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标题-2017-2018学年高中数学三维设计北师大选修1-1:第四章 2 导数在实际问题中的应用


§ 2

导数在实际问题中的应用

2.1 实际问题中导数的意义

[对应学生用书P51]

某人拉动一个物体前进,他所做的功 W(单位:J)是时间 t(单位:s)的函数,设这个函数 可以表示为 W=W(t)=t3-4t2+10t. 问题 1:t 从 1 s 到 4 s 时,功 W 关于时间 t 的平均变化率是多少? W?4?-W?1? 40-7 提示: = =11(J/s). 3 4-1 问题 2:上述问题的实际意义是什么? 提示:它表示从 t=1 s 到 t=4 s 这段时间内,这个人平均每秒做功 11 J. 问题 3:W′(1)的实际意义是什么? 提示:∵W′(t)=3t2-8t+10, ∴W′(1)=5. 表示此人在 t=1s 时每秒做功为 5 J.

实际问题中导数的意义 1.功关于时间的导数是功率. 2.降雨量关于时间的导数是降雨强度. 3.生产成本关于产量的导数是边际成本. 4.路程关于时间的导数是速度.速度关于时间的导数是加速度.

5.质量关于长度的导数是线密度.

在日常生活中,有许多需要用导数概念来理解的量.如物理学中,速度是路程关于时间 的导数,功率是功关于时间的导数.解决这些问题,要在阅读材料、理解题意的基础上,利 用数学知识对模型进行分析,得到数学结论,然后再用数学结论解释实际问题.

[对应学生用书P52]

导数在物理学中的应用 [例 1] 把原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热, 如果第 x h 时,原油的温度(单位:℃)为 y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8). (1)分别计算当 x 从 0 变到 1,从 2 变到 3 时,原油温度 y 关于时间 x 的平均变化率,比 较它们的大小,并解释它们的实际意义; (2)计算第 2 h 和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. Δy [思路点拨] (1)平均变化率即为 . Δx (2)可利用导数公式求出 y′,再分别求当 x=2,6 时的导数值. [精解详析] (1)由题意得 f(0)=15,f(1)=9, ∴当 x 从 0 变到 1 时,原油温度平均变化率为 f?1?-f?0? =-6(℃/h), 1-0 表示从 0 到 1 这一小时内,原油温度平均每小时降低 6℃. 又 f(2)=5,f(3)=3, ∴当 x 从 2 变到 3 时,原油温度平均变化率为 f?3?-f?2? =-2(℃/h), 3-2 表示从 2 到 3 这一小时内,原油温度平均每小时降低 2℃. -6<-2,说明原油温度在开始的 1 小时比以后 1 小时的温度下降的多. (2)y′=2x-7,当 x=2 时,y′=-3, 当 x=6 时,y′=5. 在第 2 h 与第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为-3 与 5.这说明 x=2 h 时原油温度 大约以 3℃/h 的速率下降;x=6 h 时,原油温度大约以 5℃/h 的速率上升. [一点通] 利用导数解决物理问题,关键是要熟悉相关的物理概念、公式,并联系导数的物理意义 求解.

1. 某人拉动一个物体前进, 他所做的功 W 是时间 t 的函数 W=W(t), 则 W′(t0)表示( A.t=t0 时做的功 C.t=t0 时的位移 答案:D B.t=t0 时的速度 D.t=t0 时的功率

)

2.在 F1 赛车中,赛车位移与比赛时间 t 存在函数关系 s=10t+5t2(s 的单位为 m,t 的

单位为 s).求: (1)t=20,Δt=0.1 时的 Δs 与 (2)求 t=20 时的瞬时速度. 解:(1)∵Δs=s(20.1)-s(20)=(10×20.1+5×20.12)-(10×20+5×202)=21.05, ∴ Δs 21.05 = =210.5(m/s). Δt 0.1 Δs ; Δt

(2)∵s′=10+10t,∴当 t=20 时, s′=10+10×20=210(m/s), 即 t=20 时的瞬时速度为 210 m/s. 工作效率问题 [例 2] 一名工人上班后开始连续工作,生产的产品数量 y(单位:g)是工作时间 x(单位: x2 h)的函数,设这个函数表示为 y=f(x)= +4 x. 20 (1)求 x 从 1 h 变到 4 h 时,y 关于时间 x 的平均变化率,并解释它的实际意义; (2)求 f′(1),f′(4),解释它的意义. [思路点拨] 利用平均变化率的计算公式求解,然后结合实际问题正确解释其意义. [精解详析] (1)当 x 从 1 h 变到 4 h 时, 81 176 产量 y 从 f(1)= (g)变到 f(4)= (g), 20 20 176 81 - f?4?-f?1? 20 20 19 此时平均变化率为 = = (g/h), 3 12 4-1 19 它表示从 1 h 到 4 h 这段时间这个人平均每小时生产 g 产品. 12 x 2 21 7 (2)f′(x)= + ,于是 f′(1)= (g/h),f′(4)= (g/h),f′(1)和 f′(4)分别表示在 10 10 5 x 21 7 第 1 小时和第 4 小时这个人每小时生产产品 g 和 g. 10 5 [一点通] 工作效率即产量对时间 t 的导数. 解决该类问题时要正确表示出工作时间与产品数量之 间的函数关系式,然后利用相应的求导公式及法则解决.

