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【优化方案】2012高中数学


1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质与推论

学习目标
1. 理解平面的概念,掌握平面的性质并会确定平 面. 2 .理解直线与直线、直线与平面、平面与平面 的位置关系,会利用定理判定它们之间的关系. 3.会进行文字语言、图形语言、符号语言之间 的转化并能进行一些简单问题的证明.

课前自主学案

1.2.1

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 线段 连接两点的线中, _________ 最短;过两点有 一条 且只有________ 直线.

知新益能 1.平面的基本性质 (1)关于基本性质1 ①基本性质1的三种数学语言表述: 两点 在一个 文字语言表述:如果一条直线上的 _______ 所有点 都在这个平 平面内,那么这条直线上的 _________ 面内. 图形语言表述:

A∈l,B言 ∈l,A∈ α,∈α述 ?l?α : 符 号 语 表 ______________________________. ②基本性质 1 的作用:既可判定直线是否在平面内、 点是否在平面内,又可用来检验直线是否在平面 内. (2)关于基本性质2 不在同一条直线上的三点 ①基本性质2的三种数学语言表述: 文字语言表述:经过 _______________________ , 有且只有一个平面. 图形语言表述:

A,B, C三点不共线 ?有且只 符 号 语 言 表 述 : _____________________________ 有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α _______________________________________.

思考感悟

1.如何理解“有且只有一个”?
提示:“有”表示图形存在,“只有一个”

表示图形唯一.

确定平面 ②基本性质 2 的作用:作用一是 ____________ , 可用其证明点、线共面问题 作用二是____________________________ .
(3)关于基本性质3

①基本性质3的三种数学语言表述:
文字语言表述:如果不重合的两个平面有一个公 有且只有一条过这个点的公共 , 那 么 它 们





直线 _____________________________
_________.

图形语言表述:

P∈(α∩言 β)?α∩β =l且P∈ 符 号 语 表 述l _____________________________.



思考感悟

2.两个平面是否可以只有一个公共点?
提示:不可以.两个平面的位置关系只有两种:

平行或相交于一条直线,所以两个平面不可能只
有一个公共点.

②基本性质3的作用: 其一它是判定两个平面是否相交的依据,只要两 个平面有一个公共点,就可以判定这两个平面必 相交于过这点的一条直线,其二它可以判定点在 直线上,点是某两个平面的公共点,线是这两个 平面的公共交线,则这点在交线上. 2.平面基本性质的推论 推论 1 :经过一条直线和这条直线外的一点 ______ , 有且只有一个平面. 两条相交 推论 2 :经过 ____________ 直线,有且只有一个 平面.

两条平行 推论3:经过 ________ 直 线 , 有 且 只 有 一 个 平 面. 3.共面与异面直线 共面 (1)空间中的几个点或几条直线都在同一个平面内, 平行或相交 我们就说它们 _______ .如果两条直线共面,那

不同在任何一个平面内 么它们_______________ .
(2) 我们把 ___________________________ 的直 线叫异面直线.

思考感悟 3.两条直线无公共点是否一定平行呢? 提示:不一定.在空间中,两条直线无公共点, 则这两条直线可能平行,也可能异面.

课堂互动讲练

考点突破
点、线、面的关系、画法及表示 注意熟练作出立体图形.

例1

按照说明将图的虚线改为合适的线,使

图形具有立体感. (1)AB被平面α遮挡;(2)AB不被平面α遮挡; (3)正方体AC′,CD被平面A′ABB′遮挡; (4)正方体AC′,CD不被平面A′ABB′遮挡.

【分析】 【解】

理解清楚题意,再根据要求作图. 立体图形的画法:被遮挡的部分画为

虚线,没被遮挡的部分画成实线.并且在立体 几何中作辅助线的时候也不要全部都用虚线, 而要根据图形的特点该画什么线就画什么线, 如图所示.

