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高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修22

第一章

导数及其应用

1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念

学习目标:1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化 率的过程,了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化 率.(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.(重点、难点)4.理解函 数的平均变化率,瞬时变化率及导数的概念.(易混点)

[自 主 预 习· 探 新 知]
1.函数的平均变化率

f?x2?-f?x1? Δy x2-x1 , x2-x1 (1)函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 =__________ 其中 Δx=_______ Δx
f(x1+Δx)-f(x1) 是相对于 f(x1) f(x2)-f(x1) =______________ 是相对于 x1 的一个“增量”,Δy=__________
的一个“增量”.

(2)平均变化率的几何意义 设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线 y=f(x)上任意不同的两 Δy f?x2?-f?x1? f?x1+Δx?-f?x1? 点,函数 y=f(x)的平均变化率 = = Δx Δx x2-x1

斜率 ,如图 1为割线 AB 的_____ 11 所示.
思考:Δx,Δy 的值一定是正值吗?平均变化率是否一定为 正值?

图111

Δy [ 提示] Δx,Δy可正可负,Δy也可以为零,但Δx不能为零.平均变化率Δx可 正、可负、可为零.

2.瞬时速度与瞬时变化率

某一时刻 的速度称为瞬时速度. (1)物体在__________
(2)函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0 到 x0+Δx 的平均变化率 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim Δx 在 Δx→0 时的极限即 lim =___________________. Δx→0 Δx→0 Δx 3.导数的概念 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数就是函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率,记 f?x0+Δx?-f?x0? lim f ′ ( x ) 或 y ′ | = 0 x x Δx 0 ,即 f′(x0)=______________________. 作________________ Δx→0

[ 基础自测] 1.思考辨析 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx值的正、负无关.( ) )

(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[ x1,x2] 上变化快慢的物理量.( (3)在导数的定义中,Δx,Δy都不可能为零.( )
提示:(1)由导数的定义知,函数在x=x0处的导数只与x0有关,故正确. (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量,故错误. (3)在导数的定义中,Δy可以为零,故错误.

2.函数y=f(x),自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数的改变量Δy为(

)

【导学号:31062000】 A.f(x0+Δx) C.f(x0)· Δx
D [ Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故选 D.]

B.f(x0)+Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)

3.若一质点按规律s=8+t2运动,则在一小段时间[2,2.1] 内的平均速度是 ( A.4 C.0.41 B.4.1 D.-1.1 )

2 2 Δs s?2.1?-s?2? 2.1 -2 B [ v = Δt = = 0.1 =4.1,故选B.] 2.1-2

4.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是________.

[ 解析]

∵f(x)=x2.∴在x=1处的瞬时变化率是

f?1+Δx?-f?1? ?1+Δx?2-12 Δy lim Δx= lim = lim Δ x Δx Δx→0 Δx→0 Δx→0 = lim (2+Δx)=2.
Δx→0

[ 答案]

2

5.函数f(x)=2在x=6处的导数等于________.
[ 解析] f?6+Δx?-f?6? 2-2 f′(6)= lim = lim Δx =0. Δ x Δx→0 Δx→0

[ 答案]

0

[合 作 探 究· 攻 重 难]
求函数的平均变化率
已知函数f(x)=3x2+5,求f(x): (1)从0.1到0.2的平均变化率; (2)在区间[ x0,x0+Δx] 上的平均变化率. 【导学号:31062001】

[ 解]

(1)因为f(x)=3x2+5,

所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22+5-3×0.12-5 =0.9. 0.2-0.1 (2)f(x0+Δx)-f(x0)=3(x0+Δx)2+5-(3x2 0+5)
2 2 2 =3x2 0+6x0Δx+3(Δx) +5-3x0-5=6x0Δx+3(Δx) .

6x0Δx+3?Δx?2 函数f(x)在区间[ x0,x0+Δx] 上的平均变化率为 =6x0+3Δx. Δx

[规律方法]

1.求函数平均变化率的三个步骤

第一步,求自变量的增量Δx=x2-x1; 第二步,求函数值的增量Δy=f?x2?-f?x1?; Δy f?x2?-f?x1? 第三步,求平均变化率Δx= x2-x1 2.求平均变化率的一个关注点 f?x0+Δx?-f?x0? 的形式. Δx 求点x0附近的平均变化率,可用

[ 跟踪训练] 1.如图112,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化 率等于( A.1 C.2 ) B.-1 D.-2

图112

1-3 B [平均变化率为 =-1.故选B.] 3-1

Δy 2.已知函数y=f(x)=2x 的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1+Δx,2+Δy),则 Δx
2

的值为(

) 【导学号:31062002】

A.4 C.4+2Δx2

B.4x D.4+2Δx

2 2 Δy 2?1+Δx? -2×1 D [Δx= =4+2Δx.故选D.] Δx

求瞬时速度
[ 探究问题] 1.物体的路程s与时间t的关系是s(t)=5t2,如何计算物体在[1,1+Δt] 这段时 间内的平均速度?

Δs 提示:Δs=5(1+Δt) -5=10Δt+5(Δt) , v = Δt =10+5Δt.
2 2

2.当Δt趋近于0时,探究1中的平均速度趋近于多少?怎样理解这一速度?

Δs 提示:当Δt趋近于0时, Δt 趋近于10,这时的平均速度即为当t=1时的瞬时 速度.