3.某考生在参加 2011 年高考数学科考试时,其解答完的题目数量 y(单位:道)与所用 时间 x(单位:分钟)近似地满足函数关系 y=2 x. (1)求 x 从 0 分钟变化到 36 分钟时,y 关于 x 的平均变化率; (2)求 f′(64),f′(100),并解释它的实际意义.

f?36?-f?0? 12 1 解:(1)x 从 0 分钟变化到 36 分钟,y 关于 x 的平均变化率为: = = . 36 3 36-0 1 它表示该考生前 36 分钟平均每分钟解答完 道题. 3 (2)∵f′(x)= 1 1 1 ,∴f′(64)= ,f′(100)= . 8 10 x

1 1 它们分别表示该考生在第 64 分钟和第 100 分钟时每分钟可解答 和 道题. 8 10 4.东方机械厂生产一种木材旋切机械,已知生产总利润 c 元与生产量 x 台之间的关系 式为 c(x)=-2x2+7 000x+600. (1)求产量为 1 000 台的总利润与平均利润; (2)求产量由 1 000 台提高到 1 500 台时,总利润的平均改变量; (3)求 c′(1 000)与 c′(1 500),并说明它们的实际意义. 解:(1)产量为 1 000 台时的总利润为 c(1 000)=-2×1 0002+7 000×1 000+600=5 000 600(元), c?1 000? 平均利润为 =5000.6(元). 1 000 c?1 500?-c?1 000? (2)当产量由 1 000 台提高到 1 500 台时,总利润的平均改变量为 = 1 500-1 000 6 000 600-5 000 600 =2 000(元). 500 (3)∵c′(x)=(-2x2+7 000x+600)′=-4x+7 000, ∴c′(1 000)=-4×1 000+7 000=3 000(元), c′(1 500)=-4×1 500+7 000=1 000(元), 它指的是当产量为 1 000 台时,每多生产一台机械可多获利 3 000 元. 而当产量为 1 500 台时,每多生产一台机械可多获利 1 000 元. 导数在日常生活中的应用 [例 3] 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日 100 件,假设日产品的总成 1 本 C(元)与日产量 x(件)的函数关系为 C(x)= x2+60x+2 050. 4 (1)当日产量由 10 件提高到 20 件时,求总成本的平均改变量,并说明其实际意义; (2)求当日产量为 75 件时的边际成本,并说明其实际意义. [思路点拨] (1)利用函数平均变化率计算,然后结合实际问题解释. (2)用瞬时变化率的意义解释. [精解详析] (1)当 x 从 10 件提高到 20 件时,总成本 C 从 C(10)=2 675(元)变到 C(20) =3 350(元),

此时总成本的平均改变量为

C?20?-C?10? =67.5(元/件),其表示产量从 x=10 件提高到 20-10

x=20 件时,平均每件产品的总成本的改变量. 1 (2)∵C′(x)= x+60, 2 1 ∴C′(75)= ×75+60=97.5(元/件), 2 它指的是当产量为 75 件时,每多生产一件产品,需增加成本 97.5 元. [一点通] 生产成本 y 关于产量 x 的函数 y=f(x)中,f′(x0)指的是当产量为 x0 时,生产成本的增加 速度,也就是产量为 x0 时,每增加一个单位的产量,需增加 f′(x0)个单位的成本.

1 5.建造一幢长度为 x m 的桥梁需成本 y 万元,函数关系为 y=f(x)= (x2+x+3)(x>0). 10 (1)当 x 从 100 变到 200 时,平均每米的成本为________; (2)f′(100)=________,其实际意义为________. 解析:(1)f(100)=1 010.3,f(200)=4 020.3, ∴ f?200?-f?100? =30.1(万元/m) 200-100

即平均变化率为 30.1 万元/m. 1 (2)f′(x)= (2x+1),∴f′(100)=20.1(万元/m),即当长度为 100 m 时,每增加 1 m 的 10 长度,成本就增加 20.1 万元. 答案:(1)30.1 万元 加 20.1 万元 6.日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断 5 284 增加.已知将 1 吨水净化到纯净度为 x%时所需费用(单位:元)为 c(x)= (80<x<100). 100-x (1)求 c′(x); (2)求 c′(90),c′(98),并解释它们的实际意义. 5 284 解:(1)c′(x)=?100-x?′ (2)20.1 万元/m 当长度为 100 m 时, 每增加 1 m 的长度成本就增

?

?

= = =

?5 284?′×?100-x?-5 284×?100-x?′ ?100-x?2 0×?100-x?-5 284×?-1? ?100-x?2 5 284 . ?100-x?2

5 284 (2)c′(90)= =52.84(元/吨), ?100-90?2 c′(98)= 5 284 =1 321(元/吨). ?100-98?2

因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率,所以纯净度为 90%时,纯净度每提高 1 个 百分点,每吨水的费用就要增加 52.84 元.

纯净度为 98%时,纯净度每提高 1 个百分点,每吨水的费用就要提高 1 321 元.

1.解决实际问题一般按下列思路:

2.解决实际问题的一般步骤: (1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系; (2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.

[对应课时跟踪训练?十七?]

1.圆的面积 S 是半径 r 的函数 S(r)=πr2,那么在 r=3 时,面积的变化率是( A.6 C.9π B.9 D.6π

)

解析:面积 S 在 r=3 时的变化率即为 S′(3)=2π×3=6π. 答案:D 2.速度 v 关于时间 t 的函数关系式为 v=f(t)=t2-10t,则 t=1 时的加速度为( A.-9 C.9 B.-8 D.8 )

解析:f′(t)=2t-10,∴f′(1)=2×1-10=-8, 即为 t=1 时的加速度. 答案:B 3.某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在 2 s 内完成刹车,其位移(单位:m)关

1 于时间(单位:s)的函数为 s(t)=- t3-4t2+20t+15,则 s′(1)的实际意义为( 3 A.汽车刹车后 1 s 内的位移 B.汽车刹车后 1 s 内的平均速度 C.汽车刹车后 1 s 时的瞬时速度 D.汽车刹车后 1 s 时的位移

