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解三角形、数列、不等式练习教师版


解三角形
第一节 正弦定理与余弦定理
1.(2008·陕西理,3)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2 ,b= 6 , B=120°,则 a 等于 ( ) A. 6 答案 D B.2 C. 3 D. 2

2. (2008· 福建理, 在△ABC 中,角 A、 C 的对边分别为 a、 c, (a +c -b ) 10) B、 b、 若 tanB= 3 ac, 则角 B 的值为( A.
? 6

2

2

2

) B.
? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

答案 D 3.下列判断中正确的是 A.△ABC 中,a=7,b=14,A=30°,有两解 B.△ABC 中,a=30,b=25,A=150°,有一解 C.△ABC 中,a=6,b=9,A=45°,有两解 D.△ABC 中,b=9,c=10,B=60°,无解 答案 B 4. 在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 A.等腰直角三角形 答案 B
sin B 的值为 sin C









B.等腰三角形

C.直角三角形

D.等边三角形

5. 在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 A. 答案
8 5

( D.
3 5



B. D
4 4 4

5 8

C.

5 3

6.△ABC 中,若 a +b +c =2c (a +b ),则∠C 的度数是 A.60° 答案 B B.45°或 135° C.120°

2

2

2

( D.30°



7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7 ,c= 3 ,则 B= 答案
5? 6

.

8. 在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为 答案
10 3

.?

9. (2008·浙江理,13)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若( 3 b-c) cosA=acosC,则 cosA= .

1

答案

3 3

10. 在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A、C 和 c. 解 ∵B=45°<90°且 asinB<b<a,∴△ABC 有两解.
3 sin 45? 3 asin B = = , 2 b 2

由正弦定理得 sinA=

则 A 为 60°或 120°. ①当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75°, c=
2 sin(45? ? 30?) 6? 2 2 sin 75? b sin C = = = . sin 45? 2 sin 45? sin B

②当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15°, c=
2 sin15? 2 sin(45? ? 30?) 6? 2 b sin C = = = . sin 45? sin 45? 2 sin B
6? 2 6? 2 或 A=120°,C=15°,c= . 2 2

故在△ABC 中,A=60°,C=75°,c=

11. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,且

cos B b =. cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13 ,a+c=4,求△ABC 的面积. 解 (1)由余弦定理知:cosB=
a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 ,cosC= . 2ac 2ab

将上式代入
2

a 2 ? c2 ? b2 2ab b b cos B =得: · 2 2 2 =cos C 2a ? c 2ac a ?b ?c 2a ? c
2 2

整理得:a +c -b =-ac∴cosB= ∵B 为三角形的内角,∴B= (2)将 b= 13 ,a+c=4,B=

1 a 2 ? c 2 ? b 2 ?ac = =2 2ac 2ac

2 ? 3

.
2 2 2 2 2

2 ? 3

代入 b =a +c -2accosB,得 b =(a+c) -2ac-2accosB

1 1 2 3 3 ∴b =16-2ac ?1 ? ? ,∴ac=3.∴S△ABC= acsinB= . ? ?

?

2?

2

4

12. 在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a +b )sin(A-B)=(a -b ) sin(A+B) ,判断三角形的形状. 2 2 解 方法一 已知等式可化为 a [sin(A-B)-sin(A+B) ]=b [-sin(A+B)-sin(A-B)] 2 2 ∴2a cosAsinB=2b cosBsinA 2 2 由正弦定理可知上式可化为:sin AcosAsinB=sin BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由 0<2A,2B<2 ? 得 2A=2B 或 2A= ? -2B,即 A=B 或 A=
2

2

2

2

2

? -B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 2
2

方法二 同方法一可得 2a cosAsinB=2b sinAcosB 由正、余弦定理,可得 a b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 b2 ? c 2 ? a 2 2 a ?c ?b = ba 2bc 2ac

∴a (b +c -a )=b (a +c -b )

2

2

2

2

2

2

2

2

即(a -b )(a +b -c )=0∴a=b 或 a +b =c ∴△ABC 为等腰或直角三角形.

