0 得: xM= 即 e=
6 . 2

c3 c3 c2 3 . 又∵|MF2|=|F1F2|=2c, ∴3c=xM= 2 , 解之得: e2 ? a ? , 2 2 c ?a c ?a 2 a
2

【答案】B

(2012 文科)8.如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线 的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A.3 B.2 C. 3 D. 2 8. B 由题意可知椭圆的长轴长 2a1 是双曲线实轴长 2a2 的 2 倍,即 a1=2a2,而椭圆 与双曲线有相同的焦点.

c 2 a 故离心率之比为 a ? 1 ? 2 . c a2 a1


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