)

解析:由导数的实际意义知,位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度. 答案:C 4.从时刻 t=0 开始的 t s 内,通过某导体的电量(单位:C)可由公式 q=2t2+3t 表示, 则第 5 s 时电流强度为( A.27 C/s C.25 C/s ) B.20 C/s D.23 C/s

解析:某种导体的电量 q 在 5 s 时的瞬时变化率就是第 5 s 时的电流强度. ∵q′=4t+3, ∴当 t=5 时,电流强度为 4×5+3=23(C/s). 答案:D 5.某物体的位移是时间的函数 s=2t3-at,物体在 t=1 时的速度为 8,则 a 的值为 ________. 解析:s′=6t2-a,由题意得 6×12-a=8,∴a=-2. 答案:-2 6.某商品价格 P(单位:元)与时间 t(单位:年)有函数关系式 P(t)=(1+10%)t,那么在 第 8 个年头此商品价格的变化速度是________. 解析:P′(t)=1.1tln 1.1,∴P′(8)=1.18ln 1.1(元/年). 答案:1.18ln 1.1 元/年 7.在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(时间: s)间的关系式为 h(t)=-4t2+7t+16. (1)求 t 从 2 s 到 3 s 时,高度关于时间 t 的平均变化率; (2)求 h′(2),h′(3),并解释它们的实际意义. 解:(1)∵h(2)=14,h(3)=1, ∴t 从 2 s 到 3 s 时,h 关于 t 的平均变化率为 h?3?-h?2? 1-14 = =-13(m/s). 1 3-2 (2)∵h′(t)=-8t+7, ∴h′(2)=-9 m/s,h′(3)=-17 m/s. h′(2)和 h′(3)分别表示 t=2 s 和 t=3 s 时, 运动员每秒向下运动的高度为 9 m 和 17 m.

120 8. 蜥蜴的体温随周围环境的温度而变化, T(t)= +15 表示蜥蜴的体温 T(t)(单位: ℃) t+5 为太阳落山后的时间 t(单位:min)的函数.

(1)从 t=0 min 到 t=10 min,蜥蜴的体温下降了多少? (2)从 t=0 min 到 t=10 min,蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少?它代表什么实际意 义? (3)求 T′(5),并解释它的实际意义. 120 120 ? 解:(1)∵T(10)-T(0)= +15-? ? 5 +15? 10+5 =-16(℃), ∴从 t=0 min 到 t=10 min,蜥蜴的体温下降了 16℃. (2) 从 t = 0 min 到 t = 10 min ,蜥蜴体温的平均变化率是: 1.6(℃/min), 它表示从 t=0 min 到 t=10 min 这段时间内,蜥蜴体温平均每分钟下降 1.6℃. 120 -120 (3)∵T′(t)=?t+5+15?′= , ? ? ?t+5?2 120 ∴T′(5)=- 2 =-1.2(℃/min), 10 它表示 t=5 min 时蜥蜴体温的下降速度为 1.2 ℃/min. 2.2 最大值、最小值问题 T?10?-T?0? -16 = =- 10 10

[对应学生用书P54]

假设函数 y=f(x), y=g(x), y=h(x)在闭区间[a, b]上的图像都是一条连续不断的曲线(如 下图所示),观察图像.

问题 1:这三个函数在[a,b]上一定能够取得最大值、最小值吗? 提示:一定能. 问题 2:y=h(x)在开区间(a,b)内有最值和极值吗? 提示:无最值,也无极值. 问题 3:如何求函数在区间[a,b]上的最值?

提示:先求出(a,b)内的极值,再求区间端点值进行比较,最大的就是最大值,最小的 就是最小值.

1.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大(小)值点 x0 指的是:函数在这个区间上所有点的 函数值都不超过(不小于)f(x0). 2.最大值和最小值统称为最值.

1.函数的最大值、最小值是一个整体概念,最大(小)值必须是整个区间内所有函数值 中最大(小)的. 2.如果在[a,b]上函数 y=f(x)图像是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小 值.

[对应学生用书P54]

求函数的最值 [例 1] 求下列函数的最值. (1)f(x)=x3-2x2+1,x∈[-1,2]; 1 (2)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π]. 2 [思路点拨] 先求函数在给定区间的极值, 然后再与端点值比较, 即可确定函数的最值. [精解详析] (1)f′(x)=3x2-4x,令 f′(x)=0, 4 得 x1=0,x2= .因此 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 3 x f′(x) f(x) -2 -1 (-1,0) + 0 0 极大值 1

?0,4? ? 3?


4 3 0 5 极小值- 27

?4,2? ?3 ?


2

1

∴当 x=0 或 2 时,f(x)取最大值 1; 当 x=-1 时,f(x)取最小值-2. 1 (2)f′(x)= +cos x,令 f′(x)=0,且 x∈[0,2π], 2 2π 4π ∴x1= ,x2= . 3 3

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) 0

?0,2π? 3? ?


2π 3 0 极大值

?2π,4π? ?3 3?


4π 3 0 极小值 2π 3 - 3 2

?4π,2π? ?3 ?




f(x)

0

π 3 + 3 2

π

∴当 x=0 时,f(x)取最小值 0; 当 x=2π 时,f(x)取最大值 π. [一点通] 求解函数在闭区间上的最值,在熟练掌握求解步骤的基础上,还须注意以下几点: (1)对函数进行准确求导; (2)研究函数的单调性,正确确定极值和区间端点的函数值; (3)比较极值与区间端点函数值的大小.

