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2017_18版高中数学第二章解析几何初步3.3空间两点间的距离公式学案北师大必修

3.3
学习目标

空间两点间的距离公式

1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程 .2.会应用空间两点的

距离公式求空间中两点间的距离.

知识点 空间两点间的距离公式 思考 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,则其对 角线 AC1 的长等于多少?

梳理 两点间的距离公式 (1)在空间直角坐标系中,任意一点 P(x,y,z)与原点间的距离|OP|= x +y +z . (2) 空 间 中
2 2 2

P1(x1 , y1 , z1) , P2(x2 , y2 , z2) 之 间 的 距 离 |P1P2| = y1-y2
2

x1-x2

2



+ z1-z2

2

.

类型一 求空间两点间的距离

例 1 已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,D1D=3,点 M 是 B1C1 的中点,点 N 是 AB 的中点.以 D 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出点 D,N,M 的坐标;

(2)求线段 MD,MN 的长度.

反思与感悟 求空间两点间的距离的步骤 (1)求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适 当的坐标系,确定两点的坐标. (2)确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几 何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定. 跟踪训练 1 如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E 分别是棱 AB,B1C1 的中点,F 是 AC 的中点,求 DE,EF 的长度.

类型二 求空间点的坐标 例 2 已知点 A(4,5,6),B(-5,0,10),在 z 轴上有一点 P,使|PA|=|PB|,则点 P 的坐标 为________. 引申探究 1.若本例中已知条件不变,问能否在 z 轴上找一点 P,使得△ABP 是以 AB 为底边的等腰三 角形?

2.若本例中“在 z 轴上”改为“在 y 轴上”,其他条件不变,结论又如何?

反思与感悟 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置,则可直接设出该点坐标,利用 待定系数法求解点的坐标. (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件,则可以列出关于点的 坐标的方程进行求解. 跟踪训练 2 设点 P 在 x 轴上,使它到点 P1(0, 2,3)的距离是到点 P2(0,1,-1)的距离 的 2 倍,求点 P 的坐标.

类型三 空间两点间距离公式的应用

例 3 如图所示,正方体棱长为 1,以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系,点 P 在正方体的体对角线 AB 上,点 Q 在正方体的棱 CD 上.当点 P 为体对角线 AB 的中点,点 Q 在棱 CD 上运动时,求|PQ|的最小值.

反思与感悟 利用空间两点间的距离公式, 将空间距离问题转化为二次函数的最值问题, 体

现了数学上的转化思想和函数思想, 此类题目的解题方法是直接设出点的坐标, 利用距离公 式就可以将几何问题代数化,再分析函数即可. 跟踪训练 3 在 xOy 平面内的直线 2x-y=0 上确定一点 M,使它到点 P(-3,4,5)的距离最 小,并求出最小值.

1.坐标原点到下列各点距离最大的点是( A.(1,1,1) C.(2,-3,5)

)

B.(1,2,2) D.(3,0,4) )

2.已知点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4),且|AB|=2 6,则实数 x 的值是( A.-3 或 4 C.3 或-4 B.6 或 2 D.6 或-2

3. 已知三角形的三个顶点 A(2, -1,4), B(3,2, -6), C(5,0,2), 则过 A 点的中线长为( A. 11 C.11 2 B.2 11 D.3 11

)

4.如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCD-A′B′C′D′,A′C 的中点

E 与 AB 的中点 F 的距离为(

)

A. 2a C.a

B.

2 a 2

1 D. a 2

5.已知点 A(1,a,-5),B(2a,-7,-2),则|AB|的最小值为________.

1.空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任 意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想. 2.若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可.若已知两点间距离求参数或点的坐标时, 应利用公式建立相应方程求解.

答案精析 知识点 思考

a2+b2+c2.

题型探究 例 1 解 (1)D(0,0,0),N(2,1,0),M(1,2,3). (2)|MD|= = 14, |MN|= -
2



2





2





2





2





2

= 11.

跟踪训练 1 解 以点 C 为坐标原点,CA、CB、CC1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图 所示的空间直角坐标系.

∵|C1C|=|CB|=|CA|=2, ∴C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),由中点坐标公式,可得

D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),
∴|DE|= = 5, |EF|= -
2



2





2





2





2





2

= 6.

例 2 (0,0,6) 解析 设 P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得 - =
2


2

- +

2


2

-z +

2

-5-



-z

2



解得 z=6.

∴点 P 的坐标为(0,0,6). 引申探究 1.解 与例 2 的结论一样,P(0,0,6). 2.解 设 P(0,y,0),由|PA|=|PB|,得 - =
2


2

-y +

2


2

- +

2

-5-

-y



2



24 解得 y=- . 5 24 ∴点 P 的坐标为(0,- ,0). 5 跟踪训练 2 解 因为 P 在 x 轴上,所以设 P 点坐标为(x,0,0). 因为|PP1|=2|PP2|, 所以 =2

x- x-
2

2



- 2 -
2

2

+ +


2

2







所以 x=±1,所以点 P 的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0). 1 1 1 例 3 解 由题图可知,P( , , ). 2 2 2 ∵Q 点在 CD 上, ∴设 Q(0,1,z),z∈[0,1], ∴|PQ|= 1 - 2 =
2



1 - 2
2

2



1 -z 2

2



1 1 + -z 2 2



1 2 ∴当 z= 时,|PQ|min= . 2 2 跟踪训练 3 解 ∵点 M 在 xOy 平面内的直线 2x-y=0 上, ∴设点 M(a,2a,0), 则|MP|=
2

a+

2



a- a-
2

2

+5

2

= 5a -10a+50=

+45,

∴当 a=1 时,|MP|取最小值 3 5,此时 M(1,2,0), ∴当点 M 坐标为(1,2,0)时,|PM|最小,最小值为 3 5. 当堂训练 1.C 2.D 3.B 4.B 5.3 6

解析 |AB|=

a-


2

+ -7-a
2

2



-2+

2

a+

+54.

当 a=-1 时,|AB|的值最小,最小值为 54=3 6.


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