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2018届北师大版


第二课时 求空间角与距离 【选题明细表】 知识点、方法 利用向量法求直线与平面所成角 利用向量法求距离 综合应用 题号 2 1 3,4 【教师备用】 (2016 邢台摸底考试)如图,已知四棱锥 P ABCD 的底面 为菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP= . (1)求证:AB⊥PC; (2)求二面角 B PC D 的余弦值. (1)证明:取 AB 的中点 O,连接 PO,CO,AC, 因为△APB 为等腰三角形,所以 PO⊥AB, 又四边形 ABCD 是菱形,∠BCD=120°, 所以△ACB 是等边三角形,所以 CO⊥AB. 又 CO∩PO=O, 所以 AB⊥平面 PCO,又 PC? 平面 PCO, 所以 AB⊥PC. (2)解:易求得 PO=1,OC= , 所以 OP2+OC2=PC2, 所以 OP⊥OC. [] 以 O 为坐标原点,以 OC 所在直线为 x 轴,OB 所在直线为 y 轴,OP 所在 直线为 z 轴,建立空间直角坐标系如图所示. 则 A(0,-1,0),B(0,1,0),C( ,0,0),P(0,0, 1),D( ,-2,0), =( ,-1,0), =( ,0,-1), =(0,2,0). 设平面 DCP 的法向量 n=(x,y,z), 则 即 令 x=1,得 所以 n=(1,0, ), [] 设平面 PCB 的法向量 m=(a,b,c), 即 令 a=1,则 b=c= ,所以 m=(1, , ), 所以 cos<m,n>= = , [] 由图易知二面角 B PC D 的平面角为钝角. 所以二面角 B PC D 的余弦值为- . 1. (2016 郑州第一次质量预测)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,PD⊥底面 ABCD,∠ADC=90°,AD=2BC,Q 为 AD 的中 点,M 为棱 PC 的中点. (1)证明 PA∥平面 BMQ; (2)已知 PD=DC=AD=2,求点 P 到平面 BMQ 的距离. (1)证明:连接 AC 交 BQ 于 N,连接 MN,因为∠ADC=90°, Q 为 AD 的中点,所以 N 为 AC 的中点, 又 M 为 PC 的中点, MN 为△PAC 的中位线, 故 MN∥PA,又 MN? 平面 BMQ, 所以 PA∥平面 BMQ. (2)解:以 D 为坐标原点,DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建 立空间直角坐标系,D(0,0,0),A(2,0, 0),C(0,2,0),P(0,0,2), Q(1,0,0),B(1,2,0),M(0,1,1). 所以 =(0,-1,1), =(-1,1,1), =(-1,-1,1), 设 n=(x,y,z)是平面 BQM 的法向量, 则 n⊥ ,n⊥ , 所以 即 令 z=1,则 x=1,y=0, 所以 n=(1,0,1), 则 P 点到平面 BQM 的距离为 d= = = . 2.(2015 高考新课标全国卷Ⅱ) 如图,长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=16, BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4.过点 E,F 的平面α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线 AF 与平面α 所成角的正弦值. 解:(1)交线围成的正方形 EHGF 如图. (2)作 EM⊥AB,垂足为 M, 则 AM=A1E=4,EM=AA1=

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