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平面基本性质与空间两直线的位置关系


第5课
一、知识回顾

平面基本性质与空间两直线的位置关系
l
F
A D E

1.点线面及其关系的符号表示(如图)
1 ○点用 大写字母 表示; 点 E

线用 小写字母 或 两个大写字母 表示; 直线 l 直线 EF
2 ○平面的画法:一般地水平放置的平面通常画成

一内角为 45 度, 或
平面ABCD

B

?

C

一边长度是另一边 2 倍的平行四边形 . 平面的表示:右图所示平面可以表示为 2.平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 1:线上两点在面内,线在面内 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这 个公共点的一条直线. 公理 2:两个平面有一个公共点,必有一条过该点的交线 公理 3:不共线的三点确定一个平面 推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论 1:线及线外一点确定一个平面 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 三个公理的用途:
1 ○公理 1 是 判定线在面内 的依据; 2 3 ○公理 2 是 判定面面相交,确定两面交线 的依据;○公理 3 是 确定一个平面 的依据.

平面?

.

公理 3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

推论 2:两条相交直线确定一个平面 推论 3:两条平行直线确定一个平面

3.空间内两直线的位置关系:
位置关系 共面情况 公共点个数

相交 平行 异面

共面 共面 不同在任一平面

有且只有一个 没有 没有

相交 在同一平面内,有且只有一个公共点的两条直线 定义 在同一平面内,没有公共点的两条直线 判定 平行 4.空间两直线 公理 4 平行于同一条直线的两直线平行 等角定理 定义 不同在任何一个平面内的两条直线 判定 判定定理 “两在两不在” 异面 异面直线所成的角 平移至相交 异面直线的公垂线 与两异面两直线均垂直且相交的直线

5.一些常用结论
1 ○判定两条直线平行的方法: 定义法,公理 4,中位线模型,平行四边形模型 ; 2 ○等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同, 那么这两个角 相等;

(平行且方向相反,那么这两个角 相等 ;平行且一同向一方向,那么这两个角 互补 ; ) ? ? 3 ○异面直线所成角的范围是 ? 0 ,90 ? ; ?
4 ○异面直线所成角为 90? 时,称两异面直线 垂直 .由此: 垂直未必相交 .

二、例题分析
1.判断下列命题是否正确
1 ○一条直线上有一个点在平面内,则这条直线上所有的点在这平面内( × ) 2 ○若线段 AB ? ? ,则线段 AB 延长线上的任何一点必在平面 ? 内( √ ) 3 ○若三直线 a, b, c ,满足 a 与 b 异面, b 与 c 异面,则 a 与 c 也异面( × ) 4 ○过直线外一点可作无数条直线与已知直线平行( × ) 5 ○过直线外一点可作无数条直线与已知直线异面( √ ) 6 ○过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直( × )

2.长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,设 E , F 分别是 AB , BC 的中点,求证: EF // AC1 . 1 证明:连结 AC 、 A1C1 , ∵在 ?ABC 中, E , F 分别是 AB , BC 的中点, ∴ EF ∥ AC . 又∵几何体 ABCD ? A1B1C1D1 是长方体,
// ∴ AA1 = CC1
A
A1 D1
B1 C1

D

C
F
E B

∴四边形 AA1C1C 为平行四边形, ∴ AC ∥ A1C1 , ∴ EF ∥ A1C1 . 3.如图: EF ?GH ? P ,求证: B、D、P 三点共线. 分析:证明一点在另两点确定的直线上. 证明:∵ EF ?GH ? P , ∴ P ? EF ,∴ P ? 面CBD ; 同理: P ? 面ABD . 又∵面 ABD? 面 CBD ? BD ∴ P ? BD ∴ B、D、P 三点共线. 4.长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, ?B1 AB ? ?B1 AC1 ? 30? . 1
B
E

C

F D
H

P

A

G

1 2 3 求:○ AB 与 A1C1 所成角的大小;○ AA1 与 B1C 所成角的大小;○ AB1 与 A1C1 所成角的余弦值. 1 解:○ ∵四边形 ABCD ? A1B1C1D1 为长方体,

D1

C1 B1

∴ AB ∥ A1 B1 , ∴异面直线 AB 与 A1C1 所成角即相交直线 A1 B1 与 A1C1 所成角, 即 ?B1 A1C1 ? 30? , ∴异面直线 AB 与 A1C1 所成角的大小为 30 ;
?