2

2

2

2

13. 已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2 2 2S=(a+b) -c ,求 tanC 的值. 2 2 2 2 2 2 解 依题意得 absinC=a +b -c +2ab,由余弦定理知,a +b -c =2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC),即 sinC=2+2cosC,所以 2sin
C 化简得:tan 2 C 2

cos

C 2

=4cos

2

C 2

C 2 =- 4 . =2.从而 tanC= 3 2 C 1 ? tan 2 2 tan

14. 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等差数列,且 2cos2B-8cosB+5=0,求角 B 的大小并判断△ABC 的形状. 2 解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos B-1)-8cosB+5=0. 2 ∴4cos B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB= 或 cosB= (舍去).∴cosB= .∵0<B< ? ,∴B=
a2 ? c2 ? (
1 2 3 2 1 2

? . 3

a 2 ? c2 ? b2 ∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.∴cosB= = 2ac

a?c 2 ) 1 2 = , 2 2ac

化简得 a +c -2ac=0,解得 a=c.又∵B=

2

2

? ,∴△ABC 是等边三角形. 3
2

方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos B-1)-8cosB+5=0. 2 ∴4cos B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB= 或 cosB= (舍去).∴cosB= ,∵0<B< ? ,∴B=
1 2 3 2 1 2

? , 3 ? = 3. 3

∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB=2sin ∴sinA+sin ? ?
3 2

2? 2? 2? ? ? A ? = 3 ,∴sinA+sin cos A -cos sin A = 3 . 3 3 3 ? ? 3 ? cosA= 3 ,∴sin ? A ? ? =1. ? ? 2 6? ?

化简得 sinA+ ∴A+

? ? ? ? = ,∴A= ,∴C= ,∴△ABC 为等边三角形. 6 2 3 3
7 A? B -cos2C= . 2 2

15. (2008·广东五校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5, c= 7 ,且 4sin
2

(1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)∵A+B+C=180°,由 4sin ∴4·
2

7 7 A? B 2 C -cos2C= ,得 4cos -cos2C= , 2 2 2 2

7 1 1 ? cos C 2 2 -(2cos C-1)= ,整理,得 4cos C-4cosC+1=0,解得 cosC= , 2 2 2

∵0°<C<180°,∴C=60°. 2 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理得 c =a +b -2abcosC,即 7=a +b -ab,∴7=(a+b) -3ab, 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6,∴S△ABC= absinC= ×6×
1 2 1 2

3 3 3 = . 2 2

第二节

正弦定理、余弦定理的应用
3

1. 从 A 处 望 B 处 的 仰 角 为 ? , 从 B 处 望 A 处 的 俯 角 为 ? , 则 ?、 ? 的 关 系 为 ( ) A. ? > ? B. ? = ? C. ? + ? =90° D. ? + ? =180°

答案 B 2.已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120°,则 A、C 两地的距离为 ( ) A.10 km 答案 D 3. 为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 测得塔基 B 的俯角为 45°,那么塔 AB 的高度是 ( ) A. 20(1 ?
3 ) m 3

B. 3 km

C. 10 5 km

D.10 7 km

B. 20(1 ?

3 ) m 2

C. 20(1 ? 3 ) m

D.30 m

答案 A 4.如图,位于港口 O 正东 20 海里 B 处的渔船回 港时出 现故障.位于港口南偏西 30° ,距港口 10 海里 C 处的拖 轮接到海事部门营救信息后以 30 海里/小时的速 度沿直 线 CB 去营救渔船, 则拖轮到达 B 处需要________ 小时. 解 析 : 由 余 弦 定 理 得 BC = 错误! 7 7 =10 7,从而需 小时到达 B 处.答案: 3 3 5.(2010 年南京市高中联考)如图,海岸线上有相距 5 海 里的两座灯 塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海上停泊着两 艘轮船,甲 乙船位于灯 船位于灯塔 A 的北偏西 75° ,与 A 相距 3 2海里的 D 处; 塔 B 的北偏西 60° 方向,与 B 相距 5 海里的 C 处.则两艘 轮船之间的 距离为________海里. AC = 5 , 解析:连结 AC.则 AC=5,在△ACD 中,AD=3 2, ∠DAC=45° ,由余弦定理得 CD= 13.答案: 13 6.(2010 年宁波十校联考)一船向正北方向匀速行驶,看见正西方向两座相距 10 海里的灯塔 恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 60° 方向上,另 一灯塔在南偏西 75° 方向上,则该船的速度是________海里/小时. 解析:假设该船从 A 处航行到了 D 处,两座灯塔分别在 B、C 位置,如图,设 AD 长为 x,则 AB=xtan60° ,AC=xtan75° ,所以 BC=xtan75° - xtan60° = 5 10, 解得 x=5, 所以该船的速度 v= =10(海里/小时). 答 案:10 0.5 7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120° 的扇形 AOB, 是 C 该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的小 路 CD. 已 知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用 了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇 形的半径 为________米. 解析:连结 OC,在三角形 OCD 中,OD=100,CD = 150 , 1 ∠CDO=60° ,由余弦定理可得 OC2=1002+1502-2×100×150× =17500,∴OC=50 7. 2 答案:50 7 8.(原创题)在 Rt△ABC 中,斜边 AB=2,内切圆的半径为 r,则 r 的最大值为________.