π? 1.函数 y=x+2cos x 在区间? ?0,2?上的最大值为( π A. + 3 6 π C. +2 6 B.2 D. 3

)

π π π π 解析: 令 y′=1-2sin x=0, 得 x= , 比较函数在 0, , 处的函数值, 得 ymax= + 3. 6 6 2 6 答案:A 2.求下列函数的最值. 4 (1)f(x)=x+ x x∈[3,4];

(2)f(x)=-x3+3x x∈[- 3, 3 ].
2 4 x -4 解:(1)f′(x)=1- 2= 2 ,∵x∈[3,4], x x

∴f′(x)>0,即 f(x)在[3,4]为增函数, 4 13 ∴当 x=3 时,f(x)取最小值 f(3)=3+ = ; 3 3 4 当 x=4 时,f(x)取最大值 f(4)=4+ =5. 4 (2)f′(x)=-3x2+3,令 f′(x)=0,得 x=± 1. 而 f(1)=2,f(-1)=-2,f(- 3)=0,f( 3)=0,

∴x=1 时,f(x)取最大值 f(1)=2; x=-1 时,f(x)取最小值 f(-1)=-2. 与最值有关的恒成立问题 1 [例 2] 设 f(x)=x3- x2-2x+5. 2 (1)求函数 f(x)的单调递增、递减区间; (2)当 x∈[-1,2]时,f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围. [思路点拨] (1)利用导数易求 f(x)的单调区间,对于 (2)可转化为求 f(x)的最大值小于 m. [精解详析] (1)f′(x)=3x2-x-2, 2 令 f′(x)=0,即 3x2-x-2=0?x=1 或 x=- . 3 2? 所以当 x∈? ?-∞,-3?时 f′(x)>0,f(x)为增加的; 2 ? 当 x∈? ?-3,1?时,f′(x)<0,f(x)为减少的. 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增加的. 2? ? 2 ? 所以 f(x)的递增区间为? ?-∞,-3?和(1,+∞),f(x)的递减区间为?-3,1?. (2)当 x∈[-1,2]时,f(x)<m 恒成立,只需使 f(x)在[-1,2]上的最大值小于 m 即可. 2 22 由(1)知 f(x)极大值=f(- )=5+ , 3 27 7 f(x)极小值=f(1)= . 2 11 又 f(-1)= ,f(2)=7, 2 所以 f(x)在[-1,2]上的最大值为 f(2)=7. 所以 m>7,即 m 的取值范围为(7,+∞). [一点通] 解决恒成立问题,常用方法是转化为求函数的最值问题,通过分离参数,要使 m>f(x) 恒成立,只需 m>f(x)的最大值即可,同理,要使 m<f(x)恒成立,只需 m<f(x)的最小值即可.

3.设 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值; 1 (2)求 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x) < 对任意 x>0 都成立. a 1 解:(1)由题设知 f(x)=ln x,g(x)=ln x+ ,x>0, x

x-1 所以 g′(x)= 2 ,令 g′(x)=0 得,x=1, x 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是 g(x)的单调递减区间. 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调递增区间. 因此,x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以 g(x)的最小值 为 g(1)=1. (2)由(1)知 g(x)的最小值为 1, 1 1 所以 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立?g(a)-1< ,即 ln a<1,从而得 0<a<e.故 a 的 a a 取值范围为(0,e). 4.已知函数 f(x)=xln x. (1)求 f(x)的最小值; (2)若对所有的 x≥1 都有 f(x)≥ax-1,求实数 a 的取值范围. 1 解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+ln x,令 f′(x)>0,解得 x> ,令 f′(x)<0, e 1 解得 0<x< . e 1 1 1 1 从而 f(x)在(0, )上减少,在( ,+∞)上增加,所以当 x= 时,f(x)取得最小值- . e e e e 1 (2)由题意得 f(x)≥ax-1 在[1,+∞)上恒成立,即不等式 a≤ln x+ 对于 x∈[1,+∞) x 恒成立. 1 令 g(x)=ln x+ , x 1 1 x-1 则 g′(x)= - 2= 2 .当 x>1 时,g′(x)>0, x x x ∴g(x)在[1,+∞)上是增加的, 所以 g(x)的最小值为 g(1)=1.则 a≤1. 故 a 的取值范围是(-∞,1]. 面积、体积(容积)的最值问题

[例 3] 某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农 业用地规划建成一个矩形的高科技工业园.已知 AB⊥BC,OA∥BC, 且|AB|=|BC|=4 km,|AO|=2 km,曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向 上的抛物线的一段.如果要使矩形的两边分别落在 AB,BC 上,且一个 顶点落在曲线段 OC 上, 应如何规划才能使矩形工业园的用地面积最大?并求出最大的用地 面积(精确到 0.1 km2).

[思路点拨] 建立坐标系, 求出 OC 所在抛物线的方程, 用 P(在 OC 上)的坐标表示矩形 的面积,再求最大值. [精解详析] 以 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标 系,如图,依题意可设抛物线的方程为 x2=2py(p>0),且过点 C(2,4),所 1 以 22=2p×4,解得 p= . 2 故曲线段 OC 的方程为 y=x2(0≤x≤2).设 p(x,x2)(0<x<2)是矩形落在曲线段 OC 上的 一个顶点,则 PM=2+x,PN=4-x2, ∴工业园的用地面积 S=PM· PN=(2+x)(4-x2)=-x3-2x2+4x+8, 则 S′=-3x2-4x +4. 2 令 S′=0,得 x= 或 x=-2(舍去). 3 2? 当 x∈? ?0,3?时,S′>0,S 是增加的; 2 ? 当 x∈? ?3,2?时,S′<0,S 是减少的. 2 8 32 8 32 256 ∴当 x= 时,S 取得最大值,此时 PM= ,PN= ,Smax= × = ≈9.5(km2). 3 3 9 3 9 27 32 8 故把工业园规划成长为 km,宽为 km 时,工业园的用地面积最大,约为 9.5 km2. 9 3 [一点通] 对于面积、容积的最值问题,正确设出变量,准确写出面积、容积的表达式是解决问题 的关键.利用导数来求函数的最值是解决问题的方法;若在所给区间[a,b]上,函数 f(x)存 在唯一的极值,必为函数的最值.