A1
D

C
B

A

2 ○四边形 ABCD ? A1B1C1D1 为长方体,

∴ AA1 ∥ BB1 , ∴异面直线 AA1 与 B1C 所成角即相交直线 BB1 与 B1C 所成角, 即 ?BB1C . 又∵ ?B1 AB ? ?B1 AC1 ? 30? , 1 ∴ B1C1 ? A1 B1 ? tan 30? , BB1 ? AB ? tan 30? , ∴ BB1 ? B1C1 ,即四边形 BB1C1C 为正方形, ∴ ?BB1C ? 45? ∴异面直线 AA1 与 B1C 所成角的大小为 45? ;
3 ○连结 AC ,

∵四边形 ABCD ? A1B1C1D1 为长方体,
// ∴ AA1 = CC1 ,

∴四边形 A1 ACC1 为平行四边形, ∴ A1C1 ∥ AC ∴异面直线 AB1 与 A1C1 所成角即相交直线 AB1 与 AC 所成角, 即 ?B1 AC , 设 BB1 ? a , 在 ?B1 AC 中, B1C ? 2a , A1 B ? AC ? 2a , ∴ cos ?B1 AC ?
A1 B 2 ? AC 2 ? B1C 2 3 ? , 2 A1 B ? AC 4

3 ∴ AB1 与 A1C1 所成角的余弦值为 . 4

三、课堂练习
1.用准确的符号表示“点 P 在直线 l 外,直线 l 在平面 ? 内”为
P ?l , l ? ?

.

2.已知空间不共面的四点,过其中任意三点可以确定一个平面,由这四个点能确定 4 个平面. (另 3 点是关键) 3. 共点的三条直线最多能确定的平面总数是 3 个 ; 三个平面两两相交, 则交线条数为 1 或 3 . (第 3 条直线、第 3 个平面是关键) 4.若 A?? , B ?? , A?l , B?l ,那么直线 l 与平面 ? 有 1 个公共点. (线上一点在面内) 5.若 A?? , A ? ? , B ?? , B ? ? ,那么平面 ? 与 ? 有 无数 个公共点. (两面交线 AB) 6.正方体中与棱 AA1 异面的棱共有 4 条,与 AA1 异面的面对角线共有 6 条,与 AA1 异面的对角 线共有 2 条;既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱有 5 条. 7.下列命题中真命题的个数是 2 个 . ⑴空间两组对边分别平行的四边形是平行四边形;⑵空间一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形;⑶空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形;⑷四边相等的四边形是菱形. 8.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E、F 分别是 B1 D1 , A1B 的中点,则直线 EF 与 AD1 的位置关系 (共面:平行或相交)

是 平行 . 9.已知直线 a, b, c 不共面,它们相交于点 P , A?a , D?a , B ?b , E ?c ,求证: BD 和 AE 是 异面直线. c E 证明:记相交直线 a , b 确定的平面为 ? , ∴ P, A, B, D ? ? , E ?? ; BD ? ? ? A ?? ? ? ∴ ? ? BD 和 AE 是异面直线.
A ? BD ? E ?? ? ?

D

a
b

?

P

B

A

另证:假设 BD 和 AE 共面于 ? , ∴ AD ? ? ,即 a ? ? ; ∴P?? , ∴ PE ? ? , PB ? ? , 即直线 a , b , c 共面于 ? ,与直线 a, b, c 不共面矛盾 ∴ BD 和 AE 是异面直线 10.如图,已知 E , F 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 AA1 和 CC1 上的点,且 AE ? C1 F .求证: 四边形 EBFD1 是平行四边形. D 取 D1G ? C1 F
?
1

C1

A1 D1G // AE = ?

B1

四边形 CFGD 是平行四边形
?

E

F

D
A B

四边形 BFGA是平行四边形
?

四边形 AED1G 是平行四边形
?

C

// ∴ ED1 = BF 平行且相等,即四边形 EBFD1 是平行四边形.

// AG = BF

// AG = ED1

11.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E、F 分别为 AB、AA1 的中点.
1 2 求证:○ E、C、D1、F ,四点共面; ○ CE、D1F、DA 三条直线过同一点.

D1 A1 B1

C1

F A

D
E B

C

12.正方体中 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 a ,求: 1 ○直线 BA1 与 B1C 所成的角是 60? ;
2 ○若 E , F 分别为棱 AB, DD1 的中点,则 A1E 与 C1F 所成的角是 3 ○ A1 A 与 C1D1 间的距离为

90?
a



a

; A1B 与 C1D1 间的距离为
C1 D1 A1

.

D1 A1 B1

C1 B1

F
D

C
B A

D
E

C
B

A

D1 A1 B1

C1 A1

D1 B1

C1

D
A

C
B A

D
B

C


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