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【精选】高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(6.2)word学案-数学


数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 2.6.2 求曲线的方程 [学习目标] 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法,熟悉求曲线方程的五个步骤 .2.掌握求 轨迹方程的几种常用方法. [知识链接] 求曲线方程要“建立适当的坐标系”,这句话怎样理解. 答:坐标系选取的适当,可使运算过程简化,所得方程也较简单,否则,如果坐标系选取不 当,则会增加运算的烦杂程度. [预习导引] 1.平面解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程. (2)通过方程,研究平面曲线的性质. 2.求曲线(图形)的方程一般有下面几个步骤 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标. (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)}. (3)用坐标表示条件 P(M),列出方程 f(x,y)=0. (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式. (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 3.求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有直接法、代入法、定义法、参数法、待定系数法. 要点一 直接法求曲线方程 例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上 面的每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程. 解 如图所示,取直线 l 为 x 轴,过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 y 轴, 建立坐标系 xOy. 设点 M(x,y)是曲线上任意一点,作 MB⊥x 轴,垂足为 B,那么点 M 属于 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不等式、解三角形 集合 P={M|MF-MB=2}. 由两点间的距离公式,点 M 适合的条件可表示为 x2+?y-2?2-y=2,① 将①式移项后两边平方,得 x2+(y-2)2=(y+2)2, 1 化简得 y= x2.因为曲线在 x 轴的上方,所以 y>0. 8 1 虽然原点 O 的坐标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线,所以曲线的方程应是 y= x2 (x≠ 8 0). 规律方法 直接法是求轨迹方程的最基本的方法,根据所满足的几何条件,将几何条件 {M|p(M)}直接翻译成 x,y 的形式 F(x,y)=0,然后进行等价变换,化简为 f(x,y)=0.要注意轨 迹上的点不能含有杂点,也不能少点,也就是说曲线上的点一个也不能多,一个也不能少. 跟踪演练 1 已知在直角三角形 ABC 中,角 C 为直角,点 A(-1,0),点 B(1,0),求满足条件的 点 C 的轨迹方程. 解 如图,设 C(x,y), → → 则AC=(x+1,y),BC=(x-1,y). → → → → ∵C 为直角,∴AC⊥BC,即AC· BC=0. ∴(x+1)(x-1)+y2=0. 化简得 x2+y2=1. ∵A、B、C 三点要构成三角形, ∴A、B、C 不共线,∴y≠0, ∴点 C 的轨迹方程为 x2+y2=1(y≠0). 要点二 定义法求曲线方程 例 2 已知圆 C:(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程. 解 如图,设 OQ 为过 O 点的一条弦,P(x,y)为其中点,则 CP⊥OQ, 1 设 M 为 O

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