5.建造一个容积为 8 立方米,深为 2 米的无盖长方体蓄水池,池壁的造价为每平方米 100 元,池底的造价为每平方米 300 元,则总造价的最小值为( A.400 元 C.1 600 元 B.1 200 元 D.2 800 元 )

解析:设总造价为 y 元,池底的一边长 x 米,池底的面积为 8÷ 2=4(平方米),池底的另 4? 4 ? 4? ? 4? 一边长为 米,池壁的面积为 4? ?x+x?平方米,故有 y=4×300+4?x+x?×100=400?x+x?+ x 4? 1 200(x>0).y′=400? ?1-x2?, 令 y′=0 得 x=2,由 y′ >0 得 x >2,由 y′<0 得 0<x<2, 即 y 在(0,2)上是减少的,在(2,+∞)上是增加的,所以当 x=2 时,y 取得最小值,且 ymin=2 800.

答案:D 6.用总长为 14.8 m 的钢条制成一个长方形容器的框架,如果所制作容器的底面一边比 另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 1 解:设容器底面短边长为 x m,则另一边长为(x+0.5) m,容器的高为 [14.8-4x-4(x 4 +0.5)]=(3.2-2x) (m). 由 x>0,3.2-2x>0,得 0<x<1.6. ∴容器的体积为 y=x(x+0.5)(3.2-2x) =-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6). ∵y′=-6x2+4.4x+1.6, ∴令 y′=0,得 15x2-11x-4=0. 4 ∴x1=1,x2=- (不合题意,舍去). 15 当 0<x<1 时,y′>0,当 1<x<1.6 时,y′<0. ∴当 x=1 时,y 取极大值,也是最大值,此时 y=-2+2.2+1.6=1.8, 高为 3.2-2×1=1.2. ∴容器的高为 1.2 m 时容积最大,最大容积为 1.8 m3. 生活中的最值问题 [例 4] 如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为 200 m2 的三级污水处理池,由 于地形限制,长、宽都不能超过 16 m,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔 墙建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计,且池无盖).

(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(m)的函数关系式,并指出其定义域; (2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价. 200 [思路点拨] 可设长为 x m,则宽为 m,然后表示出外周壁造价、中间隔墙造价及 x 池底造价,这三部分的和即为总造价,用导数可求出最小值. 200 [精解详析] (1)设长为 x m,则宽为 m, x 0<x≤16, ? ? 据题意得? 200 ? ?0< x ≤16,

25 解得 ≤x≤16, 2 200? 400 y=? ?2x+2· x ?×400+ x ×248+16 000 259 200 25 =800x+ +16 000( ≤x≤16). x 2 259 200 (2)y′=800- =0, x2 解得 x=18. 当 x∈(0,18)时,函数 y 为减少的; 当 x∈(18,+∞)时,函数 y 为增加的. 25 又∵ ≤x≤16, 2 ∴当 x=16 时,y 取最小值 45 000. ∴当且仅当长为 16 m、宽为 12.5 m 时,总造价 y 最低为 45 000 元. [一点通] 费用、用料最省、成本最低、利润最大等问题是日常生活中常见问题,解决这类问题要 明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象,正确写出函数表达式,准确求导,把数学结 论返回到实际问题中去.

7.某工厂生产的机器销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数:y1=17x2(x>0),生产总 成本 y2(万元)也是产量 x(千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0), ,为使利润 y(万元)最大,应生产 ( ) A.6 千台 C.8 千台
2 3

B.7 千台 D.9 千台

解析:利润 y=y1-y2=18x -2x (x>0),y′=-6x2+36x,令 y′=0 得 x=6;由 y′ >0 得 0<x<6,y 单调递增;由 y′<0 得 x>6,y 单调递减.所以当 x=6 时,y 取得最大 值. 答案:A 8.某工厂生产某种水杯,每个水杯的原材料费、加工费分别为 30 元、m 元(m 为常数, 且 2≤m≤3),设每个水杯的出厂价为 x 元(35≤x≤41),根据市场调查,水杯的日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比例,已知每个水杯的出厂价为 40 元时,日销售量为 10 个.

(1)求该工厂的日利润 y(元)与每个水杯的出厂价 x(元)的函数关系式; (2)当每个水杯的出厂价为多少元时,该工厂的日利润最大,并求日利润的最大值. k k 解:(1)设日销售量为 s,则 s= x,因为 x=40 时,s=10,故 10= 40,则 k=10e40,所 e e

10e40 10e40 以 s= x ,故 y= x (x-30-m)(35≤x≤41). e e ex-?x-30-m?ex 31+m-x (2)y′=10e40× =10e40× . ex ?ex?2 31+m-x 令 y′=10e40× =0,则 x=31+m. ex 当 2≤m≤3 时,y′<0,所以 y 在 35≤x≤41 上为减函数,所以 x=35 时,日利润取得 最大值,且最大值为 10e5(5-m)元.