某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t) =t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度.
[ 思路探究] Δs 令Δt→0 计算物体在[1,1+Δt]内的平均速度 Δt ――→

Δs 计算 lim Δt ―→ 得t=1 s时的瞬时速度 Δt→0

[ 解]

Δs s?1+Δt?-s?1? ∵ Δt = Δt

?1+Δt?2+?1+Δt?+1-?12+1+1? = =3+Δt, Δt Δs ∴ lim Δt = lim (3+Δt)=3. Δt→0 Δt→0 ∴物体在t=1处的瞬时变化率为3. 即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s.

母题探究:1.(变结论)在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度.
[ 解] 求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度.

Δs s?0+Δt?-s?0? ∵ Δt = Δt ?0+Δt?2+?0+Δt?+1-1 = =1+Δt, Δt ∴ lim (1+Δt)=1.
Δt→0

∴物体在t=0时的瞬时变化率为1,即物体的初速度为1 m/s.

2.(变结论)在本例条件不变的前提下,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为 9 m/s.
[ 解] 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. Δs s?t0+Δt?-s?t0? 又 Δt = Δt =(2t0+1)+Δt. Δs lim Δt = lim (2t0+1+Δt) Δt→0 Δt→0

=2t0+1. 则2t0+1=9, ∴t0=4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.

[规律方法]

求运动物体瞬时速度的三个步骤

?1?求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s?t0+Δt?-s?t0? Δs ?2?求平均速度 v = Δt ?3?求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,\f(Δs,Δt)无限趋近于常数v,即为瞬 时速度.

求函数在某一点处的导数
f?x0-3Δx?-f?x0? (1)设函数 y=f(x)在 x=x0 处可导,且 lim =1, Δ x Δx→0 则 f′(x0)等于( A.1 1 C.-3 ) B.-1 1 D.3

1 (2)求函数 f(x)=x-x在 x=1 处的导数.

[ 思路探究]

f?x0+Δx?-f?x0? (1)类比 f′(x0)= lim 求解. Δ x Δx→0

Δy Δy (2) 先求Δy ―→ 再求Δx ―→ 计算 lim Δx Δx→0
f?x0-3Δx?-f?x0? (1)C [∵ lim Δx Δx→0
?f?x0-3Δx?-f?x0? ? ? · ?-3?? = lim ? ?=-3f′(x0)=1, - 3Δ x ? Δx→0 ?

1 ∴f′(x0)=-3,故选 C.]

? 1? 1 (2)∵Δy=(1+Δx)- -?1-1? 1+Δx ? ?

1 Δx =Δx+1- =Δx+ , 1+Δx 1+Δx Δx Δ x+ 1+Δx Δy 1 ∴Δx= =1+ , Δx 1+Δx
? 1 ? Δy ? ∴f′(1)= lim Δx= lim ?1+1+Δx? ?=2. ? Δx→0 Δx→0 ?

[ 规律方法]

求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的三个步骤

简称:一差、二比、三极限.

[ 跟踪训练] f?1-2Δx?-f?1? 3.已知f′(1)=-2,则 lim =________. Δ x Δx→0

[ 解析]

∵f′(1)=-2,

【导学号:31062003】

f?1-2Δx?-f?1? f?1-2Δx?-f?1? ∴ lim = lim ? 1? Δ x Δx→0 Δx→0 ?- ?×?-2Δx? ? 2? f?1-2Δx?-f?1? =-2lim =-2f′(1)=-2×(-2)=4. - 2Δ x Δx→0
[ 答案] 4

4.求函数y=3x2在x=1处的导数.

[ 解] 3Δx,

∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=3(1+Δx) -3=6Δx+3(Δx) ,∴

2

2

Δy Δx

=6+

Δy ∴f′(1)= lim Δx= lim (6+3Δx)=6. Δx→0 Δx→0

[当 堂 达 标· 固 双 基]
1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1] 这段时间内的平均速度是 ( A.0.4 C.0.3
s?2.1?-s?2? 4.2-4 B [v= = 0.1 =2.] 2.1-2

)

B.2 D.0.2

1 2 2.物体自由落体的运动方程为s(t)= 2 gt ,g=9.8 s?1+Δt?-s?1? =9.8 m/s,那么下列说法中正确的是( Δt )

m/s2,若v= lim =
Δt→0

【导学号:31062004】 A.9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率 B.9.8 m/s是1 s到(1+Δt)s这段时间内的速率 C.9.8 m/s是物体在t=1 s这一时刻的速率 D.9.8 m/s是物体从1 s到(1+Δt)s这段时间内的平均速率

C [ 结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确.]

3.函数f(x)= x在x=1处的导数为________.
[ 解析] ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1+Δx-1,

1+Δx-1 Δy 1 ∴Δx= = , Δx 1+Δx+1 Δy ∴f′(1)= lim Δx= lim Δx→0 Δx→0 1 1 =2. 1+Δx+1

[ 答案]

1 2

f?x0+3Δx?-f?x0? 4.设f(x)在x0处可导,若 lim =A,则f′(x0)=________. Δ x Δx→0

[ 解析]

f?x0+3Δx?-f?x0? lim Δx Δx→0

f?x0+3Δx?-f?x0? =3 lim =3f′(x0)=A. 3Δ x 3Δx→0 1 故f′(x0)=3A. A [ 答案] 3

5.在曲线y=f(x)=x2+3上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy),求: Δy (1)Δx;(2)f′(1).

[ 解]

Δy f?1+Δx?-f?1? (1)Δx= Δx

【导学号:31062005】

?1+Δx?2+3-?12+3? = =2+Δx. Δx f?1+Δx?-f?1? (2)f′(1)= lim Δx Δx→0 = lim (2+Δx)=2.
Δx→0

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