【点评】 立体几何中比较重要的一点是熟练的作 立体图形,因为以后我们解题就是建立在立体图形 的直观图的基础上的.能不能从画在平面上的立体 图形的直观图在脑海中得到立体图形是非常关键的, 也是我们最应该训练的. 跟踪训练1 用符号表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面α、β、γ交于点P,且平面α与平面β交 于 PA ,平面 α 与平面 γ 交于 PB ,平面 β 与平面 γ 交 于PC; (2) 平面 ABD 与平面 BCD 相交于 BD ,平面 ABC 与 平面ADC交于AC.

解:(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA, α∩γ=PB,β∩γ=PC.图形表示如图(1). (2)符号语言表示:平面ABD∩平面BCD=BD, 平面ABC∩平面ACD=AC;图形表示如图(2).

共面问题 注意三个基本性质、三个推论的条件及应 用.

例2 求证:两两相交且不共点的四条直线共

面.
【分析】 首先应考虑两两相交且不共点的四

条直线有几种情况.四条直线不共点:(1)无三
线共点;(2)有三线共点.

【证明】 (1) 无三线共点的情况,如图 (1) ,设 a∩ d = M , b ∩ d = N , c∩ d = P , a∩ b = Q , a∩c=R,b∩c=S. ∵a∩d=M,∴a、d可确定一个平面α. ∵N∈d,Q∈a,∴N∈ α,Q∈α,∴NQ?α,即 b?α.

同理c?α,∴a、b、c、d共面. (2)有三线共点的情况,如图 (2),设 b、c、d三线 相交于点 K ,与 a 分别交于 N 、 P 、 M ,且 K ? a , ∵K?a,∴K和a确定一个平面,设为β. ∵N∈a,a?β,∴N∈β.∴NK?β,即b?β. 同理c?β,d?β.∴a、b、c、d共面. 由(1)(2)可知a、b、c、d共面.

【点评】 (1)解决线共面问题的基本方法是:先 由两个推论确定出平面,然后再证明其余的线也 在该平面内;或由一部分线确定一个平面,由另 一部分线确定另一个平面,再证明这两个平面重 合. (2)在解决某些数学问题时,需根据问题的具体情 况进行逻辑划分,即分类讨论.点、线、面的位 置关系有可能较为复杂 ,需对所有情形逐一讨 论.在进行分类讨论时,需做到不重不漏.理解 题意,依据公理,合理分类,分清各种位置的可 能性,然后分别予以解决.

跟踪训练2

求证:两两平行的三条直线如果都

与另一条直线相交,那么这四条直线共面. 已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:直线a、b、c和l共面.

证明:如图.∵a∥b, 由推论3可知直线a与b确定一个平面,设为α. ∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈a,B∈b. 则A∈α,B∈α.而A∈l,B∈l, ∴由基本性质1可知l?α. ∵b∥c,

由推论3可知直线b与c确定一个平面,设为β,同 理可知l?β. ∵平面α和平面β都包含直线b与l,且l∩b=B, ∴由推论2可知:经过两条相交直线,有且只有一 个平面. ∴平面α与平面β重合,∴直线a、b、c和l共面.

多点共线问题
注意各个基本性质及推论的应用.

例3 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中, O1 是上底

面 A1B1C1D1 的对角线的交点,长方体对角线 A1C
交截面B1D1A于点P.

求证:O1,P,A三点在同一直线上.
【分析】 要证明三点共线可利用两点确定一条

直线,再证明第三个点也在此直线上.

【证明】 连接AC(如图所示). ∵A1C交截面B1D1A于点P, A1C?平面ACC1A1, ∴P∈平面B1D1A, 且P∈平面ACC1A1. 又∵平面B1D1A∩平面ACC1A1=AO1, ∴P∈AO1(基本性质3),∴O1,P,A三点在同一 直线上.

【点评】

证明点共线问题常用方法:

(1)先找出两个平面,再证明这三个点都是这两个 平面的公共点,从而根据基本性质3判定他们都在

交线上.
(2)选择两点确定一条直线,再证另一点在这条直

线上.

跟踪训练3 已知E、F、G、H分别是空间四边形 ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平 面内,所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、 AD、CB、CD上的点,且直线EF和GH交于点P, 如图,求证:点B、D、P在同一条直线上.