用导数解决应用问题求最值的方法步骤:

[对应课时跟踪训练?十八?]

x 1.函数 f(x)= x在 x∈[2,4]上的最小值为( e A.0 4 C. 4 e x 解析:∵f(x)= x, e ex-xex 1-x ∴f′(x)= x 2 = x . e ?e ? 1 B. e 2 D. 2 e

)

当 x∈[2,4]时,f′(x)<0,即函数 f(x)在[2,4]上是减少的,故当 x=4 时,函数 f(x)的最 4 小值为 4. e 答案:C

2.函数 f(x)=x3-x2-x+a 在区间[0,2]上的最大值是 3,则 a 的值为( A.2 C.-2 B.1 D.-1

)

1 解析:由题意 f′(x)=3x2-2x-1,令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=- (舍去) 3 又 f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2, 所以 f(x)的最大值为 a+2=3,故 a=1. 答案:B 3.已知函数 f(x)=ax-ln x,若 f(x)>1 在区间(1,+∞)内恒成立,则实数 a 的取值范围 是( ) A.(-∞,1) C.(1,+∞) B.(-∞,1] D.[1,+∞)

解析:∵f(x)=ax-ln x,f(x)>1 在(1,+∞)内恒成立, 1+ln x ∴a> 在(1,+∞)内恒成立. x 1+ln x 设 g(x)= , x ∴x∈(1,+∞)时,g′(x)= -ln x <0, x2

即 g(x)在(1,+∞)上是减少的,∴g(x)<g(1)=1, ∴a≥1,即 a 的取值范围是[1,+∞). 答案:D 4.如图,将直径为 d 的圆木锯成长方体横梁,横截面为矩形,横梁的强度 同它的断面高的平方与宽 x 的积成正比(强度系数为 k,k>0).要将直径为 d 的圆木锯成强度最大的横梁,断面的宽 x 应为( d A. 3 C. 3 d 3 d B. 2 D. 2 d 2 )

解析:设断面高为 h,则 h2=d2-x2.设横梁的强度函数为 f(x),则 f(x)=k· xh2=k· x(d2- 3 3 x2),0<x<d.令 f′(x)=k(d2-3x2)=0,解得 x=± d(舍去负值).当 0<x< d 时,f′(x) 3 3 >0,f(x)是增加的;当 3 d<x<d 时,f′(x)<0,f(x)是减少的.所以函数 f(x)在定义域(0, 3 3 3 d.所以 x= d 时,f(x)有最大值. 3 3

d)内只有一个极大值点 x= 答案:C

5.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M- m=________. 解析:令 f′(x)=3x2-12=0,解得 x=± 2.计算 f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,f(3) =-1,所以 M=24,m=-8,故 M-m=32. 答案:32 6.如图,已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为 250 mL,则它的底面半径 等于________时(用含有 π 的式子表示),可使所用的材料最省. 解析:设圆柱的高为 h,表面积为 S,容积为 V,底面半径为 r,则表面 250 250 500 积 S=2πrh+2πr2,而 V=250=πr2h,得 h= 2 ,则 S=2πr· 2 +2πr2= πr πr r 3 3 500 5 π2 5 π2 +2πr2, S′=- 2 +4πr, 令 S′=0 得 r= , 因为 S 只有一个极值, 所以当 r= 时, r π π S 取得最小值,即此时所用的材料最省. 3 5 π2 答案: π 2? 2 7.函数 f(x)=x3+f′? ?3?x -x. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(cos x)的最小值和最大值. 2? 解:(1)f′(x)=3x2+2f′? ?3?x-1, 2? ?2?2+2f′?2?×2-1,得 f′?2?=-1, 则 f′? = 3 × ?3? ?3? ?3? 3 ?3? 故 f(x)=x3-x2-x. 1 令 f′(x)=3x2-2x-1>0,解得 x<- 或 x>1. 3 1? 故 f(x) 的单调递增区间为 ? ?-∞,-3? 和 (1 ,+ ∞);同理可得 f(x) 的单调递减区间为

?-1,1?. ? 3 ?
1? ? 1 ? (2)设 cos x=t∈[-1,1],由(1)知 f(x)在区间? ?-1,-3?上是增加的,在区间?-3,1?上 1? 5 是减少的,故 f(cos x)max=f? ?-3?=27;又 f(-1)=f(1)=-1,故 f(cos x)min=-1. 8.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米.余下工程只需建两端桥墩之 间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因 素.记余下工程的费用为 y 万元.

(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解:(1)设需新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m, m 即 n= -1, x 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x m ? m =256? ? x -1?+ x (2+ x)x = 256m +m x+2m-256. x

256m 1 1 m 3 (2)由(1)知,f′(x)=- 2 + mx- = 2(x -512). x 2 2 2x 2 3 令 f′(x)=0,得 x =512,所以 x=64. 2 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减少的; 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增加的. 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值. m 640 此时 n= -1= -1=9. x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.

[对应学生用书 P58] 一、导数与函数的单调性 利用导数求函数单调区间的步骤: (1)求导数 f′(x); (2)解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0; (3)写出单调增区间或减区间. 特别注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接. 二、导数与函数的极值 利用导数求函数极值的步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)解方程 f′(x)=0 的根; (3)检验 f′(x)=0 的根的两侧的 f′(x)的符号,若左正右负,则 f(x)在此根处取极大值; 若左负右正,则 f(x)在此根处取得极小值.否则此根不是 f(x)的极值点. 三、求函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求 f(x)在(a,b)内的极值;

(2)将(1)求得的极值与 f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为 最小值. 特别地,①当 f(x)在[a,b]上单调时,其最小值、最大值在区间端点取得;②当 f(x)在(a, b)内只有一个极值点时,若在这一点处 f(x)有极大(或极小)值,则可以判断 f(x)在该点处取得 最大(或最小)值,这里(a,b)也可以是(-∞,+∞). 四、导数的实际应用 利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问题: (1)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义去考查,不符合实际意义的值 应舍去. (2)在实际问题中,由 f′(x)=0 常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值在 x 的 变化区间内部得到,则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.

