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2.4.1《抛物线及其标准方程》PPT课件(新人教A版-选修2-1)_图文


2.4.1《抛物线及其标准方程》

2.4.1抛物线及其 标准方程

喷泉

球在空中运动的 轨迹是抛物线规律 , 那么抛物线它有怎样 的几何特征呢? 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 又到底是一条怎样的 抛物线?

问题探究: 当|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么?

探 究 ?

H

M

·

C

·
F

l

e=1

可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有 |MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等. 点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

一、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线. 点F叫抛物线的焦点,
H

d

M

·

C

·
F

焦 点

准线

l

直线l 叫抛物线的准线

e=1

MF ? 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. 即:若 d 那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简 单,其标准方程形式怎样?

d 为 M 到 l 的距离

二、标准方程的推导 解法一:以 L为 y 轴,过点 F 垂直于L 的直线为 x 轴建
立直角坐标系(如下图所示),则定点F ( p, o) 设动点 点 M ( x, y) ,由抛物线定义得:?
( x ? p) ? y ? x
2 2

y

. M(X,y)

化简得:y ? 2 px ?

2

p

2

( p ? 0)

O

.
l

F

x

二、标准方程的推导
解法二:以定点 F 为原点,过点 F 垂直于 L 的直线为x 轴建 L 的方程 立直角坐标系(如下图所示),则定点F (0, 0) , 为x ? ? p
设动点 M ( x, y),由抛物线定义得

x2 ? y2 ? x ? p
化简得:

y

2

? 2 px ?

p ( p ? 0)

2

二、标准方程的推导 解法三:以过F且垂直于 l 的直 y
M(x,y)
K o F 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点 O为坐标原点建立直角坐标系xoy. x 设 M ( x, y ) , FK ? p , p p 则焦点 F ( , 0) ,准线 l : x ? ? 2 2 依题意得
p 2 p 2 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
2

l

两边平方,整理得

y ? 2 px( p ? 0)
这就是所求的轨迹方程.

三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x ? ? 2 2 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也 会使抛物线方程的形式简单 ?

﹒ ﹒﹒ ﹒
y y y

o

x

o

x

o

x

o

y

x

方案(1)

方案(2)

方案(3)

方案(4)

图 l y
O



标准方程

焦点坐标

准线方程

F
l
O

x

y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0 ) 2 p ( ? ,0 ) 2 p (0, ) 2

四.四种 p 抛物线的 x?? 2 对比
p P的意义:抛物 x? 2 线的焦点到准
线的距离

y
F

x

y
F
O

l

x

p 方程的特点: y?? 2 (1)左边是二次 p y? 2

y
l
O F

x

p x2=-2py (0, ? ) (p>0) 2

式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置.

P66思考:
二次函数 y ? ax 2 (a ? 0) 么是抛物线? 的图像为什

1 y ? ax (a ? 0) ? x ? y a
2 2

1 ? ? ?2 p a

当a>0时与当a<0时,结论都为:

1 1 焦点(0, )准线y=4a 4a

y

y=ax2

y=ax2+c y=ax2+bx+c

o

x

例1
(1)已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ,求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线:x =-
2 3 2

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求 抛物线的标准方程 x 2 =-8 y (3)已知抛物线的准线方程为 x = 1 ,求抛物 y 2 =- 4 x 线的标准方程 (4)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程
4 3

y =

2

x或 x =

2

9 2

y

课堂练习: 1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
(1)焦点是F(3,0); 1 (2)准线方程 是x = ? ; 4 (3)焦点到准线的距离是2。 (1)y2 = 20x
(1)

y2 =12x y2 =x

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(2)x2=
1 y 2

y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
(3)2y2 +5x =0
准线方程

(4)x2 +8y =0

焦点坐标
(2)
(3) (4)

x=-5 ( 5, 0) 1 1 y= - — ( 0 , —) 8 5 8 5 (- —,0) x= — 8 8 (0,-2) y=2

例2:一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线, 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口(直径) 为4.8m,深度为0.5m。建立适当的坐标系,求抛物线 的标准方程和焦点坐标。
y
A

o

.F
B

x

解:如上图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直 角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与 原点重合。
设抛物线的标准方程是 y ? 2 px( p ? 0) ,由已知条件 可得,点A的坐标是(0.5, 2.4),代入方程,得 即 p ? 5.76
2

2.4

2

? 2 p ? 0.5

所以,所求抛物线的标准方程是 y ? 11.52 x , 焦点的坐标是 (2.88, 0)

2

学习小结:
1.抛物线的定义:

2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:
每一对焦点和准线对应一种形式.

3.p的几何意义是: 焦

点到准线的距离

4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向.

选做作业: 1.抛物线 y ? 16 x 2 的焦点坐标是( D ) 1 1 (C )( , 0) (D) (0, ) (A) (4, 0) ( B )(0, 4) 64 64 2. 平面上到定点 A(1,1) 和到定直线 l : x ? 2 y ? 3 距离相等的点的轨迹为( A ) (A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆 1 2 ( ?2,1) 3.抛物线 y ? x ? x ? 1 的焦点坐标为_______. 4


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