证明:∵直线EF∩直线GH=P, ∴P ∈直线EF, 而EF?平面ABD, ∴P∈平面ABD. 同理,P∈平面CBD, 即点P是平面ABD和平面CBD的公共点. 显然,点B、D也是平面ABD和平面CBD的公共 点, 由基本性质3知,点B、D、P都在平面ABD和平 面CBD的交线上, 即点B、D、P在同一条直线上.

多线共点问题

点、直线及基本性质3的应用.

中,E为AB中点,F为AA1的中点,求证: (1)E,C,D1,F四点共面; (2)CE,D1F,DA三线共点.

例4 如图 (1) 所示,在正方体 ABCD - A1B1C1D1

【分析】 (1) 可由确定一个平面的条件,寻找 一个平面,再证这些点均在此平面内; (2) 设法 证明其中两线的交点在第三条直线上.

【证明】 (1)分别连接 EF, A1 B, D1 C. ∵ E, F 分别是 AB 和 AA1 的中点, 1 ∴ EF 綊 A1 B. 2 又∵ A1 D1 綊 B1 C1 綊 BC, ∴四边形 A1 D1 CB 是平行四边形, ∴ A1 B∥ CD1 ,从而 EF∥ CD1 . ∴ EF 与 CD1 确定一个平面, ∴ E, C, D1, F 四点共面.

1 (2)如图 (2)所示,∵ EF 綊 CD1 , 2 ∴延长直线 D1F 和 CE 必相交,设 D1 F∩ CE= P. ∵ D1 F?平面 AA1 D1 D, P∈ D1 F, ∴ P∈平面 AA1 D1 D. 又 CE?平面 ABCD, P∈ EC,∴P∈平面 ABCD. 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1 D1D 的公共点,而平 面 ABCD∩平面 AA1 D1 D= AD,∴ P∈ AD, ∴ CE, D1 F, DA 三线共点.

【点评】

立体几何是以平面几何为基础的,

平面几何中的一些结论在立体几何中也适用,

有些立体几何问题可转化为平面几何问题来解
决,本例充分利用平面中两线的位置关系,直

线线D1F与CE相交于点P,进而证明P∈直线AD.

跟踪训练4 如图所示,△ABC与△A1B1C1不在 同一个平面内,如果三直线AA1,BB1,CC1两两 相交,求证三直线AA1,BB1,CC1交于一点.

证明:设BB1与CC1,CC1与AA1,AA1与BB1分
别确定平面α,β,γ,AA1∩BB1=P,

则P∈AA1,P∈BB1,AA1?平面β,BB1?平面α.
所以P∈平面β,P∈平面α,即P∈α∩β. 又因为α∩β=CC1,则P∈CC1, 所以直线AA1,BB1,CC1交于一点P. 故三直线AA1,BB1,CC1共点.

方法感悟

1 .如果一条直线上有两点在一平面内,那么这条 直线就在这个平面内,解答时抓住直线上的两个点 与平面的关系,如有必要,可使用反证法说明问 题. 2 .不共线的三点能确定一个平面,解答时首先分 析所给的元素是否具有确定唯一平面的条件,再进 行计算或推理. 3.平面的基本性质3是确定两个平面交线的基础, 解答时关键是寻找两个相交平面的公共点,这些点 都在这两个平面的交线上,据此可得相应结论.

4.平面的基本性质2的三个推论是确定平面的工具, 解答时要根据条件中是否具有相交直线、平行直线、 直线与线外一点,据此将平面确定下来,再说明其 它相关结论. 5.共面与异面是直线的两种位置关系,解答时会 用符号语言与图形语言表示位置关系,能按照定义 说明两条直线共面还是异面,对于异面直线,要学 会从理论上进行说明. 在学习中需要注意平面的三个基本性质及推论的用 途,并能用符号语言和图形语言去描述它们.在运 用符号语言时,需要特别注意符号“∈”与“?”在应 用时的区别.


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