?对应阶段质量检测?四?? ? ? ? 见8开试卷 ?
(时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上( A.无最值 C.有最大值 解析:∵f(x)=2x-cos x, ∴f′(x)=2+sin x>0 恒成立. 故 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上是增加的,既没有最大值也没有最小值. 答案:A 2.函数 f(x)=2x2-ln x 的递增区间是( 1? A.? ?0,2? 1 ? C.? ?2,+∞?
2 1 4x -1 解析:f′(x)=4x- = (x>0), x x

)

B.有极值 D.有最小值

) B.?0,

?

2? 4?

1 1 - ,0?和?0, ? D.? ? 2 ? ? 2?

1 令 f′(x)>0,得 x> . 2 1 ? ∴f(x)的单调递增区间为? ?2,+∞?. 答案:C

3.已知对任意实数 x,有 f(-x)=f(x),且 x>0 时,f′(x)>0,则 x<0 时( A.f′(x)>0 C.f′(x)=0 B.f′(x)<0 D.无法确定

)

解析:因为 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数.又 x>0 时,f′(x)>0,故 f(x)在 x>0 时 为增加的,由偶函数在对称区间上单调性相反,可知当 x<0 时,f(x)为减少的. 答案:B 4.设函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则 f(x)在 R 上为增加的充要条件是( A.b2-4ac>0 C.b=0,c>0 B.b>0,c>0 D.b2-3ac≤0 )

解析:要使 f(x)在 R 上为增加的,则 f′(x)=3ax2+2bx+c≥0 在 R 上恒成立(但 f′(x) 不恒等于零),故只需 Δ=4b2-12ac≤0,即 b2-3ac≤0. 答案:D 5.若函数 f(x)在(0,+∞)上可导,且满足 f(x)>-xf′(x),则一定有( f?x? A.函数 F(x)= 在(0,+∞)上为增加的 x f?x? B.函数 F(x)= 在(0,+∞)上为减少的 x C.函数 G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为增加的 D.函数 G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为减少的 解析:设 y=xf(x),则 y′=xf′(x)+f(x)>0,故 y=xf(x)在(0,+∞)上为增加的. 答案:C 6.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是( A.5,-15 C.-4,-15
2

)

)

B.5,4 D.5,-16

解析:y′=6x -6x-12,令 y′=0,得 x=-1,2, 又 f(2)=-15,f(0)=5,f(3)=-4, ∴最大值、最小值分别是 5,-15. 答案:A 7.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 处取得极值,则 a=( A.2 C.4 解析:∵f′(x)=3x2+2ax+3, 又 f(x)在 x=-3 处取得极值,∴f′(-3)=30-6a=0. 得 a=5. 答案:D B.3 D.5 )

8.把长为 12 cm 的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形的 面积之和的最小值是( 3 3 A. cm2 2 C.3 2 cm2 ) B.4 cm2 D.2 3 cm2

解析:设一个三角形的边长为 x cm,则另一个三角形的边长为(4-x) cm,两个三角形 的面积和为 S= 3 2 3 3 x + (4-x)2= x2-2 3x+4 3(0<x<4). 4 4 2

令 S′= 3x-2 3=0, 则 x=2,且 x<2 时,S′<0,2<x<4 时,S′>0. 所以 x=2 时,S 取最小值 2 3. 答案:D 9.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下 列图像不可能为 y=f(x)的图像的是( )

解析:∵[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f′(x)+f(x)]ex,又 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个 极值点, ∴f′(-1)+f(-1)=0, 而选项 D 中 f′(-1)>0, f(-1)>0, 故 D 中图像不可能为 y=f(x) 的图像. 答案:D 10.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价定为 p 元,销售量 为 Q,则销售量 Q(单位:件)与零售价 p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则最 大毛利润(毛利润=销售收入-进货支出)为( A.30 元 C.28 000 元 解析:设毛利润为 L(p), 由题意知 L(p)=pQ-20Q=Q(p-20) =(8 300-170p-p2)(p-20) =-p3-150p2+11 700p-166 000, 所以 L′(p)=-3p2-300p+11 700. 令 L′(p)=0, 解得 p=30 或 p=-130(舍去). )

B.60 元 D.23 000 元

此时,L(30)=23 000. 因为在 p=30 附近的左侧 L′(p)>0, 右侧 L′(p)<0, 所以 L(30)是最大值,即零售价定为每件 30 元时,最大毛利润为 23 000 元. 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在题中的横线 上) 2? 11 .已知函数 f(x) = x3 + ax2 + ? ?a-3? x + 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是 ________. 2? 解析:令 f′(x)=3x2+2ax+? ?a-3?=0,此方程应有两个不相等的实数根,所以 Δ>0. 2? 即 4a2-12? ?a-3?>0, ∴a2-3a+2>0,∴a>2 或 a<1. 答案:(-∞,1)∪(2,+∞) 1 12.若函数 f(x)= ax2+2x-ln x(a≠0)在区间[1,2]上是增加的,则实数 a 的最小值为 2 ________.
2 1 ax +2x-1 解析: 易知 x>0, 且 f′(x)=ax+2- = , ∵函数 f(x)在区间[1,2]上是增加的, x x

∴f′(x)≥0 对 x∈[1,2]恒成立, 即不等式 ax2+2x-1≥0 对 x∈[1,2]恒成立, 即 a≥

1-2x x2

1 1 1 2 1 ?2 -1 -1 恒成立,故 a≥?? -1?2-1?max,而当 x=2 时,? -1?2-1 取到最大值 = 2- =? ? ?x ? ?x ? x x ?x 3 - , 4 3 3 ∴实数 a 的取值范围为 a≥- ,即实数 a 的最小值为- . 4 4 3 答案:- 4 2 13. 某厂生产产品 x 件的总成本 c(x)=1 200+ x3(万元), 已知产品单价 P(万元)与产品 75 500 件数 x 满足:P= ,则产量定为________件时,总利润最大. x 500 2x3 2x 3 2 解析: 总利润 L(x)=x· -1 200- =- +500 x-1 200(x >0). 由 L′(x)=- 75 75 25 x 250 x2+ =0 得 x=25;令 L′(x)>0 得 0<x<25;令 L′(x)<0 得 x>25.故 L(x)在(0,25)上是 x 增加的,在(25,+∞)上是减少的,所以当产量定为 25 件时,总利润最大.