4

a+b-c a+b (a+b)2 解析:∵r= = -1,∵4=a2+b2≥ ,∴(a+b)2≤8,∴a+b≤2 2, 2 2 2 ∴r≤ 2-1.答案: 2-1 9.(2009 年高考辽宁卷)如图,A、B、C、D 都在 同一个与 水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯 塔的塔顶, 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别 为 75°、 30° ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC= 0.1 km.试探究图中 B、 间距离与另外哪两点间 D 距离相等, 2 然后求 B、D 的距离(计算结果精确到 0.01 km, ≈1.414, 6≈2.449). 解:在△ACD 中,∠DAC=30° , ∠ADC=60° -∠DAC=30° , 所以 CD=AC=0.1.又∠BCD=180° -60° 60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. AB AC ACsin60° 3 2+ 6 在△ABC 中, = ,所以 AB= = . sin15° 20 sin∠BCA sin∠ABC 3 2+ 6 同理,BD= ≈0.33(km), 20 故 B、D 的距离约为 0.33 km. 1.已知数列 ?a n ? 满足条件 ( n ? 1 )an?1 ? ( n ? 1 )( an ? 1 ) ,且 a2 ? 6 ,设 bn ? an ? n ,那么 数列 ?a n ? 的通项公式是

- 60° =

数列

a n ? 2n2 ? n

2、x= ab 是 a、x、b 成等比数列的( D ) 条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 n 3、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=a -1(a ? R, a ? 0 ),则数列{an} C ( ) A.一定是等差 B.一定是等比 C.或是等差或是等比 D.既非等差又非等比 4、弹子跳棋共有 60 颗大小的球形弹子,现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛,使剩下的 弹子尽可能的少,那么剩余的弹子有 ( B ) A. 0 颗 B.4 颗 C.5 颗 D.11 颗 5、某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于 2003 年 8 月 20 号从银行贷款 a 元,为 还清这笔贷款, 该家长从 2004 年起每年的 8 月 20 号便去银行偿还确定的金额, 计划恰好 在贷款的 m 年后还清,若银行按年利息为 p 的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息 也纳入本金计算新的利息) ,则该学生家长每年的偿还金额是 ( D )

6、已知 ?a n ?为等比数列, a1 ? 2, q ? 3 ,又第 m 项至第 n 项的和为 720 (m ? n) ,则 m ? 7、数列 ?a n ?对任意 n ? N 都满足 a n ? 2 ? a n ? a n ? 4 ,且 a3 ? 2, a7 ? 4, a n ? 0 ,
*
2

a A. m

ap(1 ? p) m ?1 m ?1 ?1 B. (1 ? p )
6
王新敞
奎屯 新疆

ap(1 ? p) m ?1 pm ?1 C.

ap(1 ? p ) m m D. (1 ? p ) ? 1

3

, n?

则 a11 ?

8
2

王新敞
奎屯

新疆

8、 已知函数 f ( x) ?

x 1 1 1 7 , 那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) ? 2 2 3 4 2 1? x
王新敞
奎屯 新疆

9、 一个项数为偶数的等比数列, 首项是 1, 且所有奇数项之和是 85, 所有偶数项之和是 170, 则此数列共有___8 _项
王新敞
奎屯 新疆

5

10、在各项为正数的等比数列 ?a n ? 中,已知 a3 ? a 4 ? 11a 2 ?a 4 ,且前 2n 项的和等于它的

1 10n? 2 11、 已知数列 ?an ? 中, 1 ? ?60, a n ?1 ? a n ? 3 , 那么 | a1 | ? | a 2 | ? ? ? | a30 | 的值为 765 a

前 2n 项中偶数项之和的 11 倍,则数列 ?a n ?的通项公式 a n ?