答案:25 a 14.已知函数 f(x)=2ln x+ 2(a>0).若当 x∈(0,+∞)时,f(x)≥2 恒成立,则实数 a x 的取值范围是________. 解析:f(x)≥2,即 a≥2x2-2x2ln x, 令 g(x)=2x2-2x2ln x,则 g′(x)=2x(1-2ln x). 1 由 g′(x)=0,得 x=e ,0(舍去), 2 1 1 且 0<x<e 时,g′(x)>0,当 x>e 时,g′(x)<0, 2 2 1 1 ∴x=e 时,g(x)取最大值 g(e )=e,∴a≥e. 2 2 答案:[e,+∞) 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax. (1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若 不存在,说明理由. 解:f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a. 2a (1)由已知有 f′(x1)=f′(x2)=0,从而 x1x2= =1, 18 所以 a=9. (2)因为 Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)>0, 所以不存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数. 16.(本小题满分 12 分)已知 f(x)=ax3+bx2-2x+c 在 x=-2 时有极大值 6,在 x=1 时 有极小值,求 a,b,c 的值;并求 f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)f′(x)=3ax2+2bx-2,由条件知 f′?-2?=12a-4b-2=0, ? ? ?f′?1?=3a+2b-2=0, ? ?f?-2?=-8a+4b+4+c=6. 1 1 8 解得 a= ,b= ,c= . 3 2 3 1 1 8 (2)f(x)= x3+ x2-2x+ , 3 2 3 f′(x)=x2+x-2=(x-1)(x+2). 列表如下:

x f′(x) f(x)

-3

(-3,-2) +

-2 0 6

(-2,1) -

1 0 3 2

(1,3) +

3

26 6

61 6

61 3 由上表知,在区间[-3,3]上,当 x=3 时,f(x)取最大值 ,x=1 时,f(x)取最小值 . 6 2 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x3+3ax2+3x+1. (1)当 a=- 2时,讨论 f(x)的单调性; (2)若 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=- 2时,f(x)=x3-3 2x2+3x+1.f′(x)=3x2-6 2x+3. 令 f′(x)=0,得 x1= 2-1,x2= 2+1. 当 x∈(- ∞, 2-1)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞, 2-1)上是增加的;

当 x∈( 2-1, 2+1)时,f′(x)<0,f(x)在( 2-1, 2+1)上是减少的; 当 x∈( 2+1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在( 2+1,+∞)上是增加的. (2)要使 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0 恒成立,只需 x∈[2,+∞)时,f(x)min≥0 即可. 由于 f′(x)=3(x2+2ax+1)=3[(x+a)2+1-a2], ①当 a2≤1 时,f′(x)≥0 且不恒为零,所以 f(x)在[2,+∞)上的最小值为 f(2); ②当 a2>1 时, 由 f′(x)=0 可得 x=-a± a2-1, 记 x1=-a- a2-1, x2=-a+ a2-1. 结合二次函数的性质易知, 当 x∈(-∞, x1)∪(x2, +∞)时, f′(x)>0, 当 x∈(x1, x2)时, f′(x) <0.所以 f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上是增加的,在(x1,x2)上是减少的.而由 x1<x2<0 知 x2<2,即 f(x)在[2,+∞)上是增加的,故此时也有 f(x)min=f(2). 5 综上可知,f(x)在[2,+∞)上的最小值为 f(2)=3(4a+5),由 f(2)≥0,得 a≥- ,故 a 4 5 ? 的取值范围为? ?-4,+∞?. 1 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= x2-aln x,a∈R. 2 (1)若 a=2,求这个函数的图像在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求 f(x)在区间[1,e]上的最小值. 1 1 2 解:(1)a=2 时,f(x)= x2-2ln x,f(1)= ,f′(x)=x- ,f′(1)=-1, 2 2 x 1 所以切线方程为 y- =-(x-1),即 2x+2y-3=0. 2 a 1 (2)依题意,x>0,f′(x)=x- = (x2-a), x x ①当 a≤1 时,因为 x∈[1,e],1≤x2≤e2, ,所以 f′(x)≥0(当且仅当 x=a=1 时等号成

1 立),所以 f(x)在区间[1,e]上是增加的,最小值为 f(1)= . 2 ②当 a≥e2 时,因为 1≤x2≤e2,所以 f′(x)≤0(当且仅当 x=e,a=e2 时等号成立),所 1 以 f(x)在区间[1,e]上是减少的,最小值为 f(e)= e2-a. 2 1 ③当 1<a<e2 时,解 f′(x)= (x2-a)=0 得 x=± a(负值舍去),f′(x)的符号和 f(x)的 x 单调性如下表: x f′(x) f(x) [1, a) - a 0 最小值 ( a,e] +

1 1 故 f(x)在区间[1,e]上的最小值为 f( a)= a- a ln a. 2 2 1 1 1 综上所述, a≤1 时, f(x)的最小值为 f(1)= ; 1<a<e2 时, f(x)的最小值为 f( a)= a- aln a; 2 2 2 1 a≥e2 时,f(x)的最小值为 f(e)= e2-a. 2


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