王新敞
奎屯

新疆



12、等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,且 3a8 ? 5a13 ,则 {S n } 中最大项为 。 S 20 13、已知一个等差数列前五项的和是 120,后五项的和是 180,又各项之和是 360,则此数 列共有 12 项。 1 14、设 f ( x) ? x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得: 3 ? 3 13 f (?12) ? f (?11) ? f (?10) ? ? ? f (0) ? ? ? f (11) ? f (12) ? f (13) 的值为 3 3 15、 已知数列 ?a n ?的通项 a n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 , n 项和为 S n , S n = 前 则 16、数列
2

1 ? (2n ? 1)2 n



1 1 1 1 3 2n ? 3 。 ? , 2 , 2 , 2 , ? 前 n 项的和等于 4 2(n ? 1)(n ? 2) 1 ? 2 2 ? 4 3 ?6 4 ?8 17、已知数列 {an } 是首项为 a1 ,公差为 d (0 ? d ? 2? ) 的等差数列,若数列 {cos an } 是等比 数列,则其公比为( B )

B. ?1 C. ?1 D. 2 18、已知在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 n ? qa2 n ?1, a2 n ?1 ? a2 n +d ( q、d ? R,q >0) . A. 1
(1)若 q ? 2, d ? ?1, 求 a3 , a4 并猜测 a2006 ; (2)若 ?a2 n ?1?是等比数列,且 ?a2 n ? 是等差数列,求 q, d 满足的条件. 解: (1)? a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a2 ? 1 ? 1, a4 ? 2a3 ? 2,?猜测 a2006 ? 2 . (2)由 a2 n ? qa2 n ?1, a2 n ?1 ? a2 n + d (q, d 喂R, q 当 d ? 0 时,显然 a2 n ?1 ? qa2 n ?1 , ?a2 n ?1?是等比数列.
0) ,得 a2 n ?1 ? qa2 n ?1 ? d .

当 d ? 0 时,因为 a1 ? 1, 只有 a2 n ?1 ? 1 时, ?a2 n ?1?才是等比数列. 由 a2 n ?1 ? qa2 n ?1 ? d ,得 q ? d ? 1, 即 d ? 0, q ? 0 ,或 q + d = 1 . 由 a2 n ? qa2 n ?1, a2 n ?1 ? a2 n ? 2 ? d 得 a2 n ? qa2 n ? 2 ? qd (n ? 2) . 当 q ? 1, a2 n ? a2 n ? 2 ? d (n ? 2) ,显然 ?a2 n ? 是等差数列, 当 q ? 1 时, a2 ? qa1 ? q , 只有 a2 n ? q 时, ?a2 n ? 才是等差数列. 由 a2 n ? 2 ? q(a2 n ? d ) ,得 q ? d ? 1, 即 q ? 1, q ? d ? 1. 综上所述: q + d = 1 . 19.已知一个等差数列的前 10 项和是 310,前 20 项和是 1220,试求其前 n 项和。 解: 由题设: S10 ? 310 ∴ S n ? 4n ?

S 20 ? 1220

得: ?

? 10 a1 ? 45 d ? 310 ?a ? 4 ?? 1 ?d ? 6 ?20 a1 ? 190 d ? 1220

n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2

6

不等式
1 数 , 且 f (0) ? 3, f (3) ? ?1, 设P ? {x | f ( x ? t ) ? 1 | <2},Q ? {x | f ( x)<? 1},若x ? P是x ? Q 的充分不必要条件,
f (x)







R









则实数 t 的取值范围为 A、t≤0 B、t≥0

( ) C、t≤-3

D、t≥-3

2、已知 a>0,集合A ? {x | | x ? 2 | <a}, B ? {x | a x>1}, 若A ? B ? ?, 则实数a 的取值范围为 A、 (2,??) B(0,1) C、 (0,1) ? (2,??) D、 (0,1) ? (1,??) 3、已知奇函数 f ( x)在(??,0)上单调递减,且 (2) ? 0, 则不等式( x ? 1) f ( x ? 1) ? 0的解集为 f

?x A、 | ?3 ? x ? ?1?


?x ?x B、 | ?1 ? x ? 1或1 ? x ? 3? C、 | ?3 ? x ? 0或x ? 3?
y

?x D、 | ?3 ? x ? 1或x ? 2?

4、 f (x) 是定义在(0,3)上的函数, f (x) 的图象如图所示,则不等式 f ( x) cos x ? 0 的解集
? ?

A. (0,1) ? (2,3)B. (1, ) ? ( ,3)
2 2

1 O

C. (0,1) ? ( ,3)
2

?

.

D. (0,1) ? (1,3)

2

. 3

.

x

5、函数 f (x) 在(-1,1)上有定义且 f ( x) ? x3 ? x,当f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 )>0时a 的取值范围为 A、 (-2,1) B、 (0, 2 ) C、 (0,1) 6、已知函数 f ( x) ?| log3 x | ,若 f ( x) ? f (3.5) ,则 x 的取值范围为 A、 (0, ) ? (1, )
2 7 7 2

D、 (-2, 2 ) D、 ( , )
2 7 7 2

B、 ( ,??)

7 2

C、 (0, ) ? ( ,??)

2 7

7 2

7、设奇函数 f (x) 在[-1,1]上是增函数,且 f (?1) ? ?1 ,若函数 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对所有的
x ? [?1,1] 都成立,当 a ? [?1,1] 时 t 的取值范围为

A、[-2,2] B、 [? 1 , 1 ] 2 2 8、设点 (a, b)在区域?

C、 (??,?2]?]2,??) ?{0}

D、 (??,? 1 ] ? [ 1 ? ?) ? {0} 2 2

? x ? 0, y ? 0 内,则点(a ? b, a ? b) 所在的区域的面积为 ? x? y ? 2
C(4, 2) B(5, 1)

y A、1 B、2 C、4 D、8 9、在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界) , 目标函数 z ? x ? ay 取得最优解有无数个,则 a 的一个可能值为 A、-3 B、3 D、-1 D、1
a(1,

O 1) ;

x

10、若关于 x 不等式 x | x ? a |? 2a 2 (a ? (??,0)) 的解集为

11、 若关于 x 不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)的解集为? ? x ? ?,其中? ? ? ? 0,则不等式cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集为 ;
(??,3] ,若此不等式有

12、若关于 x 不等式 | x ? 2 | ? | x ? 1 | <a的解集为?,则a 的取值范围是 解,则 a 的取值范围是
(3,??)

7

13



f ( x)、g ( x)











R










n 2







f ( x) ? 0的解集为(m, n),g ( x) ? 0的解集为( m , n ),其中0 ? m ? 2 2
f ( x) ? g ( x) ? 0 的解集为

,则不等式


<0的解集为M,? M且5 ? M , 则实数a的 取值范围为 3

14、 已知关于 x 的不等式

ax ? 5 x2 ? a2

; ; ; 的取值范围

15、不等式 x4 ? ax2 ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 16、已知 x, y ? R ? 且x ? y ? 4, 则使不等式
1 x

?

4 y

? m 恒成立的实数 m 的取值范围为
b?2 a ?1

17、关于 x 的方程 x2 ? ax ? 2b ? 0 的两根分别在区间(0,1)与(1,2),则 为 ;
1 xy

18、设 x, y ? R ? 且x ? y ? 1, 则xy ?

的最小值为

; ;


19、设 x, y ? R ? 且x 2 ? 1 y 2 ? 1, 则x 1 ? y 2 的最大值为 4
16 20、设 a ? b ? 0,则 a 2 ? b( a ?b) 的最小值为

21、解关于 x 的不等式 xax1 ? 1 ?

22.若 a,b∈R,求证: 证明

a?b 1? a ? b



a 1? a

+

b 1? b

.

当|a+b|=0 时,不等式显然成立.
1 a?b

当|a+b|≠0 时,由 0<|a+b|≤|a|+|b| ? 所以
a?b 1? a ? b

≥ +

1 a?b

,

=

1 1 ≤ 1 1 ?1 1? a?b a?b

=

a?b 1? a ? b



a 1? a

b 1? b

.

23. (2008·苏中三市调研)已知 x、y、z 均为正数. 求证: 证明 所以
y x z ? ? yz zx xy

≥1 +1 +1.
x

y

z

因为 x,y,z 全为正数.
y 1 x ? ? yz zx z

( x + y )≥ 2 ,
y
x
z

同理可得

y z ? zx xy

≥2,
x

z x ? xy yz

≥2,
y

当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立.
8

将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2, 得
y x z ? ? yz zx xy

≥1 +1 +1.
x

y

z

24. 证明

已知 x1,x2,…,xn 都是正数,且 x1+x2+…+xn=1,求证:
1 x1

1 x1

+

1 x2

+…+

1 xn

≥n2.

+

1 x2

+…+

1 xn

=(x1+x2+…+xn)(
1 ? xn xn ? ? ? ?
2

1 x1

+

1 x2

+…+

1 xn



? ≥ ? 1 ? x1 ? ? x1 ?

1 ? x2 ? ? x2

=n2.

9


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